равна: [AB] sin a. Обычно для обозначения скалярного произведения векторов используют либо круглые скобки, либо точку между векторами, а для векторного — либо квадратные скобки, либо крестик.

Момент импульса тела по величине равен произведению импульса тела на расстояние до оси вращения, его может иметь тело даже при движении по прямой. Он определяется выражением:

L = [r mv].

Понятие момента силы используется для сил, способных вызвать вращение тел. Если сила F приложена к точке À, расположенной на расстоянии r от оси вращения, а вектор силы перпендикулярен линии ÀÂ, создается момент силы r × F. Когда же направление приложенной силы проходит через центр вращения, она не создает момента силы. Пример: приложенная к ручке двери сила приводит дверь во вращение относительно линии косяка или дверных петель, но вращения не будет в случае приложения силы вдоль линии петель. Вращение вызывает только перпендикулярная составляющая силы, и момент силы есть векторное произведение: Ò = [rF] = rF sin ϕ, здесь ϕ — угол между векторами r è F.

При отсутствии действия внешних сил (система изолирована) действует закон сохранения импульса для поступательного движения и момента импульса для вращения.

Момент силы и момент импульса связаны по второму закону Ньютона: T = dL / dt.

Значение построения механики Ньютона становится ощутимо при сопоставлении «Начал» с «Вопросами» в его «Оптике», где он говорит о силах инерции, создающих сопротивление движению. В законах движения Ньютона нет идеи сохранения количества движения (как в механике Декарта), по его словам, «причины таких принципов движения» он «оставляет для дальнейшего исследования». Поскольку в природе существует строгий порядок, мир не мог возникнуть из хаоса, но создан «по замыслу разумного существа». «Но, будучи раз созданным, мир может существовать по этим законам многие века».

Использование законов Ньютона для решения инженерных задач было весьма громоздко, а в решении таких задач уже нуждалась развивающаяся техника. Поэтому в следующем столетии ньютонова динамика интенсивно углублялась, разрабатывалась и совершенствовалась. Судьба закона всемирного тяготения сложилась иначе.

4.2. МАССА ИНЕРТНАЯ И ГРАВИТАЦИОННАЯ. ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Галилей на опытах с использованием наклонной плоскости открыл явление падения всех тел на Земле с одинаковым ускорением. Масса m связана с весом тела, но вес зависит от массы того тела, к которому притягивается масса m. Поэтому вес не может служить коэффициентом пропорциональности между силой и ускорением, и вводят понятие инертной массы Ì, которая характеризует «нежелание» тела сдвинуться с места. Масса не зависит от направления движения (это многократно проверялось экспериментально) и с точностью до 10–9 является скалярной (лат. scalaris «ступенчатый») величиной. (В отличие от векторной величины, каждое значение скалярной вели- чины можно выразить одним, действительным, числом, а совокупность значений изобразить на линейной шкале — таковы длина, площадь, время и т.д.)

Широко известна легенда об открытии Ньютоном закона всемирного тяготения. Но не есть ли движение Луны — явление аналогичное падению хотя бы яблока? Ньютон записал уравнение движения под действием силы тяжести и проверил решение в виде эллиптичных траекторий для большого класса начальных условий и не очень больших скоростей. Говоря математическим языком, он доказал не теорему единственности такого решения (это впоследствии сделал И.Бернулли), а подтвердил предложенную Гуком гипотезу обратно пропорциональной зависимости силы тяготения от квадрата расстояний. На камень внутри Земли внешние слои не действуют или поле внутри однородной сферы равно нулю, поэтому однородный шар (или шаровой слой) притягивает точки внешней области так же, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре.

Ньютон связал понятия массы и веса тела. Размышляя о движении Луны, он предположил, что Луна падает на Землю так же, как камень или яблоко, но с ускорением во столько

раз меньшим, во сколько квадрат земного радиуса меньше квадрата расстояния между центрами Земли и Луны. «Луна тяготеет к Земле и силою тяготения отклоняется от прямолинейного движения и удерживается на орбите». Гипотеза зависимости притяжения между точечными массами от квадрата расстояний возникла из геометрической аналогии.

