Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

а) поля, входящие в лагранжиан, рассматриваются в одной про- странственно-временной точке;

б) наблюдаемые коммутируют на пространственноподобных (x − y);

в) при пространственноподобных разностях (x − y) поля комму-

тируют (при целых спинах) или антикоммутируют (для полуцелых спинов).

Теории, в которых нарушается (а), могут удовлетворять (б) и (в). Пример – квантовая электродинамика в кулоновской калибровке. Теории, в которых (в) нарушается, могут удовлетворять (а) и (б). Как было показано выше, теории, в которых CPT нарушается за счет различия в массах частиц и античастиц, нелокальны в смысле (б). Покажем, что они нелокальны в смысле (а). Опять для простоты выберем заряженное скалярное поле, хотя результат обобщается на высшие спины. Вычислим свободный гамильтониан для этих полей двумя способами. Сначала вычислим гамильтониан в предложении о том, что он содержит только производные первого порядка, а затем найдем гамильтониан, в который входят высшие производные.

Если в гамильтониан входят лишь первые производные, то

4Ep

Ep

−

(i(Ep +

p )x0 )

E

p

E

a(p)=

p

E

,

(9.62)

φp +

φ

e

(−E p , p)

(Ep + Ep )2

2Ep

−4Ep

Ep −

(−i(E p +

p )x0 )

E

E

b(p)=

p

−

p

E

(9.63)

φ

(−E p , p )

φp e

.

(Ep + Ep )2

2Ep

В выражениях (9.62, 9.63) использовано определение

φp =	i			∫d 3 xeipx∂x0 φ(x)	(9.64)
	(2π)	3	2

Точная нелокальная форма гамильтониана

	H =	1	∫	d 3 p a† (p)a(p)+ b† (p)b(p) ,		(9.65)
		2

выраженная в терминах φ(x), согласно (9.62)–(9.64), оказывается нелокальной в пространстве, усложненной и мало информативной.

351

Допущение же высших производных, наоборот, ведет к простой

форме гамильтониана с

(†)

как ядром, задающим нелокальность.

В результате получаем

2i

∂Δ†

(

x −x′, m2

) ∂

∂

H =

∫d

3xd3x′

×

3

(

2

2

)

2

∂(x0 −x′0 )

∂x0

∂x′0

(

)

2π

m

−m

×(∂x∂x +

m

2 )(∂x′∂x′ +

m

2 )

φ† (x)φ(x′)+∫d3xd3x′

∂Δ(†) (x −x′,

m

2 )

× (9.66)

∂(x0 − x′0 )

×

∂

∂

(∂x∂x +m2 )(∂x′∂x′ +m2 )φ(x)φ† (x′) .

∂x

∂x′0

0

Очевидная

сингулярность

выражения (9.66)

из-за

фактора

(m2 − m2 )−2 исключается операторами Клейна-Гордона и скаляр-

ными произведениями в этом выражении.

Таким образом, CPT-инвариантность является необходимым условием лоренц-инвариантности во взаимодействующей квантовой теории поля. CPT-нарушение может происходить независимо в различных функциях Вайтмана. Кроме того, выше было показано, что если выбрать разными массы частиц и античастиц, то теория должна быть нелокальной в терминах полей в x-пространстве, ассоциированных с этими частицами. В этом случае пропагатор оказывается нековариантным. Более того, отсутствие ковариантности ведет к различному поведению пропагатора при больших s в разных системах отсчета.

9.7.CPT нарушение в расширениях стандартной модели

9.7.1.Введение

Будучи феноменологически успешной, стандартная модель содержит ряд вопросов, ответов на которые до сих пор нет. В настоящее время большое число теоретических исследований направлено на поиск основополагающей теории, содержащей кванто-

352

вое описание гравитации. Однако экспериментальные проверки такого типа идей сильно затруднены из-за подавленности предсказываемых эффектов массой Планка. Подобная «слабость» эффектов квантовой гравитации требует чрезвычайно внимательного подхода к выбору экспериментов. Пожалуй, можно выделить три критерия выбора физических законов, допускающие экспериментальную проверку. Прежде всего, следует рассматривать физические законы, которые «точно» выполняются. Тогда любые измеренные отклонения от этих законов свидетельствовали бы о качественно новой физике. Во-вторых, достоверность наблюдения таких эффектов возрастает при исследовании законов, которые могли бы быть нарушенными в заслуживающих доверия кандидатах на фундаментальную теорию. В-третьих, эти законы должны допускать ультра-прецизионную проверку.

