Глава 8. ДИНАМИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ МАКРОМИРА

8.1. СТРУКТУРНЫЕ УРОВНИ ОРГАНИЗАЦИИ МАТЕРИИ

Иерархическое строение материи (структурная организация материи) — любой объект от микрочастиц до организмов, планет и галактик является частью более сложного образования и, с другой стороны, сам может считаться таковым, т.е. состоящим из неких составных частей. Доступная для наблюдения часть мира простирается в пространстве от 10–15 äî 1028 см, а во времени — до 2 1010 лет. Современное научное знание основано на структурности материи и системном подходе.

Молекула — наименьшая частица вещества, сохраняющая его химические свойства. Молекулы состоят из атомов, соединенных химическими связями. Молекула инертных газов — это просто атомы Молекулы других газов состоят из двух или более атомов. Молекулы, состоящие из многих повторяющихся групп атомов, называют макромолекулами. Было установлено, что свойства веществ определяются не только составом молекул, но и их структурой. Удалось выделить в молекуле структурные блоки, состоящие из групп атомов или из отдельных атомов, каждый из которых обладает своей уникальной реакционной способностью. Теория химического строения молекул была создана А.М.Бутлеровым. Позже она была подтверждена квантовой механикой. Под молекулярной структурой понимается сочетание атомов, которые имеют закономерное расположение в пространстве и связаны между собой химической связью с помощью валентных электронов.

Àòîì — составная часть молекулы. Существование структуры атома было доказано открытием в 1897 г. Дж.Дж.Томсоном электрона, называемого атомом электри- чества. Заряд электрона Томсон определил уже в 1898 г., а через 5 лет предложил модель строения атома. В 1903 г. Э.Резерфорд нашел посредством опытов с отклонением альфа-лучей, что отношение заряда к массе по знаку и величине соответствует дважды ионизованным атомам гелия. Опыты показали, что в атомах существуют положительно заряженные частицы — ядра, в которых сосредоточена почти вся масса атома и которые имеют размеры 10–12 см, тогда как размеры самого атома порядка 10–8 см. Была предложена «планетарная» модель атома. Исследования многих ученых того времени показали, что место элемента в периодической системе, его атомный номер, определяется числом элементарных зарядов ядра атома. Периодичность же свойств элементов объяснила только квантовая механика.

Элементарные частицы были открыты постепенно вслед за электроном: протон, нейтрон и другие (сейчас их известно более трехсот) и соответствующие им анти- частицы. Для упорядочения этого обилия элементарных частиц их группируют по разным признакам — времени жизни, участию в разных типах фундаментальных взаимодействий и пр.

Кварковая модель строения элементарных частиц

существует с 1964 г. (Г.Цвейг, М.Гелл-Ман). Сначала кварки рассматривались как гипотетические структурные эле-

менты с дробным электрическим зарядом, но они заняли в квантовой хромодинамике роль основных частиц. Открытие возможности превращений одних элементарных частиц

âдругие показывает, что они тоже имеют сложную внутреннюю структуру. Эту структуру описывают с помощью так называемых «виртуальных» частиц, так как эту внутреннюю структуру невозможно описать через другие частицы.

На микро-, макро- и мегамир подразделяют все уровни строения материи и все типы материальных систем. Понятие структуры охватывает весь мир. В нем относительны «сложное» и «простое». Атом — простой элемент молекулы, но сложный относительно составляющих его элементарных частиц.

Микромир — мир очень малых микрообъектов, размеры которых от 10–8 äî 10–16 см, а время жизни может быть до 10–24 с. Испускание (и поглощение) света происходит порциями, квантами, получившими название фотонов. Это мир — от атомов до элементарных частиц. При этом для микромира свойственен корпускулярно-волновой дуализм, т.е. любой микрообъект обладает как волновыми, так и корпускулярными свойствами. Описание микромира опирается на принцип дополнительности Н.Бора и соотношение неопределенности Гейзенберга. Мир элементарных частиц, которые долго считали элементарными «кирпичиками», подчиняется законам квантовой механики, квантовой электродинамики, квантовой хромодинамики. Квантовое поле носит дискретный характер.

