ность Земли оказалась больше плотности вблизи ее	в прямом направлении (в направлении ее орбитального
поверхности, и пришлось признать, что Земля неоднородна,	движения) с периодом почти 9 лет, точки пересечения
а ее плотность растет с глубиной. Это подтверждают и	лунной орбиты с земной (узлы лунной орбиты) движутся
другие исследования, в частности сейсмические.	несколько назад вдоль орбиты с периодом 18,6 лет и т.д.
На земной поверхности ускорение свободного падения	Ïðè ýòîì приливообразующая сила Луны более чем в
примерно постоянно. Оно отличается из-за сплюснутости	2 раза больше, чем Солнца, поскольку эта сила пропор-
у полюсов на 0,18% и из-за центробежных сил при пере-	циональна кубу расстояний (что следует из расчета с
мещении от экватора к полюсу — на 0,34%. Уровень земных	использованием закона тяготения Ньютона).
морей и океанов, испытывающий периодические изме-	Точное и устойчивое решение задачи трех тел, как было
нения, связанные с лунными сутками, зависит от прилив-	показано позднее Лагранжем, возможно только в том
íîãî (èëè дифференциального) гравитационного притя-	случае, когда три тела лежат в вершинах равностороннего
жения.	треугольника, вращающегося вокруг центра масс данной
С ним же связаны и другие эффекты, которые (хотя и	системы с постоянной угловой скоростью 2π/T. Эти точки
малы) заметны: так, лунные сутки примерно на час длиннее,	устойчивости определяют оптимальные условия работы
ось вращения Земли испытывает прецессию с периодом	космических станций.
примерно 26 000 лет, большая ось лунной орбиты вращается

4.5. СВЯЗЬ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ СО СВОЙСТВАМИ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ

Закон всемирного тяготения определяет притяжение

двух точечных масс. Äëÿ двух точечных неподвижных зарядов сила электростатического взаимодействия (закон Кулона) имеет такой же вид, как и в поле гравитации, только вместо масс будут стоять заряды q è Q. Знак зарядов может быть разным в отличие от масс, которые всегда положительны. Поэтому сила может быть притягивающей (–) или отталкивающей (+).

Если тело не подвергается никакому воздействию, его состояние движения (скорость) остается постоянной. При взаимодействии двух тел сохраняется импульс Ð = Mv. Инертная масса М определяется так, чтобы импульс при столкновении двух тел оставался неизменным. При упругом столкновении тел сохраняется еще одна величина — (1/2)

Mv2, èëè кинетическая энергия (раньше ее называли живой силой). Эта величина всегда положительна. При неупругих

èпрочих взаимодействиях изолированных двух тел сохраняется сумма кинетической и потенциальной энергий, èëè

полная энергия системы.

Âизолированной системе сохраняется и момент импульса, который часто называют кинетическим моментом. Он равен векторному произведению расстояния r от оси вращения и импульса Mv.

Реакция вращающейся системы на внешнее воздействие проявляется в гироскопических эффектах. Земля — большой волчок, и ось ее вращения сохраняет свой наклон по отношению к горизонтали практически неизменным, но испытывает прецессию относительно вертикальной оси.

Потенциальную энергию считали равной «ушедшей» на время кинетической энергии. Выделим три случая:

а) в поле гравитации потенциальная энергия пропорциональна вертикальному смещению тела и его инертной

массе Åï.ãð = Mgh. Более точным является выражение G(mM / r), в которое входят расстояние до центра Земли r

èуниверсальная постоянная G. По мере удаления от центра Земли потенциальная энергия начинает убывать скорее, и в знаменателе этой формулы будет стоять r2. При малых перемещениях вблизи поверхности сохраняется Mgh;

б) потенциальная энергия пружины пропорциональна квадрату ее деформации Eï.ïð = (1/2)kx2;

в) магнитная потенциальная энергия в грубом приближении обратно пропорциональна первой степени рассто-

яния между магнитами: Åï. ìàãí = K / x.

Наклон графика зависимости потенциальных энергий от расстояния отражает тенденции изменения.

Сила, которую развивает система при убывании ее потенциальной энергии, выражается через наклон кривой потенциальной энергии, взятой со знаком «минус»: F = –(∂E / ∂x). Сила измеряется соответственно в Дж/м. В честь Ньютона эту единицу назвали ньютоном: 1 Дж/м = = 1 Н.

Для указанных выше значений потенциальных энергий получим значения силы по записанной выше формуле. Поскольку для потенциальной энергии гравитации, равной Mgh, график — прямая с постоянным наклоном, то и сила гравитации равна Mg. Она представляет вес тела и направлена вертикально вниз. Для сжатой пружины потенциальная энергия пропорциональна квадрату сжатия, поэтому сила пропорциональна величине сжатия и направлена в противоположную сторону: F = –kx. Для отталкивания цилиндрических магнитов потенциальная энергия пропорциональна обратной величине расстояния между полюсами магнитов, поэтому сила пропорциональна обратной вели- чине квадрата расстояния, т.е. 1/x2.

Работа есть скалярное произведение силы на перемещение, на протяжении которого она действует, можно записать: À = F x. Но работа равна изменению потенциальной энергии той системы, на которую сила воздействует. А сила может увеличить и скорость тела (кинетическую энергию), и его потенциальную энергию, связанную с его положением. Отсюда иное определение силы:

Ñèëà — это изменение потенциальной энергии системы, отнесенное к тому расстоянию, на котором оно произошло, равно изменению импульса системы, отнесенному к тому времени, за которое оно произошло. Это понятие наглядно, оно сохранилось с древних времен, а в современной науке оно является производным от энергии, сохраняющейся величины.