Так как расстояние r от Земли до Луны составляет 60 земных радиусов R, à T = 27,3 сут. = 2,36 10 с, Ньютон оценил отношение ускорений Луны и камня как 1/3600. В самом деле, ускорение свободного падения тела у поверхности g = 9,8 ì/c2, а центростремительное ускорение Луны:

Wc =	(2πr / T )2	=	(2π60R / 2,3610	6 ) 2	=	(1,02)	2	=0,0027m / c	2	,
	r		60R			60

ò.å. g примерно в 602 раз больше ускорения Луны W. Следовательно, сила тяготения, действующая со стороны Земли на яблоко (или камень), находящееся на орбите Луны, уменьшится в 3600 раз, что и соответствует отношению квадратов расстояний. Значит, сила тяготения между двумя телами должна убывать обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, и гипотеза Ньютона верна.

При таких расчетах Ньютон считал, что небесные тела взаимодействуют так, как будто вся их масса сосредоточена в центре. Доказать это строго он сумел только через 20 лет, но для этого ему пришлось создать интегральное исчисление. Если же интересоваться силой, которая действует внутри Земли или другого тела с распределенной массой, то зависимость от расстояния будет иной.

Чтобы проверить выводы Галилея, Ньютон провел серию опытов с маятниками и убедился, что свинцовый и деревянный шары падают с одинаковыми ускорениями. Значит, Земля в этом случае одинаково действует на оба шара. Но если действие измерять не ускорением, а силой, с которой приходится удерживать шары в равновесии на весах, то ее влияние на свинцовый шар будет больше, чем

49

на деревянный. Такое влияние Земли на каждый шар (или каждое тело) можно выражать тяжестью, измеренной на весах путем сравнения с тяжестью тела, принятой за единицу. Развивая мысль Галилея, Ньютон вводит понятие силы F = MW как меру действия одного тела на другое, отождествляя вес с силой действия, оказываемого на него Землей.

Далее Ньютон указывает, что, если бы вокруг Земли вращалось несколько лун, то все они двигались бы под действием аналогичной силы, и их движение определялось бы законами Кеплера. (Его предсказание подтвердилось через два с половиной столетия, когда были запущены искусственные спутники Земли.) Впоследствии Ньютон перешел к изучению других планет и планетных систем (это определение он вводит после открытия спутников у Юпитера и Сатурна), считая, что силы тяготения должны иметь одну природу — и у поверхности Земли, и в космосе.

По Копернику, пространство однородно и изотропно, в нем нет выделенных направлений и точек. В пространстве работает евклидова геометрия, и физическим действием обладают только те точки, в которых сосредоточена материя. Поэтому на Земле тела падают в направлении не геометрического центра мира (у него — это центр Солнца), а материального центра Земли. Это утверждение справедливо и для других небесных тел — в этом коперниканский принцип универсальной гравитации как функции массы тел.

Признание идей материального единства мира —

результат коперниканской революции. Если нет различия между земным и небесным, и законы едины для всей Вселенной, то их можно изучать и на Земле. Квадрат расстояния в знаменателе отражает евклидову метрику пространства. То есть, в трехмерном пространстве поверхность сферы пропорциональна квадрату радиуса.

Инертная масса определена динамически: прикладывается известная сила, измеряется ускорение, и из формулы F = MW выводится масса M. В законе тяготения масса определяется статически: измеряют силу взаимодействия между двумя телами, расположенными на определенном расстоянии.

Галилей пришел к выводу о пропорциональности гравитационной m и инертной M масс, сбрасывая тела с высоты. В то время он не мог бы обнаружить это, поэтому он использовал наклонную плоскость, как бы замедлил вертикальную составляющую. Нетрудно заметить, что металли- ческий шарик скатывается с нее с возрастающей скоростью.

Пусть бросили вниз одновременно два тела, отлича- ющиеся весом, — m1g è m2g. По второму закону Ньютона, их ускорения соответственно определяются из соотношений: F1 = M1W1 è F2 = M2W2. Сила, действующая на каждое тело, равна его весу: m1g = M1W1 è m2g = M2W2. Ускорение каждого тела при падении равно: W1 = (m1 / M1)g è W2 = (m2 / M2)g. Эксперимент Галилея показал, что все тела при отсутствии сопротивления падают с одинаковым ускорением, т.е. отношение ускорений равно единице, или

(W1 / W2) = (m1 / M1) (M2 / m2) = 1. Это возможно только при пропорциональности инертной и гравитационной масс.