Макромир — это мир объектов, соизмеримых с человеческим опытом. Размеры макрообъектов измеряются от долей миллиметра до сотен километров, а времена — от секунд до лет. Поведение же макроскопических тел, состоящих из микрочастиц, описывается классической механикой и электродинамикой. Материя может пребывать как в виде вещества, так и в виде поля, причем вещество дискретно, а поле — непрерывно. Скорости распространения поля равны скорости света, максимальной из возможных скоростей, а скорости движения частиц вещества всегда много меньше скорости света.

Мегамир — мир объектов космического масштаба. Объекты мегамира — планеты, звезды, галактики, Метагалактика. Помимо перечисленных космических тел во Вселенной присутствует материя в виде излучения и диффузная материя. Последняя может занимать огромные пространства в виде гигантских облаков газа и пыли — газопылевых туманностей. В звездах сосредоточено 97% вещества в нашей галактике, называемой Млечный Путь или Галактика. В других галактиках распределение материи почти такое же. Почти все звезды образуют системы. Так,

âГалактике почти все звезды являются двойными, а всего их более 120 млрд. Диаметр Галактики порядка 100 тыс. св. лет, наше Солнце — рядовая звезда типа желтый карлик находится на краю утолщенного диска, в 5 пк от края. Но много и звездных систем из 3–5 звезд, часто они окружены диффузной материей. Звездные скопления могут состоять

85

из нескольких сотен отдельных звезд, а шаровые скопле-	синтез пока осуществить не удалось, на этом пути было
ния — из сотен тысяч. Галактики, наблюдаемые с Земли	открыто много нового и интересного.
как туманные пятнышки, имеют разную форму: спиральную,	В последнюю четверть века необычайно сблизились
неправильную, эллиптическую. Число их достигает 10 млрд.	космология и физика элементарных частиц, и на пути этого
Галактики встречаются тоже в виде скоплений, которые	сближения были получены новые результаты. Прежде всего
состоят из нескольких тысяч отдельных систем. Упоря-	это дало возможность понимания сущности процессов
доченная система галактик получила название Метага-	рождения пространства–времени и вещества в коротком
лактики. Мегамир описывается законами классической	интервале от 10–43 äî 10–35 с после первичной сингуляр-
механики с поправками, которые были внесены теорией	ности, называемой Большим Взрывом. Считают, что
относительности.	разрешение этой глобальной проблемы тесно связано с
Многие теоретики пытались едиными уравнениями	разрабатываемыми сейчас так называемыми Теориями
охватить гравитацию и электромагнетизм. Строились	Всего Сущего (ТВС), которые должны объединить описания
многомерные теории поля в попытках свести явления к	всех фундаментальных взаимодействий между частицами.
геометрическим свойствам пространства. Гравитация при	Такое совпадение предмета исследований изменило сло-
этом играла все большую роль. Она, по теории Эйнштейна,	жившуюся методологию наук. Традиционно астрономия
представляет собой искажение самого пространства–	считалась наблюдательной, не экспериментальной наукой,
времени. Поскольку квантовый мир никогда не находится	а ускорители были инструментом в физике элементарных
в покое, во Вселенной, подчиняющейся законам квантовой	частиц. Теперь в космологии стали строить предположения
гравитации, кривизна пространства–времени и его струк-	о свойствах частиц и их взаимодействиях, проверить
тура должны флуктуировать. Поэтому понятия прошлого и	которые стало возможным уже для нынешнего поколения
будущего, последовательность происходящих событий в	ученых.
таком мире тоже должны быть иными. Возможно, эти	Например, из космологии следует, что число фунда-
изменения существуют, но пока не обнаружены, так как	ментальных частиц должно быть невелико. Это пред-
квантовые эффекты проявляются в исключительно малых	сказание относилось к анализу процессов первичного
масштабах. На эти малые масштабы впервые обратил	синтеза нуклонов, когда возраст Вселенной составлял
внимание в самом начале XX столетия Макс Планк, кото-	около 1 с, и сделано было в то время, когда казалось, что
рый и ввел свою постоянную h (постоянная Планка). Теория	достижение больших мощностей на ускорителях приводит
квантовой гравитации должна была соединить теорию	к увеличению числа элементарных частиц. Но если бы
относительности и квантовую механику, и хотя такой	частиц было много, Вселенная была бы сейчас иной.

