левостороннее. В нашем теле у глюкозы правовращающая форма, у фруктозы — левовращающая.

В пространстве различие между правым и левым связано с ориентацией винта, т.е. структура пространства не позволяет отличить их иначе, как с помощью договоренности или произвольного выбора, на что указывал еще Лейбниц. В физике правое и левое — эквивалентны, а в мифологических представлениях символизируют соответ-

ственно добро и зло. Люди при встрече пожимают друг другу правую руку, в живописи правое создает иное настроение, чем левое.

Понятие симметрии играет в жизни человека важную роль. Природа красива и требует для своего описания красивых уравнений. Возможность записать законы природы с помощью математического кода — величайшее открытие человечества.

Глава 5. КОНТИНУАЛЬНАЯ КОНЦЕПЦИЯ ОПИСАНИЯ ПРИРОДЫ

5.1. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ПРИРОДЕ И ИХ ОПИСАНИЕ. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Современный мир полон волн: волны звука, распространяющиеся в воздухе и других веществах; переменный ток, используемый в быту и технике; волны механических колебаний в струнах или кристаллах кварца, используемые для стабилизации частот радиопередатчика или в часах; волнение и зыбь в озерах, прудах и океанах; волны землетрясений, изучаемые сейсмологами; электромагнитные волны, которые образуют свет и передают информацию по теле- и радиоканалам; волны вероятности, используемые в мире квантов для предсказания поведения микрочастиц и более сложных форм вещества; волны гравитационные, которые хотят поймать из дальнего космоса, и т.д.

Механические колебания — это движения, которые (точно или почти точно) повторяются через определенные промежутки времени. Чаще всего они возникают при нарушении устойчивого состояния равновесия системы, при выведении системы из этого состояния равнодействующая сил не равна нулю. При этом одна из сил должна зависеть от времени, и система должна обладать избыточной энергией. Если трением пренебречь, за полное колебание выполняется закон сохранения и превращения энергии. Колебания могут происходить при наличии упругих сил, силы тяжести; электрические колебания (напряжений и сил токов) происходят в электрических цепях, вокруг которых колеблются напряженности электрического и магнитного полей. Несмотря на разную природу колебаний, в них обнаруживаются общие закономерности. Система, совершающая колебания, называется осциллятором.

Волны — это изменение состояния среды, распространяющееся в ней без переноса вещества и несущее с собой энергию и импульс. Энергия, импульс и скорость — важнейшие характеристики волн. Процесс распространения колебаний (волна) может быть описан в общем виде математи- чески и применим ко многим системам. Основные свойства волн можно изучить на простых примерах и сформулировать общие положения, которые будут справедливы для любого типа волн.

Электромагнитные волны, приходящие на Землю от Солнца, в широком диапазоне длин волн несут энергию порядка 1 кВт/м2; эта энергия преобразуется зелеными растениями в химическую. При сжигании дерева или угля мы вновь высвобождаем эту энергию и используем ее. Наличие импульса у электромагнитных волн менее заметно, но оно было даже измерено в 1912 г. П.Н.Лебедевым. Существуют даже проекты использования светового давления на огромные паруса для передвижения в Солнечной

системе. Морские волны бьются о берега, при штормах ворочают огромные камни и переворачивают гигантские корабли. Телецентр излучает волны мощностью в десятки тысяч ватт, малую долю которых улавливают наши телевизоры. Во всех этих ситуациях волны переносят энергию любой величины от одной точки к другой. Волны распространяются в пространстве с конечной скоростью, зависящей от среды их распространения: так, световые волны распространяются со скоростью 300 000 км/с, звуковые (в воздухе) — 344 м/с.

На языке колебаний и волн наиболее ясно предстает единство природы. Гармонические колебания описываются

функцией: A = A0 + A sin (kt + ϕ0), ãäå A0, A, k, ϕ0 — постоянные величины: A — амплитуда колебаний,

(kt + ϕ0) — ôàçà, A0 — центр гармонического колебания, k — круговая частота, (2π/k) = T — период колебаний, (1/T) = ν — частота. Если амплитуда убывает со временем, то колебания являются затухающими; если они происходят под действием внешней, периодически повторяющейся силы, их называют вынужденными; если же — за счет внутренних сил системы после выведения системы из состояния равновесия, то это — свободные колебания. Колебательные явления могут иметь разную природу, но обладают общими чертами и даже подчиняются общим закономерностям, что позволяет единым образом рассматривать механические, электрические и другие колебания. Поэтому их классифицируют и по способу возбуждения, по зависимости какой-то изменяющейся величины от времени и пр. По способу возбуждения различают колебания собственные, вынужденные, параметрические è автоколебания. С точки зрения кинематики различают периодические и непериодические колебания.