Последние эксперименты подтверждают равенство m = M с точностью до 10–11. Опыты венгерского физика барона Лоранда фон Этвеша (1848–1919) показали универсальный характер пропорциональности гравитационной и инертной масс, т.е. при соответствующем выборе единиц измерения коэффициент пропорциональности можно сделать равным единице. Универсальность означает пропорциональность масс для всех веществ, поэтому они измеряются в граммах.

Теория Ньютона не объясняет причину этой пропорциональности, она следует из опытов Галилея: все тела падают с одинаковым ускорением в поле тяжести Земли. Эйнштейн истолковал этот эффект как истинную природу тяготения и положил его в основу общей теории относительности, возведя равенство инертной и гравитационной масс в

принцип эквивалентности.

Масса отражает то, что сохраняется при превращении тел из одного агрегатного состояния в другое. В современной физике этот закон уточняется и показано, что масса эквивалентна другому физическому свойству энергии. Поэтому соответствующий закон сохранения относится к массе–энергии.

4.3. ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА. ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНАЯ СИЛА И ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

Вокруг Солнца вращается девять крупных планет:	наблюдениям Тихо Браге и опубликованы в 1609 г. Он
Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран,	установил, что орбита Марса — не окружность, а эллипс, â
Нептун, Плутон. Последние три планеты не видны невоору-	одном из фокусов которого находится Солнце. Такая же
женным глазом, и они были открыты недавно — в 1783,	закономерность оказалась и для движения других планет,
1846 и 1930 гг. соответственно. Недавно было сообщение	только вытянутость эллипса отличалась. Наиболее вытя-
об открытии десятой планеты, еще не получившей имени,	нутую орбиту имеет Меркурий (его эксцентриситет 0,21)
которая находится между Нептуном и Плутоном. Все	и Плутон (å = 0,25). Ýòî — первый закон Кеплера.
планеты шарообразны, они светят отраженным светом	Второй закон: каждая планета движется по своей
Солнца. Земля расположена от Солнца на расстоянии	орбите так, что ее радиус-вектор описывает за равные
149,6 млн км, принимаемом за 1 а.е., а самая далекая из этих	промежутки времени равные площади. Это значит, что чем
планет, Плутон, — на расстоянии в 30 а.е. Таковы размеры	ближе планета к Солнцу, тем больше скорость движения
солнечной системы. Солнце — одна из огромного числа	по орбите.
звезд, которые украшают небосвод. Свет от Солнца доходит	Так, Марс вблизи перигелия движется со скоростью
äî íàñ çà 8,3 ñ.	26,5 км/с, а вблизи афелия — 22 км/с. У комет орбиты более
И.Кеплер — великий немецкий астроном и математик,	вытянуты, чем у планет, поэтому их скорости меняются от
открыл три закона движения планет. Первые два были	500 до 1 км/с. У Земли эксцентриситет очень мал (0,017),
получены на основе исследования движения Марса по	поэтому орбита Земли — почти окружность, по которой