 изолированных системах при движении сохраняется полная энергия системы. Кроме того, для поступательного

54

движения сохраняется импульс, а для вращательного — момент импульса. Поскольку последние две величины — векторные, и каждой из них соответствует по три сохраняющихся компоненты импульса и момента импульса. Таким образом, при взаимодействиях в изолированных системах имеют место семь сохраняющихся величин.

Установленные связи между свойствами пространства

èвремени и законами сохранения содержались в скрытой форме в принципах классической механики Галилея– Ньютона. Галилей рассматривал пространство и время как реальности, существующие вне нашего сознания. Открытый им принцип относительности отражал однородность è изотропность пространства. У Ньютона пространство и время абсолютны в том смысле, что свойства пространства не зависят от движущихся в нем тел и протекающих механи- ческих явлений, а свойства времени — от движущейся материи. Пространство и время не связаны между собой, они как бы арена, где происходят события. Однородность

èизотропность пространства и времени необходимо следуют из законов Ньютона.

Впоследствии оказалось, что законы Ньютона можно заменить единым постулатом — вариационным принципом, который был удобнее во многих отношениях, в частности, в том, что его можно использовать при формулировке сложных задач. В механике материальной точки этот постулат равноценен законам Ньютона. Схему, основанную на законах Ньютона, иногда называют векторной механикой, поскольку она имеет дело с векторными вели- чинами, например, скоростью, силой, ускорением.

Аналитическая механика — другая схема построения механики, введенная Лейбницем и развивавшаяся Эйлером, Лагранжем, Гамильтоном. Ее величинами были скаляры, и динамические соотношения получались через операции дифференцирования. Методы аналитической механики позволили решать более сложные задачи, причем оказалось, что их можно распространить на теорию поля или квантовую механику, где ньютонова механика не применима. В аналитической механике для замкнутых систем существуют такие функции координат и скоростей образующих систему N материальных точек, которые при движении не меняются. Если в системе N материальных точек, то таких сохраняющихся величин, называемых интегралами движения, будет N – 1. Среди них есть такие, которые обладают свойством аддитивности. Это свойство можно охарактеризовать так: значение интеграла движения для системы, состоящей из невзаимодействующих частей, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. Все эти три сохраняющихся величины (или семь скалярных) и являются интегралами движения.

Эстетически вернее было бы постулировать законы механики в аналитической форме, а потом показать, что в некоторых ограниченных простейших случаях можно получить законы Ньютона. Но векторная форма проще и нагляднее, поэтому решение — какой путь избрать при обучении — неоднозначно. В аналитической механике показывается, что состояние любой системы можно описать введением функции Лагранжа, зависящей от координат

èскоростей. И если известно, что в моменты времени t1 è t2 система занимает определенные положения, характе-

ризуемые наборами координат, то среди возможных движений между этими положениями реальным будет то, вдоль которого действие будет иметь минимум. Действием называется интеграл от функции Лагранжа от t1 äî t2:

S = δ L(q, q, t)dt.

Для сложных систем, которые имеют N степеней свободы, оказываются N сохраняющихся величин. Но не все они одинаково важны, некоторые имеют общее значение, связанное со свойствами симметрии пространства и времени. С однородностью времени оказался связан закон сохранения энергии, с однородностью пространства — закон сохранения импульса, с изотропией — закон сохранения момента импульса. Мы не имеем возможности получить здесь эти законы из свойств симметрии из-за необходимости использовать математический анализ. С этим, безусловно, увлекательным выводом можно познакомиться в более специальной литературе. Но общий вывод аналитической механики приводит к мысли, что пере- численные законы сохранения потому и стали великими, что связаны и определяются свойствами симметрии пространства и времени.

«Симметричное обозначает нечто, обладающее хорошим соотношением пропорций, а симметрия — тот вид согласованности отдельных частей, который объединяет их в целое. Красота тесно связана с симметрией», — писал Г.Вейль. При этом он ссылается не только на пространственные соотношения, но также синонимом симметрии считает гармонию, указывающую на акустические и музыкальные приложения идеи симметрии. Многим творениям человеческих рук симметричная форма придается как из эстетических, так и практических соображений. Симметрия широко распространена в природе (вспомним причудливую симметрию снежинок).

Зеркальная симметрия в геометрии относится к операциям отражения или вращения. Она была особо почитаема на древнем Востоке, что отражено в орнаментах и скульптурах той эпохи. Западное искусство, напротив, смягчало и даже слегка нарушало строгую симметрию. Мелкие организмы, взвешенные в воде, имеют почти шарообразную форму. У организмов, живущих в морских глубинах и подверженных давлению тяжести, множество поворотов вокруг центра (т.е. вращательная способность) свелось к отдельным поворотам вокруг некоторой оси. Действие факторов филогенетической эволюции, стремившейся вызвать наследственное различие между правым и левым, тормозилось теми преимуществами, которые животное извлекало из зеркально-симметричного расположения своих органов. Этим можно объяснить, почему наши конеч- ности более подчиняются симметрии, чем внутренние органы. Возможно, это связано и с онтогенезом левого и правого, с плоскостью первого деления клетки.

Наибольшей симметрией обладают кристаллы, но не у всех из них наблюдается зеркальная симметрия. Существование оптически активных кристаллов, т.е. поворачи- вающих плоскость поляризации падающего на них света, долгое время казалось удивительным. Было установлено, что большинство соединений углерода в природе встре- чается и в той, и в другой форме. Расположение сердца и закручивание кишечника у человека почти всегда (99,98%)

55