ния, вызывающие нерегулярности. Поведение даже простой системы существенно зависит от начальных условий, так что не все можно предсказать. Решая задачу трех тел, Пуанкаре обнаружил существование фазовых траекторий, которые вели себя запутанно и сложно, образуя «нечто, вроде решетки, ткани, сети с бесконечно тесными петлями; ни одна из кривых никогда не должна пересечь самое себя, но она должна навиваться на самое себя очень сложным образом, чтобы пересечь много, бесконечно много раз петли сети». В начале XX в. на эту работу особого внимания не обратили.

Примерно в это же время Планк начал изучать другую хаотичность классической науки и нашел выход во введении кванта, который должен был примирить прежние и новые представления, но на самом деле сокрушил класси- ческую физику. В строении атомов долгое время видели аналогию со строением Солнечной системы. Интерес к

невозможности однозначных предсказаний возник в связи с появлением принципиально иных статистических законов движения микрообъектов. Соотношение неопределенности Гейзенберга показывает, что может реализовываться лишь некоторая конечная область состояний p è q, внутри которой лежат начальные координаты q0 и импульсы p0. При этом внутри выделенной области значения координат и импульсов распределены по вероятностному закону, и по мере эволюции системы увеличивается и область ее состояний p è q. На небольших временных интервалах неопределенность состояния будет нарастать медленно, и движение системы будет устойчивым. Для таких систем классическая механика плодотворна.

Возможность случайных явлений, от которых нельзя избавиться уточнением начальных условий и исчерпывающим описанием воздействий на систему, и в простых динамических системах, которые считались со времен Ньютона и Лапласа подчиняющимися определенным и однозначным законам механики, была установлена в 60-å годы XX в. Такие движения возникают в механических и электрических нелинейных колебательных системах. Пример такого неустойчивого движения — шарик в двух ямах, разделенных барьером (рис.42). При неподвижной подставке шарик имеет два положения равновесия. При колебаниях подставки он может начать перепрыгивать из одной ямы в другую после совершения колебаний в одной из ям. После нескольких затухающих колебаний шарик займет положение в одной из ямок, это положение равновесия устойчиво. Периодические колебания с определенной частотой вызывают колебания с широким спектром частот. Положение же на границе между ямами будет неустой- чивым равновесием. Физический смысл этих понятий применим к равновесию любых систем. Режим функционирования динамической системы устойчив, если малые возмущения затухают со временем, стремясь к нулю. Если же они нарастают, режим неустойчивый.

Кроме того, на систему могут действовать и некоторые случайные силы, которые даже при самой малой величине за длительное время действия приведут к непредсказуемым результатам. Такие системы чувствительны не только к начальным значениям параметров, но и к изменениям положений и скоростей в разных точках траектории. Получается парадокс: система подчиняется однозначным динамическим законам и совершает непредсказуемые движения. Решения динамической задачи реализуются, если они устойчивы. Например, нельзя видеть сколь угодно долго стоящий на острие карандаш или монету, стоящую на ребре. Но тогда задача из динамических переходит в статисти- ческую, т.е. следует задать начальные условия статисти- ческим распределением и следить за его эволюцией. Эти случайные явления получили название хаоса.

Новый механизм потери устойчивости, наблюдаемый в процессе конвекции при моделировании процессов возникновения турбулентности описал в 1963 г. метеоролог Э.Лоренц. Он обнаружил в фазовом пространстве трех измерений (координаты — скорость и амплитуды двух температурных мод) область, которая как бы притягивала к себе траектории из окрестных областей. Попадая в область, названную им «странным аттрактором» (ëàò. attractio «притяжение»), близкие траектории расходились и образовывали сложную и запутанную структуру. Переход системы на такой режим означает, что в ней наблюдаются сложные непериодические колебания, очень чувствительные даже к малому изменению начальных условий. Эта чувствительность к малому воздействию получила красоч- ное название — «эффект бабочки». Значит, небольшие флуктуации, подобные взмаху крыльев бабочки, могут вызвать хаотические режимы. Так как две близкие траектории разбегаются в фазовом пространстве, то предсказание движения по начальным данным не может быть хорошим. С этим связаны трудности предсказания погоды. До Лоренца советские математики Д.В.Аносов и Я.Г.Синай установили существование таких областей и исследовали устойчивость явлений в них.