50

mV 2

2

		наша планета движется со скоростью 29 км/с. Но в январе				и радиусом вращения r планеты или спутника: –GmM / r2 =
		она на 2,5 млн км ближе к Солнцу и движется несколько				= –4π2mr / Ò2. Разделив обе части на –m, получим: GM / r2 =
		быстрее, чем в июле, когда расстояние на 2,5 млн км дальше,				= 4π2r / Ò2. Перенесем зависимость от r в левую часть:
		чем 149,6 млн км. В книге «Новая астрономия» (1607 г.) он				GM / r3 = 4π2 / Ò2 и избавимся от дробей: 4π2r3 = GMT2.
		излагает первые два закона: «планеты движутся по эллип-				Отсюда: r3 = (GM / 4π2)Ò2.
		сам, в одном из фокусов которого находится Солнце» и				Таким образом, мы пришли к третьему закону Кеплера
		«каждая планета движется в плоскости, проходящей через				для движения планет: r3 ~ Ò2 — кубы радиусов (или больших
		центр Солнца, причем линия, соединяющая Солнце с пла-				полуосей) орбит относятся как квадраты периодов.
		нетой, за равные промежутки времени проходит равные				Получив в свое распоряжение завещанные ему Т.Браге
		площади» (рис.4).				уникальные материалы наблюдений, Кеплер приступил к
		Третий закон движения планет Кеплер установил				их обработке и в 1627 г. издал результаты 22-летнего
		через 10 лет. Он гласит: отношение кубов больших полуосей				титанического труда — так называемые «рудольфовы»
		орбит двух планет Солнечной системы равно отношению				таблицы (в честь императора Рудольфа II), служившие
		квадратов периодов их обращения вокруг Солнца. Большая				человечеству почти 200 лет. В процессе работы над табли-
		полуось — это половина максимального расстояния между				цами Кеплер обнаружил некоторые закономерности в
		двумя точками эллипса. Этот закон позволил оценить				движении планет (сначала для Марса), приведшие его к
		размеры солнечной системы. Для круговых орбит это				открытию законов, получивших его имя. Второй закон
		означало, что R 3	/ R 3	= T 2	/ T 2.	Кеплера следует непосредственно из закона сохранения
		1	2	1	2
		Ньютон использовал эти законы, выведенные из наблю-				момента импульса. Момент импульса планеты дается
		дений и вычислений, при формулировке закона всемирного				выражением L = r mVn, ò.å. L / 2m = (1/2) r Vn, но последняя
		тяготения. Он сумел показать, что только в случае, если				величина равна площади, покрываемой за 1 с. Следова-
		силы, действующие между тяготеющими телами, пропор-				тельно, она равна скорости, с которой покрывает площадь
		циональны закону обратных квадратов, то все три закона				прямая, соединяющая Солнце и планету, или dA / dt, L / 2v =
		Кеплера выполняются.				= dA / dt. Но по закону сохранения момента импульса левая
		Третий закон (1618 г.) — «квадраты периодов обраще-				часть этого равенства является постоянной, т.е. dA / dt =
		ния планет вокруг Солнца относятся как кубы больших				= const.
		полуосей их орбит» — соответствовал представлениям				Итак, закон тяготения связан с законами Кеплера,
		Кеплера о гармонии и физической причинности, выражая				полученными из наблюдений за движением планет. Закон
		связь между мгновенными значениями меняющихся вели-				тяготения и законы Кеплера пригодны для движений под
		чин. Так в XVII столетии фактически был сделан первый				действием тяготения в задаче двух тел, где одно является
	m(2πr	шаг к математическому анализу. Кеплер понимал, что				центральным, а второе вращается вокруг него по эллипсу
		/ T )2
=	2	открытые им численные закономерности могут стать				или окружности.
		основой новой небесной механики, но не знал действи-				Гравитация служит источником центростремительной
		тельной причины именно такого движения планет: считая				силы для планет, поэтому условием для отрыва ракеты от
		очевидным, что сила, действующая на планеты, должна				Земли может служить равенство кинетической и потенци-
		меняться по закону обратных квадратов, он исходил из				альной энергий гравитации.
		внешней аналогии со светом, интенсивность которого				Условием движения спутника по круговой орбите
		меняется как 1/r2. Законы Кеплера подходят и для окруж-				является равенство силы тяготения и центростреми-
		ностей, поскольку орбиты очень мало вытянуты (рис.25).				тельной силы. Это правило входит в законы планетных
		Вращение — одно из основных видов движения в поле				движений: квадраты периодов относятся как кубы больших
		тяготения, и ему также соответствует определенная энер-				полуосей (радиусов). Если речь идет о притяжении тела
		гия. При равномерном движении по окружности скорость				Землей, то g = Gm	3	/ r 2	è F = Gm m / R2, ãäå G — универ-
		равна длине окружности 2πr, деленной на период Ò, ò.å. íà						3	3
						сальная гравитационная постоянная.
		время одного оборота. Отсюда для кинетической энергии				В 1798 г. английский физик и химик Генри Кавендиш
		получим:				(1731–1810) измерил G с помощью точных крутильных
		Åê. âð =			.	весов (притяжение двух тел измерялось по углу закру-
						чивания нити, который регистрировался с помощью отра-
		По Ньютону, источник центростремительной силы для				женного светового			луча) и получил значение

небесных тел — гравитация. Приравнивая эти две силы,	6,67 10–11	Íì2/êã2.