8.2. МИКРО И МАКРОПЕРЕМЕННЫЕ. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ

Идеал научной теории, сложившийся под влиянием успехов классической механики, состоял в отыскании наиболее общих, количественно формулируемых законов природы. В механике состояние системы однозначно определяется координатами и скоростями частиц. И зная их, можно вычислить любую другую механическую вели- чину в данный момент времени: энергию, момент импульса

èпр. Кроме того, зная действующие на систему силы, можно определить состояние системы в любой другой момент времени в прошлом или будущем. Эта удивительная однозначность и детерминизм и составляет основу динами- ческого описания. В XIX в. еще считалось, что только динамические закономерности отражают принцип при- чинности в природе. Ныне уже никто не сомневается ни в реальности атомов, ни в том, что статистическая трактовка глубже термодинамической (фактически феноменологи- ческой). Принципиально статистический характер законов микромира изменил представление об идеале причинности, поскольку он основан на вероятностном описании явлений. В проблеме соотношения динамических

èстатистических закономерностей отражено в количественной форме соотношение необходимого и случайного, которое пронизывает все необходимые связи в природе. Она имеет большое значение для интерпретации квантовой механики.

Параллельно с развитием классической механики частиц и твердых тел шло развитие и механики сплошных сред (жидкостей, газов и деформируемых твердых тел).

Трудами Бернулли, Эйлера и др. были заложены основы гидродинамики идеальной жидкости. Ставшее класси- ческим уравнение Эйлера описывает движение жидкостей и газов в случае, когда можно игнорировать вязкость и теплопроводность сред. Его можно вывести из законов Ньютона для системы материальных точек. Вместо набора координат и импульсов частиц Эйлер использовал для описания состояния системы некоторые функции, описывающие распределение различных физических величин в пространстве. Эти величины: плотность, давление и скорость — связаны уже не с отдельной частицей, а с точкой пространства (зависят от ее координат) в данный момент времени. И для решения задач гидродинамики нужно задавать не конечное число координат и импульсов, а начальные и граничные условия на эти их функции, которые описывают состояние среды в целом. Если уравнение Эйлера решать вместе с уравнением непрерывности, которое выражает закон сохранения вещества в гидродинамике, то можно решить любые задачи динамики идеальных сред. То есть динамический характер законов динамики идеальных сред (гидродинамика, теория упругости) остался незыблемым.

Гидродинамика неидеальной (вязкой) жидкости

стала развиваться в XIX в. При движении такой жидкости (или газа) возникают силы трения и теплообмен. При этом имеет место диссипация энергии, которая не учитывается в идеальных моделях. В этом случае уже нельзя строить теорию процессов, опирающуюся только на механику, где

86

все процессы обратимы. И такая теория была построена только на основе теории теплоты, где иначе (чем в механике) определяется состояние системы.

Состояние системы определяют термодинамические параметры — давление p, объем V, температура Т. Если первые два из них имеют механический смысл, то последний его лишен. Между параметрами существует связь, выражаемая уравнением состояния, которое устанавливается из опыта и не получено теоретически. Известно, что состояние заданной массы газа в отсутствие внешних воздействий не меняется, если газ находится в равновесном состоянии.

Ãàç — это совокупность слабо связанных частиц. Атомы в газах находятся на значительном расстоянии друг от друга и обладают свободой движения, хаотически сталкиваясь друг с другом и со стенками сосуда. Расстояния между атомами столь велики по сравнению с их размерами, и времена сближения частиц столь малы, что все газы ведут себя одинаково.

Модель идеального газа — это газ, молекулы которого пренебрежимо малы, свободно двигаются и сталкиваются

по законам упругого удара. Частицы принимаются за материальные точки, взаимодействующие на расстоянии. Частицы газа являют собой наилучший пример неупорядо- ченной совокупности однородных объектов (фр. gaz < ãðå÷. chaos «õàîñ»).

Модель реального газа, предложенная Ван дер Ваальсом в 1873 г., отличалась от модели идеального газа только двумя деталями: учетом объема самих молекул и их взаимодействия — притяжения. Последний фактор несколько уменьшает давление, так как каждая молекула при столкновении как бы тормозится притяжением соседних молекул. Так появилось новое уравнение состояния, которое получило имя автора.

При низких абсолютных температурах газы уже не похожи на газы, их свойства определяются квантовыми законами. В этих условиях используются квантовые функции распределения, которые переходят в классические с повышением температуры. Области, в которых наступают отклонения от закона распределения, называют областями вырождения газа (для водорода, например, эта область находится при Ò = 1 Ê, для других газов — еще ниже).