Возникновением динамического хаоса считается переход к турбулентности, поскольку течение жидкости описывается детерминистическими уравнениями. Но детерминированность подразумевает однозначную связь причины и следствия, предсказуемость и воспроизводимость, а когда говорят о хаосе, понимают нечто прямо противоположное. Но это понятие не столь простое. Обратимся для примера к броуновской частице. Под действием случайных толчков со стороны соседних молекул частица будет совершать непредсказуемые блуждания, и ее траектория будет выглядеть запутанной (что и наблюдается под микроскопом). Но при многократном наблюдении можно заметить, что эта запутанная траектория не повторяется, и даже при одинаковых начальных условиях, что соответствует интуитивным представлениям о хаосе.

21.2. ПОРЯДОК И ХАОС В БОЛЬШИХ СИСТЕМАХ. ПОНЯТИЕ ФРАКТАЛА

Сложные системы состоят не только из большого числа элементов, но и большого числа разнообразных связей между ними. Для такой системы все труднее, а то и невозможно, вывести механизмы функционирования — у нее

появляются свойства, которых не было у ее частей или элементов. Эволюцию динамических систем во времени удобно анализировать с помощью фазового пространства — абстрактного пространства с числом измерений,

210

равным числу переменных, характеризующих состояние системы. Примером может служить пространство, имеющее в качестве своих координат координаты и скорости всех частиц системы. Для осциллятора размерность фазового пространства равна 2 (координата и скорость частицы). Такое фазовое пространство есть плоскость, эволюция системы соответствует непрерывному изменению координаты и скорости, и точка, изображающая состояние системы, движется по фазовой траектории. Фазовые траектории такого маятника (линейного гармонического осциллятора), который колеблется без затухания, представляют собой эллипсы: (mv2/2) + (mω02/2) x2 = const.

Âслучае затухания фазовые траектории при любых начальных значениях оканчиваются в одной точке, соответствующей покою в положении равновесия. Эта точка, или аттрактор, как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории (англ. to attract «притягивать») и является обобщением понятия равновесия, состояние, притягивающее системы. Маятник из-за трения сначала замедляет колебания, а затем останавливается. На его фазовой диаграмме по одной оси откладывают угол отклонения маятника от вертикали, а по другой — скорость изменения этого угла. Получается фазовый портрет в виде точки, движущейся вокруг начала отсчета. Начало отсчета

èесть аттрактор, поскольку как бы притягивает точку, представляющую движение маятника по фазовой диаграмме. В таком простом аттракторе нет ничего странного.

Âболее сложных движениях, например, маятника часов с грузом на цепочке, груз играет роль механизма, подка- чивающего энергию к маятнику, и маятник не замедляет колебаний. Если запустить часы энергичным толчком маятника, он замедлится до темпа, который обусловлен весом груза, после чего характер его движения останется неизменным. Если толчок будет слабым, маятник, замедляясь, вскоре остановится. Ситуации с сильным начальным толчком на фазовой диаграмме соответствует спираль, обвивающаяся все более плотно вокруг круговой орбиты, аттрактор будет в данном случае окружностью, т.е. объектом не более странным, чем точка. Разным маятникам соответствуют аттракторы, которые называют предельными циклами.

Все фазовые траектории, соответствующие разным начальным условиям, выходят на периодическую траекторию, которая отвечает установившемуся движению: если начальные отклонения были малыми, они возрастут, а если амплитуды были большими, то уменьшатся. Биение сердца тоже изображается предельным циклом — установившимся режимом. Если движение состоит из наложения двух колебаний разных частот, то фазовая траектория навивается на тор в фазовом пространстве трех измерений. Это движение устойчиво, а две фазовые траектории, начинающиеся рядом, будут навиваться на тор, не уходя друг от друга. Ситуация соответствует устойчивому установившемуся движению, к которому сама стремится.

При хаотическом движении фазовые траектории с близкими начальными параметрами быстро расходятся, а потом хаотически перемешиваются, так как они могут удаляться только до какого-то предела èç-çà ограниченности области изменений координат и импульсов. Они могут

оказаться достаточно близко друг к другу, создавая складки внутри фазового пространства. (Это возможно только при размерностях n > 3 — лишь в 3-м измерении начинают складываться плоские траектории.) Возникает область фазового пространства, заполненная хаотическими траекториями, — странный аттрактор. Система (изображаемая точкой) совершает быстрые нерегулярные колебания в одной области фазового пространства, а затем случайно перескакивает в другую область, через некоторое время — обратно. Так динамический хаос «обращается» с фазовым пространством, от этих «хаотичностей» нельзя избавиться, они внутренне присущи системам со странными аттракторами. Хаотические движения в фазовом пространстве порождают случайность, связанную с появлением сложных траекторий в результате растяжения и складывания в фазовом пространстве.

