Глава 11. КОНЦЕПЦИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ И СТРУКТУР В МИКРОМИРЕ

11.1. СПЕЦИФИКА МИКРОМИРА ПО СРАВНЕНИЮ С ИЗУЧЕНИЕМ МЕГА И МАКРОМИРА. ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ. ПРИНЦИПЫ ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТИ И ПРИЧИННОСТИ

Микромир — невидимый мир микрообъектов — атомов, электронов, нейтронов, протонов и пр. Он не может быть описан понятиями и принципами классической физики, которые в некоторой мере соответствуют наглядным представлениям. Классическая физика признает наличие материи в виде как вещества, так и поля. Но она не допускает существование объектов, обладающих свойствами и поля, и вещества. Подчеркивая кажущуюся противоре- чивость свойств микрообъектов, у которых корпускулярные и волновые свойства дополняют друг друга, Н.Бор выдвинул принцип дополнительности.

При одном описании или наблюдении за микрочастицей существенно волновое представление, а при другом — она ведет себя как частица. Единая картина синтезирует эти описания. После доказательства волновых свойств электрона и «полного успеха» корпускулярно-волнового дуализма вещества необходимо было подвести теорию к объяснению явлений. Для макрообъектов длина волны де Бройля, равная (h/mV), мала, поэтому их движения можно описать законами классической механики как волновые процессы, характеризующиеся волновой функцией ψ. Но для микрообъектов, когда длиной волны де Бройля нельзя пренебречь, закон их движения должен быть аналогичен волновому уравнению в оптике: Δψ + (ω2/u2)y = 0. Шредингер, опираясь на аналогию оптико-лучевого è оптиковолнового описаний, обобщил гипотезу де Бройля для случая, когда электрон движется не в свободном пространстве, а во внешнем поле. Гамильтон, выразивший идею об

оптико-механической аналогии, показал, что для математического описания вопрос о природе света не имеет значения. Задачу классической механики можно формально записать как задачу геометрической оптики, с математической точки зрения они одинаковы. Только в приведенном уравнении для фазы вместо w надо поставить циклическую частоту «волн де Бройля» (2π E/h), а вместо скорости u — скорость распространения поверхности равного действия E/[2m(E – U)]1/2. Тогда уравнение для

частицы примет вид:

Δψ + (8π2m/h2)(E – U)ψ = 0.

Здесь введен так называемый оператор Лапласа ΔΨ ≡ (d2Ψ/dx2) + (d2Ψ/dy2) + (d2Ψ/dz2), (Å – U) — функция

координат и времени, которая характеризует силовое поле, в котором движется микрочастица.

«Волновая механика» — вариант механики микромира, разработанный Шредингером. Уравнение Шредингера в микромире играет такую же роль, как уравнения Ньютона в классической механике. Это и есть знаменитое уравнение для волновой функции, решение которого в отсутствие внешнего поля дает волны де Бройля. Уравнение Шредингера не может быть выведено из других соотношений, и поэтому может рассматриваться как исходное предположение, справедливость которого доказывается тем, что вытекающие из него следствия согласуются с экспериментальными данными.

Первое слагаемое — вторая производная от ψ-функции по координатам — характеризует скорость изменения скорости ψ. Шредингер считал, что функция ψ описывает только волновые свойства частиц. Решения этого уравнения (их два) для V = 0 находятся просто: ψ = a sin kx è ψ = b cos kx. Они описывают волны де Бройля: k = 2π/l = (2mE/h)1/2, λ = h/(2mE)1/2 = ph. Шредингер решил уравнение для простейших квантовых систем — осциллятора, ротатора и т.п. Он определил вид волновых функций и возможные значения энергии, сумев уйти от постулатов Бора в строении атома водорода. Целочисленность значений энергии получилась сама собой, как получается целое число узлов при рассмотрении колеблющейся струны. Из условия стремления к нулю ψ-функции на больших расстояниях — быстрое ослабление удерживающего поля, можно найти решения уравнения Шредингера для связанных состояний. Для кулоновского потенциала атома водорода решение получается не для всех энергий, а для определенных дискретных значений, совпадающих с теми, что давала теория Бора. Тем самым прояснялся смысл правил квантования Бора–Зоммерфельда: допустимые значения энергии соответствуют требованию, чтобы в области движения частицы уложилось целое число волн де Бройля.