8.3.ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МОЛЕКУЛЯРНО КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

ИЭМПИРИЧЕСКИЕ ЗАКОНЫ

Различные тела могут быть в разных агрегатных состояниях — газообразном, жидком, твердом или в виде плазмы. Но они имеют общее в своем строении — они состоят из молекул, а молекулы — из атомов. Элементарная молекулярно-кинетическая теория газов основана на классической механике, а молекулы представляются материальными точками.

Молекулярно-кинетическая теория строения вещества основана на следующих основных положениях.

1.Молекулярное строение веществ подтверждено существованием процессов растворения, диффузии, броуновского движения и других.

2.Молекулы находятся на определенных расстояниях друг от друга, что доказывается возможностью сжатия и перечисленными выше процессами. Размеры молекул газа малы по сравнению с расстояниями между ними. При отсутствии внешних сил молекулы газа равномерно заполняют весь, предоставленный им объем.

3.Молекулы связаны силами молекулярного взаимодействия — притяжения и отталкивания. Силы отталкивания на малых расстояниях превосходят силы притяжения, но быстро убывают с увеличением расстояния между

молекулами, и с некоторого расстояния r0, называемого радиусом молекулярного действия, им можно пренебречь. При отсутствии внешних воздействий молекулы находятся

âустойчивом состоянии на расстояниях в 2 r0. Эти силы имеют электромагнитную природу.

4.Молекулы находятся в непрерывном беспорядочном движении, что доказывают те же процессы.

5.Внутреннюю энергию молекулярной системы составляет сумма кинетической энергии движения молекул, потенциальной энергии их взаимодействия и всех прочих энергий этой системы.

6.В любом, даже самом малом, объеме газа, к которому применимы выводы этой теории, число молекул велико.

Газовые законы были получены эмпирически для равновесного состояния:

Закон Бойля–Мариотта, который выполняется при постоянной температуре Ò: p1 V1 = p2 V2, т.е. описывается изотермой на pV-диаграмме.

Закон Гей–Люссака — изменение объема с температурой Ò при постоянном давлении: V = V0 (1 + βΔÒ), т.е. описывается изобарой.

Закон Шарля — изменение давления с температурой Ò при постоянном объеме: p = p0 (1 + αΔÒ), т.е. изохорный процесс. Здесь термический коэффициент давления α и коэффициент объемного расширения β одинаковы для всех газов и равны (1/273).

Параметры газа связаны между собой уравнением состояния.

Уравнение состояния газа ввел Клапейрон; оно связывает давление, объем и температуру заданной массы газа, т.е. объединяет все три газовых закона. Он записал объединенный закон Бойля–Мариотта è Гей–Люссака â âèäå: pV = R(267 + t). Клапейрон впервые употребил графи- ческое изображение обратимых круговых процессов и вычислил работу как соответствующую площадь на графике.

Уравнение Клапейрона–Менделеева получено при обобщении Д.И.Менделеевым уравнения Клапейрона с учетом закона Авогадро–Ампера–Жерара: pV = (m/μ)RT, ãäå m — масса газа, μ — его молекулярный вес, R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 (Дж/моль К). Согласно закону Авогадро, моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковый объем. При нормальных условиях он равен 22,4л=22,4 10–3ì3.

Газовые законы справедливы приблизительно, как всякие эмпирические, и описывают поведение почти идеальных газов при невысоких давлениях и не слишком высоких температурах. Они содержат нечто важное; подоб-

87

ных универсальных законов нет для жидкостей или твердых тел. Свойства твердых тел и жидкостей зависят от типа частиц, из которых они состоят, и силы взаимодействия между частицами в них меняются в очень широких пределах. Как показывают экспериментальные результаты, эти силы, имеющие отчасти характер электростатического взаимодействия, при расстояниях между молекулами более 10–9 м убывают столь быстро, что ими можно пренебречь. Поэтому свойства идеальных газов близки к свойствам реального газа.

Так как молекул много, и они часто ударяются о стенку, их суммарное действие на поверхность можно заменить одной непрерывно действующей силой. Эта сила как бы сглаживает отдельные толчки. Такое описание называется статистическим — время и место удара каждой молекулы о поверхность совершенно не интересны, важен только общий эффект, т.е. то, что входит в статистический закон.