Фрактальность — важнейшее свойство странных аттракторов. Фракталы — это объекты, проявляющие по мере увеличения все большее число деталей. Их начали активно исследовать с появлением мощных ЭВМ. Объекты элементарной геометрии — прямые и окружности — природе не свойственны, структура вещества чаще принимает замысловато ветвящиеся формы, напоминающие обтрепанные края ткани. Примеров подобных структур много: это и коллоиды, и отложения металла при электролизе, и клеточные популяции, и форма облаков. И даже удивительно, что они долгое время были в стороне от магистральной линии развития науки. Описывая мир на «языке математики», как выразился Галилей, наука использовала идеальные модели прямой, окружности и т.д., все более отдалялась от реальной природы, от «морфологии аморфного». Подобие объектов природы может выявляться по разным признакам, и математическое понятие фрактала выделяет объекты со структурами разных масштабов. Тем самым в этом понятии отражен иерархический принцип организации мира, и в некотором смысле другая идеализация его.

Фракталы имеют дробную размерность (àíãë. fractial «дробный»). Геометрию объектов, содержащих элемент случайности, описывают в рамках своеобразной дробной размерности. Термин «фрактал» был введен Б.Мандельбротом в 1977 г. в книге «Форма, случайность и размерность». Он считал, что введение фрактальных множеств позволяет объяснить и предсказать многие явления в самых различных областях. Пример — медленное впрыскивание подкрашенной краской воды в тонкий прозрачный слой вязкой жидкости между двумя близко расположенными пластмассовыми пластинками. Вода распространяется от места впрыскивания, образуя ветвящиеся радиальные узоры. Измеренная площадь прожилок растет по степенному закону как функция радиуса с показателем 1,7. (Расчетная модель дает — 1,68.) При пробое диэлектрика тоже возникают разветвленные структуры разряда, связанные с фрактальными размерностями. Были воспроизведены и наиболее известные фрактальные формы, самовоспроизводящиеся структуры снежинок — их шестиугольные формы возникают èç-çà диффузии на треугольных решетках. Такие решетки были выбраны для удобства проведения численного эксперимента. К процессу роста

211

добавляется «шум» — на каждом шаге точка роста опре-	уравнений. Траектория броуновской частицы тоже обла-
делялась случайным образом из многих равновероятных	дает фрактальными свойствами. Множество Мандельброта
вариантов. Манипулируя в математической модели вероят-	воплощает достаточно общий принцип перехода от порядка
ностями, можно управлять качеством шума, после чего	к хаосу. Идея его состояла в том, чтобы вместо действи-
проявляется анизотропия, делающая некоторые направ-	тельных чисел рассмотреть комплексные и наблюдать
ления роста решетки предпочтительнее. Реальная диффузия	развитие процесса не на прямой, а на плоскости, т.е.
молекул воды наблюдается в пространстве, окружающем	увеличить и размерность от 1 до 2. Оказалась, что при
снежинку.	переходе к хаосу важны границы между областями, и
Хаос порождает фракталы, а фазовая траектория	каждая точка стремится или к своему центру области
фракталов обладает самоподобием, т.е. при выделении двух	(аттрактору), или остается на границе и не может прини-
близких точек на фазовой траектории фрактала и после-	мать определенные значения. С изменением параметров
дующем увеличении масштаба траектория между этими	меняются области аттракторов и их границы. Если же
точками окажется столь же хаотичной, как и вся в целом.	граница превращается в пыль, взрываются и множества
В программе ЭВМ это увеличение масштаба достигается	Мандельброта.
уменьшением временного шага при решении динамических

21.3. ПОРОГОВЫЙ ХАРАКТЕР САМООРГАНИЗАЦИИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О ТЕОРИИ КАТАСТРОФ

Пороговый характер самоорганизующихся процессов термодинамика связала с неустойчивостью: новая структура есть результат неустойчивости и возникает из флуктуаций. В «допороговом» состоянии флуктуации затухают и макроскопически не проявляются (например, в конвекционном потоке при малых Ò они рассасываются за счет сил вязкого трения). Выше порога флуктуации уже не рассасываются, а усиливаются, достигают макроскопи- ческих значений и выводят систему на новый устойчивый режим, создают новую структуру, возникающую после неустойчивости. Математически это связано с нелинейностью уравнений, описывающих систему вдали от равновесия. Если линейное уравнение имеет одно стационарное решение, то нелинейное — несколько. Система может принимать любое из этих состояний, и переход из одного в другое стационарное состояние соответствует преодолению порога.