можно получить важные соотношения между периодом Ò

4.4. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ

Многие не приняли теорию Ньютона как теорию дейст-	низм закона очаровал П.Мопертюи, он говорил всем, что
вия на расстоянии. Гюйгенс стал развивать теорию близко-	Ньютон просто описал факт притяжения, а не объяснял его.
действия, используя гидродинамическую модель вращаю-	Сторонником и пропагандистом теории тяготения Ньютона
щейся жидкости, наподобие вихрей Декарта. Лейбниц	стал Вольтер. В 1738 г. он издал популярную книгу «Эле-
также придерживался вихревой модели, которая была	менты учения Ньютона», сыгравшую большую роль в изме-
наглядна в объяснении воздействия тел. Но простой меха-	нении общественного и научного мировоззрения во Фран-

51

ции. Была предпринята попытка проверки закона тяготения	поскольку за десятки тысяч лет широта местности может
на Земле, и критерием стала форма Земли. По вихревой	измениться на 35°. Но кроме этого фактора есть еще
модели наша планета должна была быть вытянута у полю-	ускорение Луны, вызванное приливами. Этот эффект
сов, а по теории Ньютона — сплюснута.	кажущийся, по-тому что причина — замедление вращения
Были организованы специальные экспедиции в Перу и	Земли из-за приливного трения. Если дать оценку влияния
Лапландию (1735, 1736–1737 гг.) для уточнения фигуры	за миллиард лет, то сутки удвоятся, а Луна удалится от
Земли. Мопертюи руководил экспедицией на север, которая	Земли до 600 тыс. км.
показала сплюснутость нашей планеты у полюса, а сам	Другим явлением, которое вроде бы позволяло усом-
Мопертюи получил известность как «великий сплющива-	ниться в пригодности закона тяготения Ньютона, было
тель», поскольку было установлено, что Земля сплюснута,	замеченное ранее некоторое ускорение Юпитера и замед-
и экваториальный радиус больше полярного на 21 км. В этой	ление Сатурна (Кеплер, 1625 г. и Галлей, 1695 г.). Такой
экспедиции принимал участие А.Клеро. После возвращения	процесс должен был бы за долгие миллионы лет разрушить
он обработал полученные результаты и опубликовал книгу	солнечную систему, но этого не произошло. Анализ планет-
«Теория фигуры Земли», построенную на основе гидро-	ных возмущений привел Лагранжа (1776 г.) и Лапласа
статической модели эллипсоида вращения. Клеро пред-	(1784 г.) к так называемой теореме устойчивости солнеч-
положил, что Земля ранее была жидкой, ее частицы взаимо-	ной системы: взаимные возмущения планет, движущихся
действовали друг с другом по закону всемирного тяготения,	по почти круговым орбитам примерно в одной плоскости и
и вся масса медленно вращалась вокруг неподвижной оси.	в одну сторону, приводят лишь к почти периодическим
Эта работа имела огромное значение для геодезии и теории	колебаниям эксцентриситетов и наклонений вблизи нуля,
Земли. Тем самым теория тяготения Ньютона получила	тогда как расстояния до Солнца колеблются вблизи своих
подтверждение на Земле. Это нанесло удар по взглядам	начальных значений. Или — большие оси эллипсов не
ученых, которые считали, что все процессы физического	испытывают вековых возмущений. И эта теорема была
мира можно представить наглядно.	доказана Лапласом совершенно строго для первых членов
Солнечную систему, согласно закону Ньютона, можно	ряда возмущений. Взаимные возмущения Юпитера и Са-
представить в виде гигантского механизма, в котором	турна существуют, и их величина колеблется с периодом в
движением всех его элементов управляет сила притяжения.	900 лет. За 450 лет накопления возмущений эта величина
Однако, изучая движение конкретной планеты, например,	составляет меньше одного градуса.
Марса, нельзя не учитывать воздействие на координаты его	Самым убедительным подтверждением ньютонова
орбиты других планет и их спутников, хотя оно и мало по	закона тяготения явилось открытие «на кончике пера» еще
сравнению с притяжением Солнца и сводится к так назы-	одной планеты, названной Нептуном. В марте 1781 г.
ваемым возмущениям, или пертурбациям (лат. perturbatio	У.Гершель открыл новую планету Уран. Для нее были
«расстройство, смятение»). Английский астроном и гео-	вычислены элементы орбиты и составлены таблицы дви-
физик Э.Галлей, изучая материалы астрономических наблю-	жения по закону Ньютона. Но через некоторое время
дений, обратил внимание на сходство орбит комет 1456,	заметили, что Уран в своем движении отклоняется от
1531, 1607, 1682 гг. и периодичность их появления (около	рассчитанного: за 3 года отклонение составило 2′, при
76 лет). Он пришел к выводу, что во всех этих случаях была	точности измерений в доли секунды. Молодой французский
одна и та же комета, и предсказал ее возвращение в 1758 г.	астроном-теоретик У.Леверье предположил, что это откло-
Однако из-за возмущающего действия Юпитера и Сатурна,	нение вызвано влиянием неизвестной планеты, находя-
комета Галлея несколько запоздала и появилась только в	щейся дальше Урана, и сделал расчет ее орбиты. Леверье
следующем, 1759 году почти в точном соответствии с	сообщил о результатах в письме от 18 сентября 1846 г.
расчетами Клеро — он ошибся только на 19 дней! Ïðåä-	берлинскому астроному Галле, который имел звездные
сказание возвращения кометы стало первой убедительной	карты, содержавшие слабые звезды. Галле сразу же обна-
победой теории Ньютона.	ружил в указанном месте слабую звездочку 8-й величины,
Клеро проверял теорию Ньютона и по движениям Луны.	которой на картах не было. На следующий день звездочка
Он составил точные лунные таблицы и по своим разработ-	переместилась относительно ближайших звезд, а в более
кам написал книгу «Теория движения Луны», изданную в	сильный телескоп удалось разглядеть маленький диск.
Петербурге в 1751 г. За теорию движения Луны и предска-	Несомненно, это была новая планета солнечной системы,
зание появления кометы Галлея Клеро получил премию	предвычисленная по закону всемирного тяготения. При
Петербургской Академии наук. Близость Луны к Земле	этом ее положение на небе отличалось от предсказанного
позволяла провести измерения достаточно точно. Еще в	расчетом Леверье всего на 52′′. В это же время молодой
1693 г. Галлей заметил, что современные ему данные по	английский студент, впоследствии известный астроном,
орбите Луны расходятся с древними наблюдениями так,	Дж.Адамс независимо от Леверье проделал нужные рас-
будто орбита уменьшается за столетие на 10′′. Объяснения	четы, поэтому у математического предсказания два автора,
этому явлению давали Эйлер и Лаплас (1787 г.), но они	но официально признан первый. Позже было обнаружено,
верны только отчасти. Эйлер связывал ускорение с тормо-	что в зарисовках Галилеем видимого в его телескоп участка
жением в окружающей среде, а не с тяготением. По Лапласу,	неба есть слабенькая звездочка, которую он не догадался
оно определяется малыми изменениями вытянутости	принять за планету.
земной орбиты из-за планетных возмущений. Такие коле-	Открытие новой планеты «на кончике пера» явилось
бания существуют, они вызывают наступления ледников,	величайшим триумфом науки и, конечно, закона всемир-

