Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

няется. Лоренцевские моды содержатся в проекции εμ . Переобо-

значая

εμ ≡ Aμ

и

определяя

полевые

напряженности

Fμν ≡ ∂μ Aν − ∂ν Aμ , перепишем лагранжиан в виде

L

B

→ L

NG

−

1

F

F μν − A J

μ −b J μ + bμ∂

Ξ

J ν ,

(9.28)

4

μν

μ

μ

ν

μ

где Ξμ – продольная диффеоморфная мода ξμ , соответствующая NG-полю. Она определяется соотношением ρ = ∂μΞμ . При этом

варьирование по вспомогательной моде приводит к сохранению тока ∂μJ μ = 0 .

Лагранжиан (9.28) – эффективный квадратичный лагранжиан, описывающий распространение NG мод в пространстве Минков-

ского. Поле Aμ имеет три степени свободы и автоматически удовлетворяет условию аксиальной калибровки bμ Aμ = 0 . Оно содержит три лоренцевских NG моды. В зависимости от вакуумного среднего bμ , возможны частные случаи временной (A0 = 0) и чис-

то аксиальной калибровки. В пространстве Минковского NG моды напоминают безмассовый фотон в U(1) калибровочной теории (в аксиальной калибровке). Однако, в отличие от калибровочной теории, где безмассовость фотона есть следствие ненарушенности калибровочной симметрии, в рассматриваемом случае безмассовость фотона связана со спонтанным нарушением лоренцевской симметрии. Имеет ли этот эффект экспериментальные проявления? Очевидно, что в этом случае есть одно дополнительное взаимодействие, которого нет у фотона в калибровочной теории. Это лоренц-

нарушающий член bμJ μ , где J μ – заряженный ток. Этот член можно идентифицировать с СМР-членом с коэффициентом aμe ,

входящим в КЭД-предел СМР. Оказывается, этот тип СМР-коэффициентов, если они постоянные, является в электронном секторе ненаблюдаемым. Однако этот член способен генерировать сигнал в кварковом и нейтринном секторах. Поэтому идею о том, что фотон возникает при спонтанном нарушении лоренцев-

341

ской симметрии, можно попытаться проверить в пространстве Минковского.

9.5.2. Риманово пространство

В римановой геометрии в формализме вербейна спиновая связность ωμab возникает в ковариантных производных. Однако метрическое требование

D ea = 0	(9.29)
μ μ

и тот факт, что кручение обращается в ноль, позволяет определить спиновую связность в терминах вербейна:

ωμab = 12 eνa (∂μeνb − ∂νeμb )− 12 eνb (∂μeνa − ∂νeμa )−

(9.30)

− 12 eαaeβbeμc (∂αeβc − ∂βeαc ).

Спиновая связность не имеет независимых степеней свободы в римановом пространстве, а NG моды содержатся в вербейне. В этом случае до шести (из 16-ти компонент вербейна) представляют собой динамические степени свободы, ассоциированные с гравитационными полям. Обратимся снова к выражениям (9.13) и (9.14), определяющим вакуум и лагранжиан bumblebee модели. Разложение проекционного оператора Bμ показывает, что имеется четыре по-

тенциальных NG-моды, содержащиеся в εμ и ρ, при этом условие аксиальной калибровки bμεμ = 0 справедливо и в римановом про-

странстве. Полевую напряженность запишем в виде
Bμν = (∂μeνa − ∂νeμa )ba .	(9.31)

Это соотношение предполагает, что распространение вербейна модифицируется bumblebee-кинетическим членом.