Катастрофой называют скачкообразное изменение, которое может возникнуть в ответ на плавное изменение внешних условий. Для систем это означает потерю устой- чивости. Область математики, занимающаяся катастрофами, названа теорией катастроф. Она является в некотором роде обобщением исследования функций на экстремум на случай многих переменных и опирается на теорию особенностей гладких отображений. Отображение поверхности на плоскость есть сопоставление каждой точке поверхности точки плоскости.

Исследования особенностей таких отображений начал

â1955 г. Г.Уитни, ознакомившись с работами Пуанкаре и Ляпунова, а также советских ученых — Андронова, развившего теорию бифуркаций, и Понтрягина, который ввел понятие грубости — структурной устойчивости системы. Важность исследований в направлении, названном К.Зиманом теорией катастроф, оценил французский математик Р.Тома. Он сформировал эту теорию и ее приложения. Сразу появились работы по применению теории катастроф к разным объектам (исследования биения сердца, физическая и геометрическая оптика, лингвистика, геология, эмбриология, гидродинамика, моделирование деятельности мозга и психических расстройств, восстаний

âтюрьмах, поведения биржевых игроков, политики цензуры, теории элементарных частиц, исследования устой-

чивости конструкций и т.д.). Первые публикации по теории катастроф появились в 1970 г. Как говорит о них видный советский математик академик В.И.Арнольд, «в журналах типа “Ньюс уик” сообщалось о перевороте в математике, сравнимом разве что с изобретением Ньютоном дифференциального и интегрального исчислений. Утверждалось, что новая наука — теория катастроф — для человечества гораздо ценнее, чем математический анализ: в то время как ньютоновская теория позволяет исследовать лишь плавные, непрерывные процессы, теория катастроф дает универсальный метод исследования всех скачкообразных переходов, разрывов, внезапных качественных изменений».

Большинство окружающих нас тел ограничено гладкими поверхностями, но видимые контуры тел — это проекции ограничивающих поверхностей на сетчатку глаза. При этом могут возникать некоторые особенности: при проецировании сферы на плоскость в точках экватора образуется складка. На горизонтальной плоскости-проек- ции выделяется окружность, разделяющая сферу на внутреннюю и внешнюю, при этом точки внутренней сферы имеют по два прообраза (от двух точек сферы), а точки внешней — ни одного, точки окружности — один прообраз. При подходе с внутренней стороны к окружности два прообраза сливаются в один — это и есть особенность складки (рис.43). Кроме того, Уитни нашел и другую особенность — сборку. Представление о ней можно полу- чить, рассматривая устойчивость бутылки из-под молока. Уитни показал, что сборка и складка — устойчивы. Покачав бутылку из-под молока, можете сами убедиться в этом.

Точке экстремума соответствует равенство нулю производной при второй, отличной от нуля. В многомерном случае производные от функции U будут браться частные, и они должны быть равны нулю, а смешанные, т.е. вторые производные, отличны от нуля и det Uij = 0; если потенциальная функция представлена в квадратичной форме, и в случае, например двух переменных, U = Σλli(c) x2 функция будет напоминать рельефную карту: вершины гор и седла связаны хребтами, имеются озерные впадины и седлообразные долины. При диагонализации функции выделяются направления главных осей линий максимального градиента. Если представить рельеф заполненным водой, то она соберется в озера, расположенные в низких частях

212

долин. Минимум, притягивающий воду, получил название	Платон) и простыми группами Ли. Пока причины этих
аттрактора, причем аттракторы разделяются хребтами,	взаимосвязей до конца не выяснены.
седлами, вершинами на различные бассейны притяжения.	Модели с функцией сборки встречаются в механике
Такая качественная рельефная картина изменится при	конструкций, при описании многих колебательных режи-
наличии вырожденных точек, для которых одно или не-	мов, в динамике квантовых систем. Теория катастроф
сколько значений det Uij = 0. Это условие получается при	позволяет свести огромное многообразие сложных ситуа-
некоторых значениях управляющих параметров ña. Åñëè ïðè	ций к небольшому числу точно изученных схем. Ìàòå-
изменении ña система проходит через вырожденную точку,	матические образы теории катастроф реализуются в
меняется вся топология, поэтому и говорят о катастрофе.	волновых полях. Известны геометрические места точек, в
При приближении к этой точке — границе перехода —	которых происходит фокусировка волнового поля, назы-
критические точки рельефа начинают сближаться, а потом	ваемые в оптике каустиками. При пересечении каустик
и вовсе сливаются. Множество точек ña, отвечающих	происходит скачкообразное изменение состояния — меня-
функции с det Uij = 0, разбивают пространство управляющих	ется число лучей, приходящих в данную точку пространства.
параметров на области с разными рельефами.	Для 1–2 переменных и не более 5 управляющих параметров
При пересечении границы областей, являющихся гео-	существует семь типов элементарных катастроф. Âñå
метрическим местом особенностей, происходят катаст-	семь канонических катастроф имеют в каустиках свои
рофы состояний системы. Поэтому математики искали эти	образы. Теория катастроф, широко используемая в метео-
области и исследовали системы на устойчивость в их	рологии, аэро- и гидродинамике, оптике, теории коопе-
окрестностях. Арнольд провел классификацию таких осо-	ративных явлений, квантовой динамике и др., подводит
бенностей катастроф и получил удивительное совпадение	стандартную и эффективную базу под описание качест-
с классификацией точечных групп, описывающих симмет-	венных изменений в нелинейных уравнениях, описывающих
рию молекул, а также с правильными многогранниками в	далекие от равновесия системы.
евклидовом пространстве (которыми представлял мир