Пусть атом газа заключен в кубическом ящике со стороной, равной L, и движется хаотически, ударяясь о стенки под разными углами. Из хаотичности движения молекул следует, что все направления их движения равновероятны. Это подтверждается тем, что давление на стенки сосуда одинаково. Проследим за компонентой скорости, направленной по оси x, и посмотрим, что происходит при ударе атома о стенки, перпендикулярные оси x; импульс атома соответственно равен Mvx è –Mvx, изменение импульса для атома равно 2Mvx. Средняя сила, действующая на любую стенку ящика от ударов N частиц, равна Fñð =

=(1/3)NMv2ñð/L. Давление равно: ð = F/S = (1/3)Fñð/S, ãäå S — площадь стенки. Подставив сюда значение для средней

силы, получаем: NMv2ñð/LS = (1/3)NMv2ñð/V, ãäå V — объем ящика (V = LS). Тогда уравнение можно преобразовать: pV =

=(1/3)MNv2ñð. Это соотношение по форме напоминает закон Бойля–Мариотта. Произведение давления на объем при постоянной температуре есть величина постоянная.

Значит, от температуры зависит правая часть, т.е. квадрат средней скорости. Средняя кинетическая энергия атомов в ящике Åêèí. ñð = (1/2)Mv2ñð. Тогда уравнение для pV можно переписать так:

pV = (2/3) N (1/2) Mv2ñð = (2/3) N Eêèí. ñð.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы газа в состоянии теплового равновесия одинакова для всех молекул газов, находящихся в тепловом контакте, и для различных молекул газовой смеси. Таким образом, Åêèí. ñð обладает основным свойством температуры и не зависит от внутренней структуры молекул и ее можно принять за меру температуры газа или тела, находящегося в тепловом контакте с газом. Обозначив усреднение уголковыми скобками вместо индексов, введем понятие кинетической температуры θ:

θ = (2/3) Åêèí. ñð = (2/3) < Eêèí>.

Тогда: pV = Nθ. Эта запись похожа на ранее полученный для идеального газа закон: pV = RT èëè pV = NkT, причем полученный как обобщение опытных данных, R = 2 кал/ (моль К). Если выбранная модель соответствует реальности, то полученное из модели выражение для pV не должно отличаться от полученного экспериментально. Приравнивая правые части, получим условие соответствия

модели опыту: Åêèí. ñð = (3/2) kT.

Температура газа должна определяться средней кинетической энергией его молекул. В 1730 г. Д.Бернулли наметил кинетику газовых сред. В частности, он сумел из

атомистических представлений вывести закон Бойля– Мариотта. Так впервые из хаоса явился порядок. Этот закон вывел и Ломоносов, его гипотеза о внутреннем вращательном движении составляющих материю частиц позволила наглядно объяснить механизм нагревания двух трущихся друг о друга поверхностей.

8.4. СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА С ЕГО МИКРОСТРУКТУРОЙ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТИЦ ГАЗА ПО СКОРОСТЯМ

Процессом называют переход системы из одного состояния в другое через некоторую последовательность промежуточных состояний. Важной схематизацией, часто используемой в молекулярной физике, является понятие о равновесном процессе.

Равновесным называется состояние, если характеризующие его параметры при отсутствии внешних воздействий остаются постоянными неограниченное время. Если это условие не соблюдается, состояние называется неравновесным. Равновесное состояние изображается точкой в координатной плоскости, если по осям координат отложить значения каких-либо двух параметров, характеризующих систему. Неравновесное состояние так изобразить нельзя, так как параметры имеют неопределенные значения. Любой процесс перехода системы из одного равновесного состояния в другое всегда связан с нарушением равновесия системы. Но если это происходит медленно, то за любой малый промежуток времени состояние системы можно охарактеризовать определенными значениями параметров. И такой процесс можно считать состоящим из ряда равновесных процессов.

Равновесный процесс состоит из непрерывной последовательности равновесных состояний. Чем медленнее протекает процесс, тем он больше похож на равновесный. Только равновесный процесс можно изобразить непрерывной линией на графике.