Эффективный лагранжиан NG-моды можно найти путем разложения лагранжиана (9.14) до второго порядка, оставляя при этом связи с токами и кривизной:

342

L

NG

1

[eR + ξebμbνR + ξeAμ AνR + ξeρ(ρ+ 2)bμbνR +

2k

μν

μν

μν

1

(9.32)

+2ξe(ρ+1)bμ AνR

] −

eF F μν −eA J μ −eb J μ + ebμ∂

ν

Ξ

μ

J ν,

μν

4

μν

μ

μ

Aμ = εμ , причем

где снова

лоренцевские

моды

обозначены

как

b Aμ

= 0

и полевые напряженности F

= ∂

μ

A − ∂

ν

A , а гравита-

μ

μν

ν

μ

ционные возбуждения h

удовлетворяют условию

h

bμ = 0 . Из

μν

μν

формы (9.32) эффективного лагранжиана следует, что только две из четырех потенциальных NG-мод распространяются. Это поперечные лоренцевские NG-моды. Продольная лоренцевская и диффеоморфная NG-моды оказываются вспомогательными (нераспространяющимися). В частности, члены с кривизной не индуцируют кинетических членов для ρ. Дело в том, что в линейном приближении флуктуации метрики в форме диффеоморфного возбуждения дают нулевой вклад в тензор кривизны.

В римановом пространстве NG лоренцевские моды снова напоминают фотон в аксиальной калибровке. Можно ли в этом случае проверить, что фотон обязан своим происхождением спонтанному нарушению симметрии? Следует обратить внимание на необычную

связь кривизны с Aμ , ρ и bμ . Связь с кривизной eAμ AνRμν , подав-

ленная калибровочной инвариантностью в электродинамике Эйн- штейна-Максвелла, возникает в теории с лоренц-нарушением. Член

ξebμbνRμν 2k соответствует СМР-коэффициенту типа S μν в гра-

витационном секторе СМР. Оставшиеся слагаемые также представляют собой лоренц-нарушающие члены, входящие в СМР. Любое из этих возможных экспериментальных проявлений позволило бы проверить идею о том, что фотон – NG-мода, возникающая при спонтанном нарушении лоренц-симметрии.

9.5.3. Пространство Картана-Римана (КР)

В пространстве КР вербейн eμa и спиновая связность ωμab являются независимыми степенями свободы. В результате, эффекты

343

спонтанного нарушения лоренц-симметрии кардинально отличаются от случаев пространств Минковского и Римана. В частности, при кручении, отличном от нуля, возможен механизм Хиггса. Это мы увидим ниже на примере bumblebee модели в КР пространстве. Сразу возникает вопрос: если в теории гравитации происходит механизм Хиггса, то гравитон приобретает массу? Очевидно, что даже очень малая масса гравитона модифицирует предсказания общей теории относительности, приводя к разногласию с экспериментом. Однако обычный механизм Хиггса не приводит к массе гравитона, поскольку члены, генерирующие массу, содержат производные от метрики.

Общий вид лагранжиана, содержащего спонтанное нарушение лоренцевской симметрии в КР пространстве:

L = L0 + LSSB .

(9.33)

Часть L0 содержит только гравитационные члены, включающие кривизну и кручение и описывает ненарушенную теорию. LSSB вызывает спонтанное нарушение лоренц-симметрии. Для осуществления механизма Хиггса в присутствие спиновой связности, L0

должен описывать распространяющиеся моды спиновой связности до спонтанного нарушения лоренцевской симметрии. Кроме того, теория должна быть свободной от духовых состояний. Оказывается, что эти условия сильно ограничивают число возможных теорий. Обратимся снова к наиболее простой модели, удовлетворяющей указанным ограничениям, – bumblebee модели. В этой модели

	LSSB = −	1	eBμνBμν − eλ(BμBμ ± b2 ).	(9.34)
		4

В КР пространстве полевая напряженность Bμν определяется соотношением (9.15). В терминах вербейна и спиновой связности

Bμν = (eμbωνab − eνbωμab )ba .

(9.35)

Заметим, что выражение (9.35) сводится к (9.31) в пределах пространств Римана и Минковского, где спиновая связность имеет вид (9.30). Если взять квадрат Bμν , то в лагранжиане возникает квадра-

тичное слагаемое по ωμab , причем

344

	−	1	eBμνBμν	−	1	(ωμρν − ωνρμ )(ωμσν − ωνσμ )bρbσ. (9.36)
		4			4

Наличие квадратичных членов предполагает возможность осуществления механизма Хиггса, происходящего путем поглощения NG-мод спиновой связностью. Подчеркнем, что это возможно только в КР пространстве с ненулевым кручением, т. к. в противном случае (римановом пространстве) спиновая связность не имеет независимых степеней свободы.