21.4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЭВОЛЮЦИИ. ПОНЯТИЕ БИФУРКАЦИИ

Если теория катастроф описывает области устойчи- вости структур, то развитие этой статической картины во времени дается теорией бифуркаций. Нелинейная система имеет целый спектр решений, и нужно определить, какие из них «ответвляются» от известного решения при изменении параметра. Изменения управляющих параметров способны вызывать катастрофические (большие) скачки переменных состояний, и эти переходы осуществляются почти мгновенно (скачком). Состояние системы, описываемой потенциалом U(xi, ca), задается точкой xi, в которой потенциал имеет минимум. При изменении внешних условий меняются управляющие параметры c, которые, в свою очередь влияют на изменения U(x, c). Глобальный минимум может стать метастабильным или исчезнуть, а система перейдет из одного локального минимума в другой.

Момент перехода определяется свойствами системы и уровнем флуктуаций в ней. Выделяют два принципа: принцип максимального промедления, определяемый существованием устойчивого уровня, и принцип Максвелла, определяющий состояние системы глобальным минимумом. Каждому из принципов соответствует множество точек в пространстве управляющих параметров, в котором происходит переход из одного локального минимума в другой. Последовательность бифуркаций, возникающая с ростом неравновесности в системе, меняется, и процесс пойдет по разным сценариям. Выше описано развитие турбулентности при движении жидкости по трубе в зависимости от числа Re (пропорционального скорости потока). Движение становится неустойчивым и при больших Re характеризуется набором N колебаний с несоизмеримыми частотами w1, w2, … wn. Это квазипериодическое движение называют динамическим хаосом.

Приведем здесь данную физиком-теоретиком Л.П.Кадановым наглядную иллюстрацию перехода к хаосу, кото-

рую используют при рассмотрении биологических проблем. Пусть на изолированном острове выводятся летом насекомые численностью õj и откладывают яйца. Потомство их появится на следующее лето численностью õj+1. Рост популяции насекомых описывается первым членом в правой части уравнения õj + 1 = ñ õj(1 – õj), а убыль — вторым. Параметр роста ñ (аналог числа Re в уравнениях гидродинамики), результаты расчета — на рис.44, где линии отражают численность популяции при больших значениях j. Ïðè ñ < 1 популяция с ростом j вымирает и исчезает, в области 1 < c < 3 — приближается к значению õ = 1 – (1/ñ), которое получается при подстановке в уравнение вместо õj+1 è õj их предельных значений; эта область стационарного состояния. В диапазоне 3 < c < 3,4 — две ветви решения, и численность колеблется между ними. Она растет резко от малого значения, откладывается много яиц. Перенаселенность, возникающая на следующий год, вновь резко снижает численность в следующем году, так что период колебаний численности — 2 года. Далее, при 3,4 < c < 3,54 имеем уже 4 ветви, и возникает четырехстадийный цикл колебаний. Так период начинает удваиваться, и далее появляются 8, 16, 32, 64… ветвей.

Итак, существует диапазон значений параметра ñ, когда поведение системы упорядоченно и периодично; происходит последовательное удвоение периода. Такие решения имеют место для широкого класса систем — химических, электрических, гидродинамических, механических и т.д. В 1978 г. М.Фейгенбаум нашел универсальные законы перехода к хаотическому состоянию при удвоении периода. Движение становится апериодическим при больших значе- ниях n, (c¥ – c) порядка d–n, ãäå n = 4,66 для всех систем. Если выбрать соседние значения xj â 2n цикле, то разность между ними убывает с ростом n êàê an, ãäå a = 2,5 и тоже является универсальным. Законы Фейгенбаума подтверж-

213