Понятие вероятности впервые в 1856 г. ввел в свои оценки А.Крениг. Он рассматривал газ как совокупность мельчайших упругих шариков-атомов, которые хаотично двигаются в пустоте. Исходя из вероятностных соображений он принял, что атомы газа движутся по трем взаимно перпендикулярным направлениям с одинаковой скоростью. Работа Кренига подтолкнула Клаузиуса к опубликованию своих результатов (1857 г.). Рассматривая удар молекул о стенку по законам упругих столкновений, Клаузиус вывел:

p = Nmv2/3V èëè pV = (3/2) N (mv2/2) = (3/2) K,

ãäå K — энергия поступательного движения всех частиц газа.

Поскольку давление и объем идеального газа связаны уравнением Клапейрона, он получил: N(mv2/2) = kT. В 60-е годы кинетической теории удалось объяснить многие

88

явления — диффузию, растворение, теплопроводность è

др., рассчитать сначала относительные, а затем и абсолютные значения средних скоростей молекул разных газов, найти средний свободный пробег молекулы. Его рассчитал Дж.К.Максвелл в 1866 г.

Средний свободный пробег определялся как среднее значение длины прямолинейного пути, проходимого молекулой между последовательными соударениями. Отсюда нетрудно посчитать и среднее число соударений частицы за определенное время. При обычных условиях это число очень велико — около 5 млрд соударений за 1 с. Подведение тепла увеличивает кинетическую энергию движения частиц, растут давление и температура. Как только они достигнут высоких значений, возрастает вероятность столкновений между частицами, и сходство газов исчезает.

Поступающая в газ энергия должна как-то распределиться между атомами. В любой момент времени одна часть атомов движется быстрее, другая — медленнее, но их средняя кинетическая энергия пропорциональна температуре ãàçà Ò. Если к сосудам, содержащим равное число молекул двух разных газов, подвести равное количество тепла, то их температура повысится на одну и ту же величину, т.е. удельные теплоемкости ñ, приходящиеся на одну молекулу, одинаковы.

Распределение молекул по скоростям определяет распределение энергий, или энергетический спектр газа, от которого зависят многие свойства газов. В состоянии равновесия все направления скоростей равновероятны, иначе тепловое движение частиц не было бы беспорядочным, но равными по величине они быть не могут. Если такое и случится в какой-то момент, то столкновения быстро изменят эту ситуацию. Максвелл рассуждал следующим образом: ни одно направление движения и ни одно значение скорости не является выделенным, и предоставленный самому себе газ приходит в стационарное состояние, которое характеризуется определенным распределением скоростей.

Поскольку по всем трем осям проекции скоростей должны быть независимы и равновероятны, можно записать

W(Võ, Vó, Vz) = W(Võ) W(Vó) W(Vz), причем все вероятности распределения W(Vi) должны иметь одинаковый вид. Кроме

того, с одинаковой вероятностью будут встречаться скорости вдоль каждой оси и против нее, т.е. вероятность должна зависеть от квадрата скоростей W(Vi2). Повернем теперь координатные оси так, чтобы новая ось x′ совпала с направлением вектора скорости, т.е. проекции скорости в новой системе будут (V, 0, 0). От поворота осей значение функции W(V) измениться не должно, поэтому: W(Võ′, Vó′,

Vz′) = W(Võ′2) W(0) W(0).

Íî Võ′2 = V2 = Võ2 + Vy2 + Vz2, W(V2) W2 (0) = W(Võ2) W(Vy2) W(Vz2).

Таким образом, нужно найти функцию от суммы вели- чин, которая распадается на произведение таких же функций от каждого слагаемого в отдельности. Этим свойством обладает показательная функция. Покажем это, например, для основания степени числа 10: 10a+b+c (100)2 = 10a 10b 10c. (Можно взять и любое другое число.) Но квадраты проекций скорости на оси — величины размерные и потому не могут стоять в показателе степени без коэффициента, обеспечивающего его безразмерность.

Среднее значение кинетической энергии имеет размерность квадрата скорости: <Eêèí> = m <V2>/2 = (3/2)θ. Поэтому величина (θ/m) имеет ту же размерность, а обратная ей (m/θ) — размерность обратного квадрата скорости. Если взять за основу величину å = 2,718…, то среднее значение кинетической энергии не изменится и согласуется с прежним определением. Тогда искомая функция W(Vx2) окажется пропорциональной exp (–mVx2/2θ). Очевидно, что нужно подобрать еще коэффициент пропорциональности, исходя из условия, что W = 1. Запишем этот коэффициент в готовом виде и получим искомое максвеллово распределение по скоростям:

———–

W(Vx) = √(m/2πθ) exp (–mVx2/2θ).