9.6.Нарушение CPT подразумевает нарушение лоренц-инвариантности

Квантовая теория поля лоренц-ковариантна на световом конусе, если вакуумные матричные элементы от неупорядоченного произведения полей (функции Вайтмана) ковариантны (см. главу 1). «На конусе» означает, что импульсы, сопряженные к соответствующим разностям пространственно-временных переменных, являются физическими, т.е. принадлежат переднему световому конусу в импульсном пространстве. Будем далее предполагать наличие на конусе лоренц-ковариантности (пуанкаре-ковариантности). Квантовая теория поля ковариантна вне светового конуса, если вакуумные матричные элементы упорядоченных по времени произведений полей (τ-функции) ковариантны. Чтобы определить S матрицу, нужно знать τ-функции, запаздывающие или опережающие произведения (r функции или a функции). Будем подразумевать ковариантность квантовой теории поля, как на световом конусе, так и вне его. Это условие лоренц-инвариантности теории.

Таким образом, в теории с лоренц-инвариантностью как функции Вайтнама, так и r (r или a) функции должны быть ковариантными.

Иост доказал фундаментальную теорему (глава 1): слабая локальная коммутативность в точках Иоста является необходимым и достаточным условием CPT-симметрии. Точки Иоста – это такие пространственно-временные точки, в которых все выпуклые комбинации соответствующих разностей координат, – пространственноподобны. Иначе говоря, если вайтмановские функции

345

W (n) ( x , x

2

,…, x

n

)

= 0

φ( x

)φ( x

2

)…φ( x

n

)

0 ,

(9.37)

1

1

то точки Иоста – упорядоченный набор

{ xi } ,

для которого все

суммы ∑Ci ( xi − xi+1 ) , Ci

≥ 0 , ∑Ci

> 0 – пространственноподоб-

i

i

ны. Слабая локальная коммутативность означает, что

W (n) ( x , x

2

,…, x

n

) =W (n)

( x

n

, x

n−1

,…, x

).

(9.38)

1

1

Очевидно, что локальная коммутативность подразумевает слабую локальную коммутативность.

Как мы увидим, нарушение CPT-инвариантности в любой функции Вайтмана подразумевает нековариантность связанной τ (r или a) функции, т.е. нарушение в теории лоренц-инвариантности. Это будет показано на примере скалярной теории, хотя приведенные аргументы применимы для полей с любым спином.

Если CPT нарушена для любой τ функции, т.е. для этой функции нарушена слабая локальная коммутативность, то соответствующая τ функция не обладает лоренц-ковариантностью, и теория лоренц– неинвариантна. Обобщенная τ функция в терминах функций Вайт-

мана задаются соотношением						(x0p , x0p				)×
τ(n) (x1, x2 ,…, xn ) = ∑θ								,…, x0p	n
			p			1		2		(9.39)
	×W (n) (xp							),
			, xp		2	,…, xp	n
		1
где θ означает x0p	≥ x0p	≥…≥ x0p		.
1		2		n

Чтобы τ-функция была лоренц-ковариантной, лоренцпреобразование, обращающее временной порядок точек, но оставляющее вайтмановскую функцию неизменной, должно не менять τ- функцию.

Рассмотрим случай, когда частица и античастица имеют различные массы. Для простоты считаем поле заряженным скалярным полем. Обобщение на спиновые поля очевидно. Для операторов рождения и уничтожения используем ковариантную нормировку. Для бозе-коммутационных соотношений состояния частиц и античастиц

a( p), a† ( p′)		= 2E ( p)δ( p − p′) ,	(9.40)
		346

b( p), b† ( p′)		= 2E ( p)δ( p − p′) ,	(9.41)

E ( p) = p2 + m2 , E ( p) = p2 + m2 .