Один из примеров физических законов, удовлетворяющих этим критериям – CPT-инвариантность. Этот закон требует, чтобы физика оставалась неизмененной при действии на состояние частицы (системы частиц) операторами зарядового сопряжения (C), пространственной инверсии (P) и обращения времени (T). С-пре- образование связывает частицы и античастицы, P-преобразование соответствует отражению пространственных осей, а преобразование T обращает физический процесс во времени.

Стандартная модель физики частиц CPT-инвариантна, можно сказать, «по построению», поэтому удовлетворяет первому из перечисленных выше критериев. Что касается второго критерия, следует заметить, что различные модели «фундаментальной физики» приводят к CPT нарушению. Среди этих моделей нужно упомянуть струны, пространственно-временную пену, модели с нетривиальной пространственно-временной топологией. Критерий номер три также выполнен. Действительно, как указано в Particle Data Group, CPT сохранение в системе каонов выполняется с точностью ~10-18.

Поскольку CPT преобразование связывает частицу с античастицей, можно было бы ожидать, что CPT-инвариантность подразумевает симметрию между материей и антиматерией. Для проверки CPT-инвариантности нужно доказать, что массы заряды, ширины, гиромагнитные отношения и другие внутренние свойства частиц и античастиц одинаковы. Это доказательство можно распространить

353

на системы частиц и их динамику. Например, атомы и антиатомы должны иметь идентичные спектры, а реакции с участием частиц и их CPT сопряженных частиц должны иметь одинаковые сечения.

Таким образом, экспериментальное сравнение свойств материи и антиматерии могло бы служить проверкой CPT-инвариантности.

9.7.2.Механизмы нарушения пространственно-временных симметрий

Как уже отмечалось выше, пространственно-временные преобразования делятся на два класса: непрерывные и дискретные. Непрерывные преобразования включают трансляции, вращения и сдвиги. Примеры дискретных преобразований – C, P, T.

Предположим, что относительно одного или нескольких преобразований симметрия нарушена. Естественно возникает вопрос: сохраняются ли оставшиеся преобразования симметрии? Или же нарушение одной или нескольких симметрий связано с нарушением других симметрий?

Предположим, что нарушена трансляционная симметрия (один из возможных механизмов этого нарушения будет рассмотрен ниже). Тогда генератор трансляций – тензор энергии-импульса сохраняться не будет. Влияет ли это нарушение на лоренц-симметрию? Чтобы ответить на этот вопрос, запишем генератор лоренцевских

преобразований, задаваемый тензором углового момента:
J μν = ∫d 3x(θ0μxν − θ0νxμ ).	(9.67)

Заметим, что в это определение входит не сохраняющийся тензор

энергии-импульса θμν . Из определения (9.67) следует, что J μν содержит нетривиальную зависимость от времени, поэтому обычные, зависящие от времени, генераторы лоренц-преобразований не существуют. Как результат, лоренц-симметрия не подразумевается. Нарушение трансляционной симметрии приводит к нарушению лоренц-инвариантности. Обратимся к CPT-инвариантности. Знаменитая CPT теорема (Белл, Людерс, Паули) утверждает, что CPT- симметрия возникает в квантовой теории поля, обладающей ло- ренц-инвариантностью, при весьма необременительных предположениях. Если CPT-симметрия нарушена, то одно или несколько

354

предположений, необходимых для доказательства CPT теоремы, оказываются нарушенными. Поскольку как CPT, так и лоренцинвариантность включают пространственно-временные преобразования, то естественно предположить, что CPT нарушение связано с нарушением лоренцевской симметрии. Это утверждение недавно было подтверждено «анти-CPT теоремой» (Гринберг): «в любой унитарной, локальной, релятивистской теории, содержащей точечные частицы, нарушение CPT подразумевает нарушение лоренцсимметрии».

Важно отметить, что обратное утверждение: нарушение лоренцсимметрии подразумевает CPT нарушение, вообще говоря, неверно. В любом случае, однако, проверка CPT означает проверку ло- ренц-инвариантности.

Как мы видели выше, нарушение определенной пространствен- но-временной симметрии может повлечь за собой нарушение другой пространственно-временной симметрии. В этом разделе будут обсуждаться механизмы нарушения пространственно-временной симметрии. Среди этих механизмов – спонтанное нарушение CPT и лоренц-симметрии, а также CPT и лоренц-нарушения за счет изменяющихся скаляров.

9.7.3. Спонтанное CPT и лоренц-нарушение

Механизм спонтанного нарушения симметрии хорошо известен в различных областях физики, например, в физике конденсированного состояния или в физике элементарных частиц. С теоретической точки зрения, этот механизм весьма привлекателен, поскольку нарушение инвариантности происходит за счет нетривиального основного состояния. При этом основополагающая динамика, основанная на гамильтониане, остается инвариантной относительно преобразований определенной симметрии. Чтобы понять явление спонтанного нарушения CPT и лоренц-симметрии, рассмотрим три поучительных примера. Эти три примера представлены на рис. 9.1.