Можно показать, что никакая другая функция распределения, кроме exp (–E/θ), не совместима с законом сохранения энергии при отдельных соударениях частиц. Графически W(Vx) представляется гауссовой кривой. Максимум этой кривой лежит в окрестности нуля, т.е. в газе больше всего молекул с нулевыми значениями компонент скорости. Это связано с равновероятностью направлений скоростей, так что средняя проекция скорости хаоти- ческого движения на любое направление равна нулю. Гауссовы распределения встречаются в разных системах (даже в социальных).

Максвелл рассматривал свою модель газа как математическую аналогию реальности. «Вместо того, чтобы говорить, что все частицы тверды, упруги и шарообразны, можно сказать, что частицы являются центрами сил, действие которых ощутимо лишь на некотором малом расстоянии, где они проявляются внезапно и в виде очень интенсивной силы отталкивания». Далее он проводит сопоставление с величинами, характеризующими тепловое движение, заменяя среднюю скорость распределением скоростей (1859 г.). Проведя ряд опытов, Максвелл заклю- чил: можно считать, что сила отталкивания должна быть обратно пропорциональна пятой степени расстояния между молекулами. В 1866 г. он вывел свой закон распределения по скоростям уже с этой поправкой.

Распределением Максвелла называется распределение молекул по проекции скорости, определяемое функцией W(Vx) = (m/2πθ)1/2 exp (–mVx2/2θ), оно установлено Максвеллом в 1859 г. Кривые распределения по компонентам скорости и абсолютному значению скорости отличны одна от другой. Первая является частным случаем нормального закона распределения Гаусса, которому подчиняются случайные ошибки при измерениях (рис.7).

Абсолютное значение скорости не может быть отрицательным, и, так как неподвижных частиц в газе нет, функция распределения по абсолютному значению ско-

рости начинается с ее нулевого значения:

dN = 4 N (m/2) V2 exp (–E/θ) dV è dN = F(V).

Основное отличие заключается в существовании множителя — квадрата значения скорости. Поскольку exp (–E/θ) при возрастании скорости убывает быстрее, чем возрастает квадрат скорости, то получающееся распределение асимметрично. Максимум функции F(V) имеет место при

———–

наиболее вероятной скорости Vâ = √(2kT/m). Среднее арифметическое значение скорости находится по формуле:

89

———–

<V> = ∫ V F(V) dV = √(8kT/m). Среднее значение квадрата скорости равно <V2> = 3kT/m, а квадратный корень из него называют средней квадратичной скоростью:

—— ——

<Vêâ.> = √<V2> = √3kT/m. Распределению Максвелла, как можно показать, удов-

летворяют закон сохранения энергии è принцип детального

равновесия в отдельных соударениях, когда при хаоти- ческом движении в газе скомпенсированы два противоположно направленных процесса с равными скоростями. Этот принцип справедлив не только для газов, но и для любых систем в состоянии полного хаоса.

8.5.РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТИЦ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ И ЕГО ПРОЯВЛЕНИЕ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ, В АТМОСФЕРАХ ПЛАНЕТ

Распределение Больцмана — это распределение газа по занимаемому объему, если газ находится во внешнем поле; оно отлично от равномерного. Для газа в поле силы тяготения имеет место барометрическая формула p = p0exp (–gh/RT), которая может быть записана

èдля концентрации на определенных высотах в виде: n =

n0exp(–mgh/kT).

Формулу для концентраций можно записать через exp(–E/kT), тогда под Å понимается потенциальная энергия в любом поле (не обязательно в гравитационном). Она называется формулой Больцмана. По Больцману, плотность газа убывает с высотой, но температура остается постоянной. Множитель exp(–mgh/kT) определяет вероятность того, что молекула находится на высоте h над поверхностью Земли, и задает зависимость плотности атмосферы от высоты. Отношение плотности на высоте h к плотности на высоте 0 равно отношению функций W(h)/ W(0). Последняя

из них равна единице, поскольку exp(0) = 1. Поэтому и n(h) = n(0) exp(–mgh/θ).