Но свойства ψ-функции не сводились только к «волновым пакетам», что экспериментально доказали в 1948 г. советские ученые Л.М.Биберман, Н.Г.Сушков и В.А.Фабрикант. Пропуская пучок электронов чрезвычайно малой интенсивности через кристалл (фактически по одному), они получили на фотопластинке за кристаллом отдельные пятнышки, плотность распределения которых соответствовала распределению интенсивностей в дифракционной картине, которая была бы при большой плотности пучка электронов. Эти «пятнышки» демонстрировали дискретность электронов, а их распределение свидетельствовало о подчиненности их статистическим законам. Борн в книге «Физика в жизни моего поколения» (рус. пер. 1963 г.) подчеркивал: «Все развитие квантовой механики показывает, что совокупность наблюдений и измерений медленно создает абстрактные формулы для их сжатого описания и что понимание их значения приходит впоследствии».

Матричная механика — другой вариант механики микромира создали Гейзенберг, Борн, Дирак и П.Иордан. В своей первой работе Гейзенберг пытался выработать основы атомной механики, построенной на связях между принципиально наблюдаемыми величинами без привле- чения моделей.

Эти идеи легли в основу матричного варианта квантовой механики, для которой Борн разработал математический аппарат. По словам Борна, Гейзенберг отказался от «представлений об электронных орбитах с определенными радиусами и периодами обращения, потому что эти величины не могли быть наблюдаемы». Это достижение молодого Гейзенберга Борн сравнивает с подвигом Эйнштейна, упразднившего в 1905 г. понятие абсолютной одновременности и показавшего, что атомную модель Бора

112

нельзя принимать так буквально, как казалось вначале. Они исходили из изучения закономерностей в спектрах и теории дисперсии, в которой атом представляется моделью — совокупностью виртуальных гармонических осцилляторов. Гейзенберг представил физические величины как совокупность всех возможных амплитуд перехода из одного квантового состояния в другие. Сама вероятность перехода пропорциональна квадрату модуля амплитуды, которые и наблюдаются в экспериментах. Тогда каждая величина должна иметь два индекса, соответствующих верхнему и нижнему состояниям. Эти величины называются матрицами. Гейзенберг получил и уравнения для наблюдаемых величин, но в первоначальном виде они были сложными. Он считал, что теория явлений микромира должна устанавливать соотношения между величинами, которые непосредственно наблюдаются в эксперименте (частота спектральных линий, поляризация и др.), а «ненаблюдаемые» (скорость, масса, ускорение, положение частицы) не должны быть в ней. В 1926 г. он сумел объяснить отличие двух систем термов для пара- и ортогелия как соответствущих симметричным и антисимметричным решениям его уравнения.

Квантовая механика — теория движений в микромире, основанная на единстве матричной и волновой механики. Шредингер вскоре доказал их математическую эквивалентность. В квантовой механике нет разницы между описаниями частицы с помощью волновых и корпускулярных представлений. Вращающийся вокруг ядра электрон можно представлять в виде волны, длина которой определяется его скоростью. И там, где укладывается целое число длин волн электрона, они складываются, образую разрешенную орбиту в планетарной модели атома Бора. Если же в орбиту не укладывается целое число волн, гребни их станут компенсировать впадины, такая орбита не будет разрешена. Уравнение Шредингера позволяет однозначно определить волновую функцию в любой момент времени, если известно ее значение в данный момент. Поэтому само уравнение вполне динамично. Но оно было написано по оптико-механической аналогии еще до того, как стал известен смысл этой функции. Появились предположения о связи волновой функции с непрерывно распределенной материей частицы в пространстве или с числом частиц в данной области. Но они оказались несостоятельными. Верную трактовку смысла волновой функции дал М.Борн в 1926 г. Он обратился к работам Эйнштейна по теории фотонов и проанализировал задачу о рассеянии частиц.

Квадрат модуля ψ-функции определяет вероятность dW того, что частица будет обнаружена в объеме dV/dW = |ψ1|2 dV = ψ1 ψ1dV, при этом полная вероятность обнаружения частицы во всем объеме, определяемая интегралом по объему, должна равняться (как достоверного события) единице: ∫ dW =1. Это означает, что квантовая механика носит статистический характер. Она позволяет определить не сами координаты, а только вероятность того, что координаты лежат внутри определенного интервала. Ψ-функция позволяет только предсказать вероятность обнаружения частицы в различных точках пространства. Как выразился Р.Фейнман, «приходится признать, что мы изменили нашим прежним идеалам понимания природы. Может быть, это

шаг назад, но никто не научил нас, как избежать его». После истолкования смысла волновой функции дальнейшее развитие интерпретации теории происходило очень быстро.