Для m2 ≠ m2 эти коммутационные соотношения нарушают C и CPT-симметрию, но не обязательно P и T-симметрию.

Гамильтониан в этом случае имеет вид

	H = ∫	d 3 p	E ( p)a† ( p)a( p) + ∫	d 3 p					( p)b† ( p)b( p). (9.42)
								E
		2E ( p)		2E ( p)

Обычные коммутационные соотношения для алгебры Ли группы

Пуанкаре

(

νλ pμ − ημλ pν

)

pμ, pν

= 0,

M μν, pλ = i

η

,

)

(9.43)

= i

(

ημβM να −ημαM νβ + ηναM

ηβ − ηνβM μα

M μν, M αβ

,

(9.44)

удовлетворяются заменами

∂

∂

Pμ → pμ,

M μν →i

pμ

− pν

.

(9.45)

∂p

∂p

ν

μ

Переход к полевым операторам приводит к эрмитовости генераторов алгебры Ли

Pμ = ∫

d 3 p

a† ( p) pμa( p) +∫

d 3 p

b†

( p) pμb( p), (9.46)

2E ( p)

2E ( p)

∫

d 3 p

∂

∂

M μν

=

2E ( p)

a† ( p)i

pμ

−p

ν

a( p) +

∂pν

∂pμ

(9.47)

d 3 p

∂

∂

∫

+

b†

( p) i

pμ

− pν

b

( p).

2E ( p)

∂pν

∂pμ

Таким образом, свободные поля несут представления алгебры Пуанкаре. В частности, гамильтониан, H = p0 генерирует времен-

ные трансляции. Как будет показано ниже, проблема с лоренцевской инвариантностью возникает вне светового конуса и проявляется только при наличии взаимодействий. Используя генераторы трансляций, построим пространственно-временную зависимость полей

347

eiPx a( p)e−iPx = e−ipx a( p) .

(9.48)

Таким образом, поля в х-пространстве

φ( x) =

1

∫

d 3 p

a( p)e−ipx +∫

d 3 p

b†

( p)eipx ,

(9.49)

3

2E ( p)

(2π)

2E ( p)

2

φ† (x) =

1

∫

d 3 p

b( p)e−ipx +∫

d 3 p

a† ( p)eipx ,

(9.50)

3

2E ( p)

(2π)

2E ( p)

2

где p0 = E ( p)

для членов с a и a† и p0 =

( p)

для членов с b

E

иb† .

Вэтом случае имеются только одни вакуумные матричные элементы – двухточечные функции, обладающие свойством ковариантности (для скаляров – свойством инвариантности)

φ( x)φ† ( y)

(†) (x − y, m2 ) =

1

∫

d 3 p

0

0 =

e−ipx ,

(9.51)

(2π)3

2E ( p)

φ† ( x)φ( y)

† (x − y,

2 ) =

1

∫

d 3 p

0

0 =

m

e−ipx .

(9.52)

(2π)3

2

( p)

E

Назовем поле локальным в смысле (9.39), опреленном ниже, если коммутатор полей обращается в ноль при пространственноподобном (x − y)2 < 0 :

φ( x), φ† ( y) = 0 .

(9.53)

Чтобы это было справедливым для вакуумного матричного элемен-

(†)

(

)

(

)

та,

r, m2

−

†

−r,

m

2

rμ = xμ

− yμ

должно

обращаться в

ноль для r2 < 0 . Асимптотический предел для

−r2

→∞ равен

(

)

−34

(

−r2

−r 2

)

0

φ( x), φ† ( y)

0 →

−r2

e−m

− e−

m

.