Всякая система, совершающая колебания, обладает своим способом колебательного движения, которому соответствуют собственные колебания, à èì, â ñâîþ î÷å- ðåäü, собственные частоты. В любом колебании можно выделить собственные колебания системы. Если на систему подействовать периодически меняющейся силой, то система откликнется малыми колебаниями, частота которых будет совпадать с частотой вынуждающей силы. Если частота внешней силы совпадет с одной из собственных частот системы, то развивающиеся колебания будут иметь большую амплитуду. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частот вынуждающей внешней силы с собственной частотой системы называется резонансом. Резонанс имеет место при

56

настройке радиоприемника на частоту передающей станции. В нелинейных системах, содержащих источник энергии, могут возникать незатухающие колебания и без внешнего воздействия — это автоколебания. А при внешнем воздействии в таких системах могут возникать автопараметрические колебания. Любое повторяющееся движение можно рассматривать как результат сложения простых гармонических колебаний, а любое волновое движение — как сумму простых гармонических волн.

Этот тезис, доказанный (1822 г.) французским математиком и физиком Ж.Б.Фурье, служит основой для изу- чения повторяющихся явлений в самых разных областях. Волновые свойства света и микрочастиц лежат в основе современной картины мира. Гармоническое колебание играет значительную роль при изучении колебаний, отли- чающихся от гармонических (особенно в акустике и оптике).

Гармонический осциллятор, определяемый колебаниями массы, прикрепленной одним концом к пружине, является самым простым примером гармонического движения. Если сместить массу, а затем это воздействие устранить, то со стороны пружины на массу будет действовать возвращающая сила, направленная в сторону, противоположную силе, вызвавшей смещение (будем считать, что трение отсутствует). Для небольших смещений õ возвращающая сила F = –kx. Используя второй закон Ньютона, можно записать: F = MW = –kx, откуда ускорение равно: W = –(k / M)x.

Это выражение — основной закон простого гармони- ческого колебания — ускорение материальной точки математического маятника пропорционально смещению. Под математическим маятником понимают маятник, состоящий из точечной массы, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити. При малой амплитуде почти каждый колебательный процесс можно считать гармоническим.

Период колебаний маятника при малых амплитудах, как еще Галилей установил, определяется его длиной и не зависит от массы маятника. Период колебания маятников разной длины пропорционален квадратному корню из их

—-—

äëèí Tì = 2π √(L/g); пружины — обратно пропорционален

——-- собственной частоте колебаний ω = 1 / √(M/k). Ýòî ñâîé-

ñòâî изохронности колебаний маятника использовалось в XVII в. для отсчета равных промежутков времени, но колебания затухали, приходилось маятник подталкивать, и не было автоматического счета числа колебаний. Гюйгенс применил маятник в своих часах в качестве регулятора и довел их до практического применения и коммерческого успеха. Восемнадцатое столетие даже получило наименование века часов, хотя тогда они использовались, в основном для определения долготы места.

Монохроматической называется волна, возбуждаемая гармоническим источником. Если колебания происходят по гармоническому закону, то при распространении волны от источника до точки, отстоящей на расстоянии z, волна приходит с некоторым запаздыванием (связанным с конеч- ной скоростью распространения волны: x(t, z) = A cos(t – z/u), ãäå u — скорость распространения волны). В плоской волне амплитуда одинакова везде, а в сферической — убывает обратно пропорционально квадрату радиуса.

Волновой фронт — это геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени. Волновой фронт отделяет область пространства, вовлеченную

âволновой процесс, от той, где колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе, называют волновой поверхностью волны. В зависимости от волновой поверхности волны могут быть плоскими èëè сферическими. Выделяют и волны, которые распространяются по поверхности раздела двух сред. Если длина волны меньше глубины водоема, то каждая частица воды на поверхности и вблизи нее движется по эллипсу — комбинация колебаний в продольном и поперечном направлениях. Вблизи дна — чисто продольное движение. Такие волны называют поверхностными.

Если тело участвует в нескольких волновых движениях, то эти движения складываются в одно. Волновое движение образуется, если колеблющихся частиц много, и они связаны между собой. Каждая из колеблющихся частиц испытывает влияние сил, стремящихся вернуть их в первоначальное положение. Поэтому сами частицы или части пружины, например, больших перемещений не совершают, но вдоль пружины распространяется импульс. Если следить за перемещением импульса, проходящего расстояние dx за время dt, то можно ввести его скорость êàê v = dx/dt. При не очень больших возмущениях среды волновое движение подчиняется принципу суперпозиции, т.е. два импульса могут распространяться в разных направлениях совершенно независимо. Если два импульса проходят через пружину и друг через друга, смещение пружины оказывается равным сумме отдельных смещений. Импульсы, равные во всех отношениях, гасят друг друга в момент встречи (если имеют противоположные знаки) или складываются (при одинаковом направлении распространения).