С позиции статистических методов к созданию формализма квантовой механики подошел М.Борн. Он показал, что интенсивность шредингеровских волн есть мера вероятности положения частицы в определенном месте.

Борн с 1922 г. начал работать над теорией атома Бора, сумев собрать в Геттингене одаренных молодых физиковтеоретиков из разных стран и воодушевить их на разработку новой, квантовой физики. По воспоминаниям Гейзенберга, именно благодаря Борну Геттинген, славившийся своей математической школой (традиции Гаусса, Римана, Вебера продолжали Клейн и Гильберт), стал также центром атомной физики.

Итак, микропроцессам свойственны не динамические, а статистические закономерности. Тем самым в области микромира причинность реализуется через многообразие случайностей, и характер причинной связи в микромире становится отличным от детерминизма классической науки. Классическая наука, стремясь к объективности законов, игнорировала случайность. В ней отражались только средние данные, а в реальных процессах всегда происходят отклонения от средних — случайные флуктуации; а пренебречь ими можно лишь в некоторых ситуациях. Динамические теории не могут описывать явления с большими флуктуациями, связь со случайностью сглажена, огрублена. Поэтому статистические законы глубже, чем динамические. Поэтому и вероятностная причинность оказывается глубже, чем динамическая.

Положение о первичности статистических законов

выдвинули сначала создатели квантовой механики. Это положение сначала многие связывали с индетерминизмом, поскольку детерминизм в привычном понимании в микромире оказался не достижим. Большая часть ученых воспринимала статистические законы как недостаточность наших знаний и микрообъектах, т.е. как промежуточный этап развития знаний. Но когда оказалось, что вероятностная теория подтверждается многими экспериментами, стали говорить о равенстве динамических и статистических закономерностей в микромире. Эти законы дополняют друг друга и, в то же время, не могут быть сведены друг к другу. Статистические закономерности являются объективными законами природы, они отражают реальные связи в микромире. В макромире поведение индивидуальных объектов подчинено динамическим законам, а совокупности объектов — статистическим. В микромире и объекты, и их совокупности описываются как динамическими, так и статистическими законами. История науки показывает, что динамические законы постепенно сменяются законами статистическими, представляющими более глубокий уровень понимания. Поднимаясь на него, получаем более глубокое понимание сущности и более широкий охват явлений природы. Статистические закономерности приводят к более хорошему согласию с экспериментом. Ее результаты при определенных условиях согласуются с результатами динамических теорий, что и предполагает принцип соответствия Бора.

113

До создания квантовой механики Борн вместе с учениками получил выдающиеся результаты в твердых телах и кристаллах, используя понятие кристаллической решетки и применяя теорию групп, поэтому он сразу же применил появившееся уравнение к различным проблемам строения атома, физики твердого тела и молекулярной физики. В 1926 г. Борн предложил способ расчета электронных оболочек атома и методы решений для задач столкновения частиц по теории возмущений, которые известны как борновское приближение, и вместе с Н.Винером ввел в

квантовую механику понятие оператора. В отличие от ситуации классической механики, некоторые величины (момент импульса, энергия при движении в замкнутой области пространства и др.) могут принимать лишь дискретный ряд значений. Возможные значения физических величин являются собственными значениями операторов, которые сопоставляются в квантовой механике каждой физической величине. Эта величина может принимать определенные значения с вероятностью, равной единице, только в случае, если система находится в состоянии, изображаемом собственной функцией этого оператора. Тогда вероятность превращается в достоверность.

Зная волновую функцию, можно вычислить среднее значение любой физической величины и ее отклонение от среднего значения — дисперсию. В отличие от класси- ческой механики статистический характер имеет поведение отдельной частицы, т.е. это уже не связано с нали- чием очень большого числа частиц. Но при формулировке квантовой механики пришлось ввести еще один принцип —

фундаментальный принцип неотличимости èëè тождественности частиц. В классической механике частицы можно отличить по их состояниям, в этом смысле они не теряют индивидуальности. В квантовой механике это невозможно, так как микрочастица не имеет траектории. Если волновые функции двух частиц перекрываются, то в области перекрытия нет возможности отличить одну частицу от другой. Поэтому получается, что тождественными оказываются и свойства частиц, и их состояния. В природе реализуются лишь те состояния совокупности одинаковых частиц, которые не меняются при обмене местами одинаковых частиц. Поэтому и состояния описываются лишь симметричными или антисимметричными волновыми функциями, при этом характер симметрии определяется собственным моментом импульса частицы (ее спином). Сформулированный на этой основе принцип Паули позволил сформировать статистические правила для

частиц с целым и полуцелым спином и понять построение Периодической таблицы химических элементов. В 1927 г. Борн разработал, при участии американского физика Р.Оппенгеймера, теорию строения двухатомных молекул.

