Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

Даже с учетом строгого требования динамической пуанкареинвариантности, ненарушенная «реалистическая» теория включает члены с производными, степенями тензорных полей и квадратами фермионных полей. Однако любой CPT нарушающий член, являющийся частью 4-мерной эффективной теории, должен иметь размерность (масса)4. В эффективном лагранжиане любая комбинация полей и производных с размерностью, больше четырех, должна содержать весовой фактор с отрицательной степенью (–k), по крайней мере, одного массового масштаба M m – масштаба эффективной теории. В реалистической теории со струнным сценарием M M Pl . Поскольку средние T тензоров T, как предпола-

гается, нарушают Лоренц и CPT симметрию, то любой член, «выживающий» в L′ после спонтанного нарушения симметрии, дол-

жен быть подавленным степенями Mm .

Таким образом, возникает иерархия возможных слагаемых в L′, соответствующих k = 0, 1, 2,… Опуская для простоты лоренцевские

индексы, лидирующие члены с k ≤ 2								должны иметь следующую
форму			λ				k
	′
L		M k T ψΓ(i∂)						ψ+ э.с.	(9.73)
В этом выражении λ – безразмерная константа связи, (i∂)k									– k че-

тырехмерных производных, действующих в некоторой комбинации на фермионные поля, Γ – некоторая структура из гамма-матриц. Члены с k ≥ 3 и с более чем квадратичными фермионными факторами тоже возникают, но оказываются подавленными. Заметим, что вклады вида (9.73) характерны для струнных теорий. Наивный учет степеней указывает на то, что доминирующие члены с k ≤1 – перенормируемые.

Для k = 0 лидирующие члены (9.73) должны иметь вид

T m2 . Ниже будет проанализирован именно этот относительно

M

простой случай. Следует отметить, что основные особенности, связанные с нарушением CPT и лоренц-инвариантности сохраняются и при рассмотрении других значений k.

361

Каждый вклад в L′ за счет членов (9.73) является фермионной билинейной комбинацией, включающей 4×4 матрицы Γ. Независимо от числа тензоров T, индуцирующих нарушение, Γ можно представить как линейную комбинацию 16-ти базисных элементов алгебры гамма-матриц. Нас же интересует лишь часть этих комбинаций, приводящая к CPT нарушению.

Для случая k = 0 существуют два типа нарушающих членов:

L′	≡ a	ψγμψ,	L′	≡ b ψγ		γμψ .	(9.74)
a	μ		b	μ	5

Из соображений полноты приведем также соответствующие члены для случая k=1.

L′

≡

1

icα

ψ∂αψ, L′

≡

1

d αψγ

5

∂αψ,

c

2

d

2

(9.75)

1

ieα

ψσμν∂αψ,

L′

≡

e

2 μν

где операция A∂μB ≡ A∂μB −(∂μ A)B . Во всех выражениях (9.74)

величины aμ, bμ, cμα, d α, eμνα , должны быть вещественными, и это

есть следствие спонтанного нарушения симметрии и эрмитовости теории. Эти величины являются комбинациями констант связи, ожидаемых значений тензоров, массовых параметров и коэффициентов, возникающих при разложении Γ. Основываясь на интерпретации этих величин как эффективных констант связи, в сценарии

спонтанного нарушения симметрии aμ, bμ, cα, d α и eμνα являются

инвариантными относительно CPT преобразований. Как уже отмечалось, в последующем изложении ограничимся выражениями

(9.74).

Допуская наличие обоих вкладов (9.74) в L′, приходим к модельному лагранжиану вида

L =	1	iψγμ∂μψ− a ψγμψ−b ψγ		γμψ− mψψ.	(9.76)
	2	μ	μ 5

Варьируя этот лагранжиан, получаем модифицированное уравне-

ние Дирака:	(iγμ∂μ − aμγμ −bμγ5γμ − m)ψ = 0 .	(9.77)
	362

С уравнением дираковского типа связано модифицированное уравнение Клейна-Гордона. Осуществляя обычную процедуру, в которой оператор уравнения Дирака с противоположным знаком массы действует на уравнение Дирака слева, получаем уравнение типа Клейна-Гордона

(i∂ − a)2	−b2 − m2 + 2iγ	5	σμνb (i∂	ν	− a	ν	)	ψ(x)= 0.	(9.78)
			μ

Это уравнение содержит производную второго порядка, но, в отличие от обычного уравнения Клейна-Гордона, включает недиагональные члены в спинорном пространстве. Они могут быть исключены путем применения к (9.78) оператора с противоположным знаком для недиагональной части. Это дает уравнение четвертого порядка, которому удовлетворяет каждая компонента спинора любого решения модифицированного уравнения Дирака:

{(i∂ −a)2 −b2 −m2 2 +4b2 (i∂−a)2 − 4 bμ (i∂μ −aμ ) 2}ψ(x)=0. (9.79)

Обсудим непрерывные симметрии модели с лагранжианом (9.76). Для определенности, начнем с анализа в ориентированной инерциальной системе отсчета, в которой определены величины aμ и bμ .