52

ного тяготения. Границы солнечной системы расширились почти вдвое.

Планета солнечной системы, Плутон, была открыта 21 января 1930 г. Еще в 1915 г. П.Ловелл решил задачу об орбите новой планеты за Нептуном, которую назвал «планетой Х». Поиски ее были вызваны необъясняемыми неправильностями в движении Урана, а не Нептуна, как можно было подумать. Со времени первых наблюдений Нептуна не прошло еще и его «года» (на один оборот вокруг Солнца Нептун затрачивает 165 лет, ведь он удален от Солнца на 4,5 млрд км, или на 30 а.е.). Как уже указывалось, для Нептуна правило Боде-Тициуса не выполнялось, планета должна быть несколько дальше, и потому время ее обращения вокруг Солнца должно бы приближаться к 300 земных лет. Поэтому выделить смещение столь неяркой звездочки среди звезд было неимоверно трудно. Ловелл выделил все ошибки и неточности в расчетах движения Урана, но открыть новую планету не успел. Удача открытия Плутона выпала на долю молодого К.Томбо. Ему было 23 года, когда он почти случайно обнаружил звездочку слабее 17-й величины на снимке среди тысяч других, так как расчеты Ловелла оказались неточными. Орбита новой планеты оказалась вытянутой столь сильно, что она заходит даже внутрь орбиты Нептуна, как и с 1979 по 1999 гг.

Смещение перигелия Меркурия, обнаруженное около ста лет назад, не удавалось объяснить. По Ньютону, если сила тяготения точно соответствует закону обратных квадратов, то эллиптические орбиты планет не должны меняться со временем, т.е. и ближайшая к Солнцу точка орбиты — перигелий — не должна смещаться по отношению к неподвижным звездам. Не учитываемый ньютоновской теорией эффект составлял 43′′ в столетие, перигелий прецессировал, и орбита напоминала поворачивающийся эллипс. Само измерение столь малой величины с такой точностью представляет собой большое достижение (погрешность менее 1%). Подозревали, что есть еще одна планета, возмущающая орбиту Меркурия, ее даже условно назвали Вулканом, но не нашли. Возмущения от планет поддаются расчетам, но все иные отклонения требовали бы в законе иную степень. Появилось мнение, что закон всемирного тяготения неточен. Поправил закон Ньютона в 1915 г. А.Эйнштейн: смещение перигелия планеты Меркурий удалось объяснить только в рамках общей теории относительности (ОТО). Эти поправки для закона Ньютона могут играть роль только вблизи больших тяготеющих масс (например, черных дыр).