Квантовая механика явилась теоретической основой химии. С ее помощью удалось построить теорию твердого тела, многих его свойств в различных полях. На ней базируется квантовая статистика, квантовая электродинамика, квантовая теория излучения и др. Она легла в основу теории радиоактивного распада и стала базой

атомной и ядерной физики.

11.2. ПРИНЦИПЫ СООТВЕТСТВИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ. РОЛИ ПРИБОРА И ПРОЦЕССА ИЗМЕРЕНИЯ В МИКРОМИРЕ

Границы применимости существуют у каждой теории. Так, классическая механика описывает движение макроскопических тел при скоростях, существенно меньших скорости света. Эти границы выяснились только после создания СТО. Теория Эйнштейна расширила классическую механику на случай больших скоростей, и ее область применимости стала шире. Ценность механики Ньютона не уменьшилась — для скоростей тел, которые много меньше скорости света, поправки теории относительности малы. При создании квантовой механики было важно построить новую теорию так, чтобы соотношения между ее вели- чинами были аналогичны соотношениям классических величин. То есть каждой классической величине нужно было поставить в соответствие квантовую величину, а потом найти соотношение между квантовыми величинами, пользуясь классическими законами. Такие соответствия можно было найти только из операций измерения. В 1923 г. Н.Бор сформулировал принцип построения новых теорий в других областях.

Принцип соответствия — новая теория не может быть справедливой, если не будет содержать в качестве предельного случая старую теорию, относящуюся к тем же явлениям, если она уже подтверждена опытом в этой области. Этот принцип отражает диалектику соотношения абсолютной и относительной истин. Смена теорий (относительных истин) есть шаг на пути приближения к абсолютной истине.

Гейзенберг шел от наглядных феноменологических моделей. В 1927 г. он при поддержке Бора и его школы предложил устранить противоречие «волна — частица», которое он понимал как аналогию. Считая, что «совокупность атомных явлений невозможно непосредственно выразить нашим языком», он предложил отказаться от представления о материальной точке, точно локализованной во времени и пространстве. Либо точное положение в пространстве при полной неопределенности во времени, либо наоборот — таково требование квантовых скачков.

Принцип неопределенности, сформулированный Гейзенбергом, — это фундаментальное положение квантовой теории, отражая ограничение информации о микрообъектах самими средствами наблюдения. Гейзенберг подсчитал точность определения положения и скорости электрона из так называемых перестановочных соотношений квантовой механики.

Пусть в какой-то момент нам нужно узнать положение

èскорость электрона. Самый точный метод — осветить электрон пучком фотонов. Электрон столкнется с фотоном,

èего положение будет определено с точностью до длины волны используемого фотона. Для большей точности нужно использовать фотоны наименьшей длины (или большей

частоты, или обладающие большими энергией E и импульсом hν/c). Но чем больше импульс фотона, тем сильнее он исказит импульс электрона. Для точного знания положения электрона нужно использовать фотоны бесконечной час-

114

тоты, но тогда и импульс его будет бесконечным, совершенно неопределенным. И, наоборот, желая определить точно импульс электрона, из аналогичных рассуждений придем к неопределенности положения. Выразив ее как q, а неопределенность импульса как p, получим q p ≥ h. Если взять сопряженные величины — энергию E и время t, то квантовомеханическое соотношение неопределенности

для них будет t E ≥ h.

Значит, чем точнее фиксирован импульс, тем большая неопределенность в значении координаты. Аналогично связаны энергия и время. Точность измерения энергии пропорциональна длительности процесса измерения. При- чина этого — взаимодействие с макроскопическим прибором. Нет возможности одновременно измерить точно каждую из находящихся в паре сопряженных величин. Конечно, в реальности неточности выше, чем указанный минимум. Но принцип дает ограничения, которые нельзя устранить никакими усовершенствованиями прибора. В классической науке приборы и наблюдения тоже искажали измерения, но эти искажения можно было уменьшать. Принципиальная разница в том, что соприкасаются и взаимодействуют объекты разных миров: для изучения микромира используются приборы и наблюдатели из макромира. Они-то и вносят искажения в состояния микрообъектов, которые не устранимы. Отсюда — будущее состояние микрочастицы не может быть достоверно и точно предсказано. Повышение точности в знании одного параметра влечет увеличение неточности в знании другого параметра. Отсюда дискуссии о непредсказуемости явлений микромира, о «свободе воли» электрона, о победе случайности над детерминизмом, нарушении принципа причинности в микромире и др. В настоящее время принцип неопределенности считается общепризнанным.