(9.54)

Последнее условие требует, чтобы m2 = m2 . При пуанкарепреобразованиях двухточечная τ-функция, являющаяся фейнмановским пропагатором

348

0T (φ( x)φ† ( y)) 0 =

=θ(x0 − y0 )0 φ( x)φ† ( y) 0 + θ( y0 − x0 )0 φ† ( y)φ( x) 0, (9.55)

изменяется следующим образом														))					(				)	(9.56)
	T	(				(	Λ−1 ( x − a)			)	φ†	(	Λ−1 ( y − a)							Λ−1 ( x − y)0
0			φ												0	= θ								×
× 0					φ( x)φ† ( y)				0 + θ(Λ−1 ( y − x)0 )							0		φ† ( y)φ( x)				0 .

В выражении (9.56) мы воспользовались лоренц-инвариантными свойствами (†) (x − y,m2 ) и (†) (y − x,m2 ) . Если ( x − y) – про-

странственно-подобна, лоренцевское преобразование способно пе-

ревести вектор с x0 > y0	в вектор с y0 > x0 . При этом пропагатор
меняется с † (x − y,m2 )	на † (y − x,	m	2 ) . Таким образом, пропа-

гатор не ковариантен до тех пор, пока вакуумный матричный элемент коммутатора (†) (x − y,m2 ) − (†) (y − x,m2 ) не обращается в ноль при пространственноподобной разности ( x − y) . А это проис-

ходит лишь в случае, если m2 = m2 .

Вычисление τ функции в импульсном пространстве приводит к

выражению

)

(

)

(

−1

−1 .

2i

E ( p) − p0

−iε

E ( p)

+ 2i

E

( p) + p0 −iε

E

( p)

(9.57)

Для m2 = m2 это выражение приводится к инвариантной форме i( p2 − m2 + iε), как и должно быть.

Чтобы продемонстрировать эффект неинвариантности этого пропагатора относительно разных наблюдателей, предположим, что пропагатор связывает скалярный s-канальный процесс

k	1	+ k	2	→ k′ + k′		, k 2	= k′2= m2		, k 2	= k′2	= m2 .
				1	2	1	1	1	2	2	2

Если бы пропагатор был лоренц-инвариантным, то наблюдатель, который обнаружил полный импульс, равный нулю (например, в системе центра масс) получил бы тот же результат, как и наблюдатель, для которого импульс одной из частиц равен нулю (на-

349

зовем эту систему лабораторной). В системе центра масс

p ≡ 0 ,

s = ( k 2 + m12

+

k 2 + m22 )2 ,

E (p) = m ,

(p) =

. Тогда пропагатор

E

m

(пропаг.)

ст =

m2 +

m

2 + (

m

− m) s

.

(9.58)

2imm(m −

s )(

m

+

s )

В лабораторной

системе

p =k ,

s = m2 + m2

+ 2m

2

k 2

+ m2

,

1

1

1

1

1

E (p)= k 2 + m2

,

(p)= m

. Пропагатор задается соотношением

E

2

1

1

(9.57), причем

1

E(p)=

s2 −2 m2

+m2 s + m2 −m2

2 +4m2m.

(9.59)

2m2

1

2

1

2

2

Аналогично

определяется

E

(p),

но m

заменяется

на

m

и

p0 = (s + m22 − m12 )

2m2 . В пределе s → ∞

(пропаг.)

ст → i

(

m

− m)

,

(9.60)

2mm s

(пропаг.)

лаб

→

i

.

(9.61)

s

Таким образом, в пределе больших s амплитуды в двух различных системах отсчета качественно отличаются. Если m = m , то оба про-

пагатора ведут себя si при больших s. Для резонансной амплиту-

ды, когда s ≈ m2 или s ≈ m2 , неинвариантность пропагатора приводит к неинвариантности сечения рассеяния. Обсудим теперь вопрос о нелокальности, когда массы частицы и античастицы отличаются.

Нелокальные квантовые теории поля интенсивно обсуждались в 50-х годах прошлого века как возможный способ исключения ультрафиолетовых расходимостей. При этом нелокальность всегда содержалась в слагаемых лагранжиана, описывающих взаимодействия. К сожалению нелокальные теории оказались неспособными разрешить проблему расходимостей. Свойство локальности в квантовой теории поля имеет три различных значения:

350