Случай (а) соответствует классической электродинамике. С любой конфигурацией электромагнитного поля связана плотность энергии

355

V (E, B) =	1	(E 2 + B2 ).	(9.68)
	2

Рис. 9.1

В этом выражении подразумеваются «естественные» единицы из-

мерения, а E и B обозначают напряженности электрических и магнитных полей. Соотношение (9.68) определяет энергию любого решения уравнений Максвелла. Заметим, что если либо электрическое, либо магнитное поле, либо оба поля обращаются в ноль в некоторой области пространства-времени, то энергия, содержащаяся в этих полях, будет строго положительной. Эта энергия может быть

равной нулю лишь в случае, когда повсюду E ≡ 0 , B ≡ 0 . Основное состояние системы (вакуум) определяется как состояние с наименьшей энергией. В электромагнетизме конфигурации с наи-

меньшей энергией соответствуют E ≡ 0 , B ≡ 0 , т.е. максвелловский вакуум пуст (если пренебречь лоренц- и CPT-симметричными квантовыми флуктуациями).

Пример (б) относится к хиггсовскому полю, входящему в состав стандартной модели физики частиц. В отличие от электромагнитного поля, хиггсовское поле – скаляр. Плотность энергии хиггсовского скаляра задается потенциалом

V (φ) = (φ2 − λ2 )2 ,

(9.69)

где λ – постоянная. Как и в случае электродинамики, обсуждавшейся выше, наименьшая плотность энергии равна нулю. Однако для такой конфигурации поле φ имеет ненулевые вакуумные средние (VEV) φ = ±λ. Потому вакуум уже не пустой, он содержит по-

356

стоянное скалярное поле φвак = φ = ±λ. За счет подобных VEV в стандартной модели многие частицы приобретают массы. Отметим, что φ – скаляр и не содержит выделенного направления в

пространстве-времени. В этом случае CPT и лоренцинвариантность не нарушены. Нарушенными оказываются внутренние симметрии.

Обратимся теперь к случаю (в) векторного поля c (допускающего релятивистское обобщение). Подобного рода полей нет в стандартной модели, но они возникают в моделях «фундаментальной» физики. По аналогии с хиггсовским случаем, запишем плотность энергии для постоянного c :

V (c )= (c 2 − λ2 )2 .

(9.70)

Как и в предыдущих двух примерах, наименьшая энергия полевой конфигурации равна нулю, но при этом необходимо ненулевое зна-

чение c . Следует потребовать, чтобы cвак =c = λ, где λ – произ-

вольный постоянный вектор, удовлетворяющий условию λ2 = λ2 . Вакуум содержит VEV векторного поля. Поскольку мы должны рассматривать только постоянные решения c , c будет независи-

мым от пространственно-временной точки x. Действительно, x- зависимость могла бы привести в (9.70) к положительно определенным производным, повышающим плотность энергии. Истинный вакуум в этой модели содержит выделенное «внутреннее» направление, определяемое c , нарушающее вращательную инвариант-

ность и, следовательно, лоренц-симметрию.

Заметим, что взаимодействия, приводящие к энергетической плотности типа (9.70), в перенормируемых калибровочных теориях отсутствуют, но существуют, например, в струнных моделях.

9.7.4.Скаляры, зависящие от пространственно-временных координат

Эти скаляры, независимо от конкретного механизма, вызывающего эти изменения, подразумевают нарушение пространственновременной трансляционной инвариантности. Как обсуждалось вы-

357

ше, трансляции и лоренц-преобразования связаны с группой Пуанкаре, поэтому нарушение трансляционной инвариантности обычно приводит к нарушению лоренц-инвариантности.

Попытаемся пояснить это утверждение. Рассмотрим систему с переменной константой ζ(x) и двумя скалярными полями φ и Ф.

Лагранжиан такой системы будет содержать член ζ(x)∂μφ∂μΦ .

Можно проинтегрировать по частям действие этой системы (например, по отношению к первой частной производной), не изменяя при этом уравнений движения. При этом эквивалентный лагранжиан

L′ −kμφ∂μΦ ,

(9.71)

где kμ ≡ ∂μζ – внешний нединамический 4-вектор, характеризую-

щий выделенное направление в пространстве-времени, нарушающий лоренц-симметрию.

Подчеркнем, что для изменений ζ на космологических масшта-

бах (например, масштабах Солнечной системы), kμ с хорошей точностью постоянен.