Бегущая волна образуется следующим образом. Пусть один конец пружины или струны закреплен и ни одна точка не испытывает смещений, а ко второму концу приложена сила, которая начинает в момент времени t = 0 поднимать и опускать его. При распространении этого воздействия на соседние участки по струне или пружине побежит волна со скоростью v = dx/dt. Расстояние x, которое данный участок волны проходит за время t, равно x = vt. Период Ò возбуждающего колебания будет и периодом волны, çà

время Ò волна распространяется на расстояние, называемое длиной волны. Тогда скорость волны v = (λ/Ò) = λν. Отсюда и x = vt = (λt/T).

Амплитуда волны меняется как: y(t) = y0 cos (2π/T) t. Из выражения для скорости волны получаем: t/T = x/λ.

Тогда зависимость амплитуды волны от координаты в любой момент времени: y(x) = y0 cos (2π/λ) x.

Âпоперечных волнах частицы перемещаются перпендикулярно направлению распространения волны. Таковы электромагнитные волны: направления электрического и магнитного полей перпендикулярны направлению распространения. Поперечные волны распространяются в твердых материалах, даже звук в твердых телах распространяется

âвиде поперечных волн. Из-за большой плотности среды скорость распространения звука в них выше, чем в газе. Смещение среды может также вызвать импульс, распространяющийся перпендикулярно к смещению. Этот вид волн

57

соответствует деформации сдвига в твердых телах, но в них возможно распространение и волн типа сжатие-растяжение. Такой эффект мы наблюдали, когда резким боковым движением посылали импульс вдоль веревки.

 продольных волнах частицы перемещаются вдоль направления распространения волны «взад — вперед». Пример — распространение звука или волн сжатия — растяжения в самой пружине, и эти колебания происходят по гармоническому закону. В звуковых волнах плотность газа, где распространяется звуковая волна, меняется по синусоидальному закону. При забивании гвоздя молотком продольный импульс высокой плотности проносится вдоль гвоздя, загоняя его конец все глубже. Продольную волну можно легко изобразить, начертив сначала поперечную волну и затем повернув ее отдельные смещения на 90°, например, так, чтобы смещению вверх соответствовало смещение в продольной волне направо. Если проследить за направлением движения начерченных поперечной и продольной волн, равно как и за направлением движения отдельных частиц, то на основании следующего рисунка можно заключить, что в местах сгущения частицы движутся в направлении распространения волны, а в местах разрежения — в противоположном. В газах и жидкостях возникают волны сжатия, но никогда — при сдвиге.

Стоячая волна возникает следующим образом. Если у струны закрепить оба конца, импульс будет отражаться от обоих концов и бегать по струне. Поскольку расстояния между импульсами одинаковы, то процесс на выбранном участке будет тоже повторяться. Если первоначальный импульс — синусоидальный и оба импульса равны по амплитуде, распространяются в разные стороны, и смещение в точке поворота меняет знак, можно получить также синусоидальную волну, форма которой между двумя закрепленными точками остается неизменной, а амплитуда меняется в зависимости от времени. Точки, в которых смещений нет, называют узлами стоячей волны. На струне длиной L можно возбудить стоячие волны, и, если ее длина такова, что узлы приходятся на точки закрепления струны: n(λ/2) = L, ãäå n = 1, 2, 3… Точки максимального отклонения вниз или вверх, называются пучностями стоячей волны. На соседних участках колебания противоположны по фазе. Стоячие волны на струне можно представить и как результат сложения двух бегущих волн. При наложении друг на друга они создадут весьма устойчивую картину. Если мы уловим момент, когда бегущие волны будут в противофазе, то струна (или веревка) в этот момент будет совершенно прямой.

Понятие стоячих волн, зародившееся в науке о звуковых колебаниях, сыграло большую роль в других областях физики. Оно было распространено на другие колебательные системы, благодаря чему была решена задача теплового излучения, приведшая к созданию квантовой гипотезы. С использованием этой модели и волновой механики сумели описать строение атома. В современной теории атом рассматривается как система, обладающая определенными формами стоячих волн с характеристическими частотами. Вместо орбит в модели атома Бора теперь вводят замкнутые кольца стоячих волн. Чем дальше орбита, тем большее число пучностей должно войти в это кольцо.