По ОТО, перигелии орбит при каждом обороте планеты вокруг Солнца должны перемещаться на долю оборота, равную 3(v/c)2. Для Меркурия угол поворота перигелия за сто лет составляет 42,91′′. Эта величина соответствует обработке наблюдений Меркурия с 1765 по 1937 гг. Так была объяснена прецессия перигелия орбиты Меркурия. Было показано, что для практических задач закон Ньютона дает хорошие результаты, но для больших скоростей и вблизи больших масс нужны иные законы (рис.5).

У.Гершель, открывший планету Уран и два ее спутника и измеривший звездный параллакс, хотел доказать, что острова во Вселенной существуют в самом деле, каждый из них состоит из миллионов звезд, которые удерживаются

вместе в динамической системе за счет взаимного притяжения. Подобно Гюйгенсу и Ньютону, он считал, что все звезды имеют одинаковую светимость. В таком случае яркая звезда в паре со слабой должна находиться к нам ближе, чем слабая, и тогда ее смещение за год будет больше. За 1782–1784 гг. Гершель измерил угловые расстояния примерно 700 звезд, но смещения были не те, что он ожидал. И только в 1803 г. он понял, что открыл орбитальные движения звезд, которые образуют физические пары и компоненты которых движутся вокруг общего центра масс в соответствии с законом Ньютона. Значит, этот закон всемирный. На основе ньютонова закона тяготения У.Гершель, Кант и Ламберт стали объяснять видимые явления во Вселенной. У.Гершель открыл двойные звезды, составив к 1784 г. каталог из семисот двойных и кратных звезд. Он впервые применил закон всемирного тяготения вне пределов солнечной системы и установил наличие орбитального движения (вокруг общего центра тяжести) для двойных звезд. Впоследствии эти звезды были названы

визуально-двойными.

Кроме того, Гершель пришел к выводу, что звезды в некоторых парах имеют разную светимость, а таких пар, где яркость одной превышала яркость другой в сотни раз, оказалось множество, что не могло быть объяснено разной удаленностью звезд в каждой паре. По Гершелю, все наблюдаемые в телескоп звезды образуют вместе с Млечным Путем тот остров, к которому принадлежит и наше Солнце, а далекие «мировые острова» представляются нам туманностями, как считал еще Кант. Гершель считал, что планетарные туманности — это звездные системы в последней стадии гравитационного коллапса, и потому «звезды, их образующие в результате некоторых нарушений или утраты энергии, уже не могут больше поддерживать своего первоначального положения… и, наконец, собираются вместе и вследствие соударений объединяются в новое тело». Это объясняло природу «новой» звезды, которую видел Тихо Браге в 1572 г. Гершель столкнулся в 1790 г. с новым явлением — «звездой примерно 8-й величины со слабосветящейся атмосферой!» Это была планетарная туманность NGC 1514. И он нашел объяснение — это звезда, конденсирующаяся из облака светящегося вещества под действием гравитации. Так У.Гершель все более подчеркивал единство Вселенной и роль в этом закона всемирного тяготения.

Таким образом, к триумфам закона всемирного тяготения можно отнести в Солнечной системе: предсказание возвращения кометы Галлея, объяснение движений Луны, оценки планетных возмущений, обнаружение планеты Нептун по возмущениям планеты Уран, а затем планеты Плутон, сплюснутость Земли у полюсов, траектории астероидов, полеты космических аппаратов и т.п.

Вне Солнечной системы — движение звезд в системе двойных звезд и звездных систем. Но и вне Солнечной системы использование закона тяготения привело к появлению ряда парадоксов (фотометрическому, космологи- ческому и др.), которые были разрешены только в ОТО.

В закон Ньютона входит универсальная гравитационная постоянная G, определенная в опытах Кавендиша. Знание ее позволило «взвесить» нашу планету. Средняя плот-

53