Нарушение лоренц-симметрии в присутствии изменяющихся скаляров, можно представить следующим образом. В некоторых пространственно-временных областях 4-градиент скалярного поля должен быть отличен от нуля. Этот градиент имеет предпочтительное направление в этих областях. Пусть некоторая частица взаимодействует со скаляром. Тогда эта частица будет по-разному распространяться в направлениях, параллельных и перпендикулярных к градиенту. Физически же неэквивалентность направлений означает нарушение вращательной инвариантности. Поскольку вращения входят в группу Лоренца, лоренцевская симметрия в этом случае оказывается нарушенной.

Минимальная SU(3)×SU(2)×U(1) стандартная модель, будучи феномелогически весьма успешной, оставляет множество неразрешенных проблем. Можно надеяться, что она является низкоэнергетическим пределом более фундаментальной теории, включающей квантовое описание гравитации. Естественный масштаб более фундаментальной теории – масса Планка M Pl , которая на 17 по-

рядков больше электрослабого масштаба. Это означает, что наблю-

358

даемые сигналы фундаментальной теории будут подавлены степе-

нями отношения r ≈	mW	≈10−17 . Детектирование таких слабых
	M Pl

эффектов требует экспериментов с исключительной чувствительностью. Для идентификации эффектов такой величины нужно попытаться выбрать явления, качественно отличные от явлений стандартной модели. В настоящее время в качестве кандидата на фундаментальную теорию рассматривается струнная (M) теория. Эта теория предсказывает новую физику на планковских масштабах. Было бы интересно исследовать, какие низкоэнергетические предсказания имеет эта теория?

Рассмотрим, к чему может привести предположение о нарушении лоренц-инвариантности в фундаментальной теории. Известно, что спонтанное нарушение лоренц-инвариантности происходит в струнных теориях с лоренц-ковариантной динамикой. В отличие от стандартной модели, струнные теории включают взаимодействия, которые способны дестабилизировать наивный вакуум и вызывать ненулевые средние лоренцевских тензоров. Заметим, что подобное спонтанное нарушение многомерной лоренц-симметрии ожидается в любой лоренц-ковариантной фундаментальной теории в пространстве с числом измерений, большем четырех. Если нарушение имеет место в четырех пространственно-временных измерениях, то нарушение лоренц-инвариантности должно проявляться в стандартной модели. Это могло бы быть проявлением фундаментальной теории, возникающим вне рамок перенормируемых калибровочных моделей.

Следует подчеркнуть, что лоренц-симметрия остается свойством основополагающей фундаментальной теории, поскольку нарушение симметрии – спонтанное. Это означает, что различные притягательные черты обычных теорий (например, микропричинность, положительность энергии), как ожидается, имеют место в низкоэнергетической эффективной теории. Кроме того, сохраняется энергия и импульс, а это означает, что тензор энергии-импульса фундаментальной теории не зависит от пространственновременной точки. При этом стандартные методы квантования остаются неизменными, т.е. в соответствующих пределах возникают релятивистское уравнение Дирака и нерелятивистское уравнение

359

Шредингера. Другой важный аспект спонтанного нарушения состоит в том, что как фундаментальная теория, так и эффективная низкоэнергетическая теория, остаются инвариантными относительно лоренц-преобразований наблюдателя, т.е. вращений и сдвигов инерциальной системы отсчета наблюдателя. Присутствие ненулевых значений тензора изменяет только свойства инвариантности относительно лоренц-преобразований частицы, т.е. относительно вращений импульсов локализованной частицы или поля.

9.7.5. Эффективная модель спонтанного CPT нарушения

Начнем обсуждение с простой модели нарушения CPT- инвариантности. Эта модель содержит в 4-х измерениях одно массивное дираковское поле ψ(x), и плотность лагранжиана имеет

вид:

L = L0 − L′,

(9.72)

где L0 – обычный свободный дираковский лагранжиан фермиона ψ

массы m, а L′ включает дополнительные CPT нарушающие слагаемые, которые будут описаны ниже. Нас будут интересовать возможные формы, которые возникают как «эффективные» вклады при спонтанном нарушении CPT в более общей теории.

По-видимому, в настоящее время только струнные теории составляют единственный класс (калибровочных) теорий в 4-х и более измерениях, который квантово самосогласован, обладает пуан- каре-инвариантностью и содержит механизм спонтанного нарушения CPT инвариантности.

Для того, чтобы рассмотрение было максимально общим, предположим, однако, что спонтанное нарушение CPT связано с ненулевыми значениями, приобретаемыми одним и более лоренцевскими тензорами T, т.е. будем считать L′ эффективным четырехмерным лагранжианом, полученным в фундаментальной теории, содержащей пуанкаре-инвариантные взаимодействия ψ с T. Как будет видно, дальнейшее обсуждение не зависит от конкретной формы строгой теории, поэтому применимо к любым неструнным теориям со спонтанным CPT нарушением.

360