По тому же принципу строятся модели для атомного ядра. Волны — это не просто участки струны, отклоняющиеся вверх и вниз, и даже не колеблющиеся электроны, а мера вероятности того, что частица находится в данном месте.

Волны на поверхности воды являются важным типом волн. Они давно привлекали исследователей, поскольку сопровождают перемещение судов. Если создать возмущение на поверхности воды в глубоком бассейне, то возникнут волны. Частицы жидкости, находящиеся вблизи впадины, при создании возмущения будут стремиться заполнить ее под действием тяжести, создавая волны в воде. Частицы возникшей волны будут двигаться почти по окружностям, т.е. как бы совмещая свойства продольных и поперечных волн, но отличаясь от них обеих. С глубиной радиусы окружностей будут уменьшаться до нуля. Скорость распро-

странения волны Ñ зависит от λ: для длинных волн —

— —–— пропорциональна √gλ, для коротких — √σ/λρ, а для средней

длины — от всех перечисленных параметров. Здесь ρ — плотность жидкости, σ — коэффициент поверхностного натяжения. Значит, длинные волны вызваны силой тяжести (g), а для коротких — силой поверхностного натяжения.

Необычную волну — уединенную — наблюдал в 1834 г. шотландский ученый Дж.Рассел. Баржу тянули по каналу; после неожиданной остановки приведенная ею в движение масса воды остановилась около носа баржи, а затем оторвалась от него. И это уединенное возмущение покатилось по каналу с большой скоростью, не меняя формы. Рассел заметил, что не меняется и скорость C этой уединенной волны, она зависит от глубины канала h и высоты волны a:

———

C = √g(a + h), a < h. Кроме того, одна большая волна может распадаться на несколько, и эти волны проходят одна через другую, подобно малым волнам на поверхности. Многие ученые отнеслись критически к открытым Расселом свойствам уединенной волны.

Уравнение для описания длинных волн на воде вывели в 1895 г. датские ученые Д.Д.Кортевег и Г. де Фрис. Они предположили, что при распространении волны выполнены условия, означающие много меньшую амплитуду волны по сравнению с глубиной бассейна: (a/h) << 1, но длину волны много большую этой глубины: h/λ << 1. Они рассматривали u(x, t) как отклонение от положения равновесия на поверхности воды (форма волны), зависящее от координаты x и времени t. Их уравнение, известное по имени авторов как уравнение КдФ, дифференциальное в частных производных du/dt + 6u (du/dx) + d2u/dx2 = 0. Изучаемая характеристика u зависит от пространственной координаты x и времени t. Само уравнение прожило яркую жизнь, когда стали разрабатывать методы его решения на ЭВМ. Оно используется для ионно-звуковых волн в плазме, волн возбуждения в живой материи, описания дислокаций в кристалле, распространении сверхкоротких световых импульсов в опти- ческих средах и др.; на его основе были разработаны методы решения дифференциальных уравнений в частных производных (так называемый метод обратной задачи рассеяния). При исследовании сложения двух уединенных волн оказалось, что высокие уединенные волны движутся скорее. Поскольку после взаимодействия волн сохраняется форма волны и скорость, процесс напоминает упругое

58

столкновение двух частиц. Такую волну и назвали солитоном (îò àíãë. solitary — уединенный). И солитоны, в самом деле, ведут себя как частицы. При соприкосновении таких волн большая замедляется и уменьшается, а малая — ускоряется и замедляется. И далее — по циклу, подобно упругим мячам.

Солитон — нелинейная уединенная волна, сохраняющая свою форму и скорость при собственном движении и столкновении с себе подобными волнами, т.е. образование устойчивое. Результатом взаимодействия солитонов может быть лишь сдвиг фаз.

Модель гармонического осциллятора используется как в классической, так и в квантовой механике.

5.2.РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СРЕДАХ. РЕАКЦИЯ ОРГАНИЗМА НА ИНТЕНСИВНОСТЬ

ИЧАСТОТЫ ЗВУКОВЫХ ВОЛН. МОДУЛЯЦИЯ ЗВУКА

Упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, называют звуковыми. Принято различать тоны или музыкальные звуки; шумы; звуковые удары. Гармони- ческий процесс называют чистым или простым тоном, а ангармонический — сложным тоном. Сложный тон раскладывают на простые, при этом наименьшая частота — основной тон, а обертоны èëè гармоники имеют частоты, кратные основному. Набор частот с указанием интенсивностей компонент называется акустическим спектром. Шум — это звук, отличающийся сложной неповторяющейся временной зависимостью. Например, вибрации машин, скрип, шорох, согласные звуки речи. Звуковой удар — это кратковременное звуковое воздействие: взрыв, хлопок и др.