Основа интерпретации квантовой механики —

принцип Гейзенберга — устанавливает границы применимости классической физики. Принцип неопределенности часто называют следствием принципа дополнительности, что до сих пор вызывает дискуссии.

Применим соотношения Гейзенберга, например, к электрону в атоме. Так как скорость электронов при движении вокруг ядра порядка 106 м/с, то максимально допустимая неопределенность скорости не должна превышать самой скорости. Пусть они равны, тогда из соотношения неопределенности для координат и импульсов

p x ≥ h, x = h/mu. Или в числах: x = 6,62 10–34 Äæ ñ/9,1 10–31 êã 106 ì/ñ = 7 10–10 м, т.е. неопределенность в координате имеет порядок размеров самого атома. Отсюда следует вывод: электрон размазан по всему объему атома в виде пульсирующего облачка, и его боровская орбита — геометрическое место точек, в которых корпускулярные свойства электрона наиболее выражены.

Опыты дают набор возможных значений с распределением их вероятности, которое теоретически может быть предвычислено. Понятие вероятности становится первич- ным, и вокруг него строится наука ХХ столетия. Детально исследуя сложившуюся ситуацию специфики физического взаимодействия микрообъекта с тем или иным класси- ческим средством наблюдения, Гейзенберг в работе «О наглядном содержании квантовой кинематики и механики»

(1927 г.) рассмотрел основные положения квантовой механики, ориентируясь на возможности измерения величин, характеризующих состояние микрообъекта. Он пришел к выводу, что в области микрообъектов «чем точнее определяется местоположение, тем менее точными становятся сведения об импульсе». Или, в отличие от «лапласовского детерминизма», поскольку мы не можем знать настоящего во всех деталях, то не можем достоверно предсказать будущее. Природа накладывает на понятия координаты и импульса принципиальные ограничения, которых не было в классической науке, возможно, из-за малой величины h.

«Бог не играет в кости» — считал Эйнштейн. Споры Бора с Эйнштейном проясняют многое в истолковании смысла квантовой механики, фактически они отражают продолжавшуюся более двух десятилетий борьбу двух мировоззрений, двух теорий познания. Вероятностное толкование волновой функции было подготовлено работами Бора, который применял идею вероятности к переходам электронов, но еще раньше Эйнштейн ввел понятие вероятностей для спонтанного и индуцированного излу- чений. От них вероятностные представления вошли в науку XX столетия.

Дирак отмечал: «Бор считал, что высшая мудрость должна быть выражена обязательно такими словами, смысл которых не может быть определен однозначно. Следовательно, истинность высшей мудрости является не абсолютной, а только относительной в соответствии с одним из значений двухзначных слов: поэтому противоположное высказывание также правомерно и мудро». Принцип дополнительности как вершину диалектики Бора относят

êкопенгагенской школе.

ÊБору постепенно примкнули Гейзенберг, Борн, Иордан, Паули, а в некоторых вопросах и Дирак. Паули даже предложил (1932 г.) для квантовой механики иное название — «теория дополнительности». Иордан в своей книге «Наглядная квантовая теория» (1937 г.) тоже свел все существо квантовой механики к идее дополнительности и утверждал, что «представление об объективной картине процессов теряет свою справедливость». Представители копенгагенской школы не признавали реальность микрообъектов и микропроцессов, что вытекало из их отрицания причинности в элементарных процессах. Эти вопросы неоднократно обсуждались на Сольвеевских конгрессах, «копенгагенцам» резко возражали Лоренц, Эйнштейн, Ланжевен, Планк, Лауэ и другие. Ланжевен, например, писал: «Я уверен, что, отказываясь от детерминизма, мы лишим науку ее основного движущего начала — того, что до сих пор составляло ее силу и залог ее успеха: веры в конечную познаваемость Вселенной. Ничто в переживаемых нами трудностях не оправдывает и не требует изменения наших установок, что, по моему глубокому убеждению, было бы равносильно отречению».

Мысленный эксперимент Эйнштейна, Бориса Подольского и Натана Розена должен был доказать ошибочность квантовой механики. Они задались вопросом, что случится, если состоящая из двух протонов частица распадется так, что протоны разлетятся в противоположных направлениях. По квантовой механике при отсутствии наблюдателя свойства протонов остаются неопределенными и могут

115