Âсоответствии с этой формулой концентрация тяжелого газа в атмосфере должна убывать скорее, чем легкого,

èслой атмосферы выше 60 км должен, по оценкам, состоять уже из самых легких газов — водорода и гелия. Однако изза сильного перемешивания атмосфера однородна по составу вплоть до высот в 90 км и меняется только на высоте около 95 км. Причину этого отклонения от закона Больцмана усматривают в диссоциации молекул под действием жесткого ультрафиолетового излучения Солнца. Здесь считалось, что потенциальная энергия равна mgh, но это верно для высот, много меньших радиуса Земли. Поскольку сила тяжести убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра, потенциальная энергия должна убывать как первая степень расстояния. С ростом r плотность n(r) падает, т.е. и показатель степени становится

меньше, тогда можно записать: n(r) = n(0) exp(–mgrç./kT). При удалении от Земли на бесконечно большое расстояние n(r) сохраняет конечное значение, что, конечно, удивительно. Земная атмосфера не может простираться до бесконечности, а этот множитель показывает, во сколько раз плотность атмосферы на бесконечности должна быть меньше, чем на поверхности Земли. Такое парадоксальное положение показывает, что статистическое равновесие не наступило, и когда оно наступит, атмосфера Земли улету- чится. Но так как множитель очень мал, такого не случится. Для оценки величины показателя степени умножим и разделим его на число Авогадро N. В знаменателе заменится N = RT, в числителе Nm равно молекулярному весу. Подставляя значения радиуса Земли и ускорения свобод-

ного падения rç. = 6,4 106 ì è g = 10 ì/ñ2 и считая T = 300°С, получим: (Nmgrç./RT) = (30 10 6,4 106)/(8,3

107 300) = 700 è exp(–700) = 10–300, что показывает ничтожность атмосферы на бесконечности.

Äëÿ Ëóíû это число порядка 10–25 и тоже мало, но не так, как для данных Земли. Если бы атмосфера у поверхности Луны была такой же, как у Земли, т.е. равная 2,7 1019 ìîë./ì3, то на бесконечности остался бы 1 атом/м3. Приближаясь к состоянию статистического равновесия, атмосфера Луны улетучилась. В самом деле, из-за малой массы Луны, вторая космическая скорость в 12 раз меньше, чем на Земле. У Марса, который тоже меньше Земли, весьма разреженная атмосфера, а у Юпитера и Сатурна, напротив, атмосферы очень плотные. При точном расчете нужно было бы рассмотреть процессы в нижних и верхних слоях атмосферы, но оценки можно сделать только при знании скоростей убегания молекул на высоте и у поверхности планеты, которые связаны со значениями ускорения свободного падения на разных высотах.

Оценка времени рассеяния атмосферы, зависящего от изменений температуры, такова: при изменении Ò на 15% оно меняется на два порядка. Это объясняет наличие атмосферы на Титане (шестом спутнике Сатурна) и отсутствие ее на Луне, хотя скорости убегания на этих спутниках почти одинаковы — 2,6 и 2,4 км/с соответственно. На Титане температура намного ниже, чем на Луне, — 70–120 К. При такой низкой температуре только легкие газы типа гелия и водорода имеют тепловые скорости, позволяющие им убежать из атмосферы. Обнаруженная на Титане атмосфера состоит из метана и, возможно, аммиака. На Меркурии скорость убегания порядка 3,8 км/с, но близость к Солнцу позволяет даже тяжелым молекулам иметь достаточную скорость для покидания атмосферы, поэтому для существования атмосферы на Меркурии самые плохие условия в солнечной системе. Рассеяние атмосферы, кроме того, сильно возрастает èç-çà диссоциации многоатомных молекул под действием солнечного излучения.

Число Авогадро, которое введено в показатель степени в распределении Больцмана, по зависимости плотности газа от высоты впервые определил Ж.Перрен. Он взял коллоидный раствор частиц гуммигута в воде, в котором при равновесии у основания сосуда концентрация больше. При боковом освещении этих частичек они напоминают пылинки в солнечном луче. Перрен сумел построить функцию exp(–mgh/kT), натуральный логарифм которой равен: mgh/kT = Nmg/RT. Зная массу коллоидных частиц из других измерений, он впервые вычислил N. Так впервые была доказана реальность существования молекул, а статисти-

90