Колеблющаяся плоская пластинка возбуждает в среде бегущую волну с амплитудой õ0 и частотой ω/2π, которая будет распространяться от источника. Эта волна звуковая, и пластинка передает слою воздуха массой m некоторую энергию.

Максимальная кинетическая энергия этого слоя

I =

1

ρω2 x02 u.

1

mV0

2

=

1

mω

2

2

E =

1

(ρA x)ω

2

2

2

2

2

x0 ,

2

x0 , ρ — плотность слоя

воздуха. Но при простом гармоническом движении средняя

потенциальная энергия равна средней кинетической, то это

выражение описывает запас энергии в слое площадью À è

толщиной õ. Пусть колебания начинаются при t = 0 è

распространяются в воздухе со скоростью u =

x/ t, ãäå

x — расстояние, на которое распространится возмущение

за время

t. Разделив выражение для энергии на

x, ïîëó-

÷èì:

E

=

1

ρA

x ω2 x02 , P =

1 ρAω2 x02 u, P — мощность, излу-

t

2

t

2

чаемая колеблющейся пластинкой в направлении õ. Тогда мощность, приходящаяся на единицу площади, даст интенсивность любой бегущей волны, т.е. и звука. Получим это выражение для интенсивности звука, разделив обе части полученного выражения для мощности на À.

Èòàê,

. Интенсивность звуковой волны

пропорциональна квадрату амплитуды и определяется как скорость потока энергии через единичное поперечное сечение. В системе СИ интенсивность измеряется в Вт/м2. Наименьшая интенсивность звука, которую слышит человеческое ухо, порядка I0 = 10–12 Âò/ì2, ее называют порогом слышимости.

Реактивный самолет, набирающий высоту недалеко от человека, создает интенсивность звука в 1015 раз, а поезд метро — в 1010 раз большую. Болевой порог интенсивности — 1012 I0, это значение может достигаться на концертах рок-музыки. Приведенные показатели степени,

умноженные на 10, определяют децибельную шкалу интенсивности звука, названную в честь Генриха Белла. Интенсивность звука в децибелах β = 10 lg (I/I0) и обозначается дБ. Тогда порог слышимости составляет 0 дБ, а концерт рок-музыки — 120 дБ. Санитарная норма соответствует 30–40 дБ.

Шумовая болезнь проявляется в повышенном артериальном давлении, быстрой утомляемости, плохом сне и ослабевании слуха. Тембр звука при одинаковых громкости и высоте тона определяется спектральным составом звука, испускаемого разными источниками. Звуковые волны распространяются в воздухе со скоростью 330 м/c при нормальных условиях, причем их скорость не зависит от частоты.

Человеческое ухо способно воспринимать только часть звуковых колебаний, которые, попадая на барабанную перепонку, возбуждают нервную реакцию. Для оценки интенсивности звука удобнее использовать звуковое давление, возникающее в среде при прохождении звука.

Интенсивность звука I связана с давлением p, плотностью среды ρ и скоростью звука ñ соотношением: I = p2/(2ρ c)2. Высота звука определяется частотой колебаний, она тем выше, чем больше частота. Интервалу волн от 20 м до 1,6 см, воспринимаемых ухом, соответствует диапазон частот между 16 и 20 000 Гц, соответственно. Диапазон звуковых частот и соответствующих им длин волн (Гц/м) приведен ниже.

Нижний предел слышимых звуков ................	16/21,5
Самая низкая нота рояля .................................	27,5/12,4
Фон сети переменного тока ...........................	60/5,7
Нижний предел для радиоприемников .........	100/3,4
Среднее «фа» для настройки оркестра .........	440/78 10–2
Верхнее «си» .....................................................	1048/33 10–2
Самая высокая нота рояля ..............................	4186/8,2 10–2

Указанные пределы слышимости относятся к молодым людям. С возрастом диапазон сокращается, мужчины начинают утрачивать чувствительность к высоким нотам раньше, чем женщины. В среднем возрасте они уже не воспринимают звуки выше 12 000 Гц. Обычно после 50 лет верхняя часть спектра звуков оказывается недоступна. Обращает на себя внимание тот факт, что воспринимаемый нами диапазон звуков шире того, который используется для речи или пения (100–1000 Гц). Но когда высокие звуки урезаны (как правило, в недорогих акустических системах), то теряются яркость и красота звучания. Если урезаны низкие частоты, звук кажется монотонным, хотя высота тона воспринимается верно.

С XVII в. начались попытки определения скорости звука.

59