Эффекты вращений и сдвигов будут рассмотрены позже. CPT-нарушающие члены в выражении (9.76) не изменяют

обычной глобальной U(1) инвариантности, т.е. ток jμ = ψγμψ со-

храняется. Следовательно, в этой модели сохраняется заряд. Кроме того, эти члены не влияют на нарушение кирального U(1)-тока

j5μ = ψγ5γμψ. Обозначим объемные интегралы от плотностей то-

ков jμ и j5μ через J μ и J5μ .

Рассматриваемая модель инвариантна относительно трансляций, если средние значения тензора считать постоянными. Это приводит к сохранению канонического тензора энергии-импульса

	θμν =	1	iψγμ∂ν	ψ, ∂μθμν = 0 ,	(9.80)
		2
					pμ . Выражения
	и, соответственно, к сохранению 4-х импульса

(9.80) имеют ту же форму, как и в свободной теории. Отметим, однако, что сохранение энергии и импульса не обязательно подразу-

363

мевает обычное поведение относительно сдвигов или вращений. Присутствие CPT нарушающих членов в уравнении Дирака нару-

шает симметрийные свойства θμν . Антисимметричная часть θ[μν]

1

μj

ν

[μν]

μν

νμ

∂α ψ{γ

α

μν

}ψ − a

[μjν]

θ

≡ θ

− θ

= −

4

, σ

−b

5

,

(9.81)

уже не является полной производной. Обычная конструкция симметричного тензора энергии-импульса, включающая вычитание из канонического тензора энергии-импульса антисимметричной части нарушала бы сохранение энергии-импульса, и поэтому в данном случае неприменима.

Рассмотрим теперь влияние вращений и сдвигов. Обычные ло- ренц-преобразования специальной теории относительности связывают наблюдаемые в двух инерциальных системах отсчета частицы, имеющие различные ориентации и скорости. Эти преобразования можно рассматривать как изменение координат, поэтому их называют «наблюдательными» лоренц-преобразованиями. Можно, однако, рассматривать преобразования, связывающие свойства двух частиц, отличающихся в определенной ориентированной инерциальной системе ориентацией спина или импульса. Такие преобразования называются лоренц-преобразованиями частиц. Для свободных частиц эти два типа преобразований являются обратными преобразованиями. Однако эта эквивалентность нарушается для частиц, движущихся в фоновом поле. Отличие между «наблюдаемыми» преобразованиями и преобразованиями частицы представляется весьма существенным, поскольку CPT-нарушающие члены можно считать возникающими за счет постоянных фоновых полей aμ и bμ . Однако эти восемь величин преобразуются как два четы-

рех-вектора относительно лоренцевский преобразований наблюдателя и как восемь скаляров относительно лоренцевских преобразований частицы, причем они связаны с токами, которые преобразуются относительно обоих типов преобразований как четырехвекторы. Это означает, что лоренц-симметрия наблюдателя остается симметрией модели, в то время как, лоренцевская группа частиц оказывается нарушенной.

Физическую ситуацию понять нетрудно. Например, электрон с импульсом, перпендикулярным однородному фоновому магнитно-

364

му полю, движется по окружности. Предположим, что в той же системе отсчета наблюдателя мы увеличиваем величину импульса электрона без изменения его направления. При этом электрон движется по окружности увеличивающегося радиуса. Этот сдвиг частицы оставляет фоновое поле неизменным. Однако, если рассмотреть сдвиг наблюдателя перпендикулярно магнитному полю, то электрон уже не будет двигаться по окружности. Это видно в новой

инерциальной системе, относительно которой E × B дрейф вызван

присутствием электрического поля. В этом примере фоновое магнитное поле преобразуется при сдвигах наблюдателя в электромагнитном поле, но (по определению) остается неизменным при сдвигах частиц. Это выглядит вполне аналогичным преобразованию aμ

иbμ в CPT-нарушающей модели.

Вэтом примере, необычный аспект CPT-нарушающей модели состоит в том, что постоянные поля aμ и bμ являются глобальны-

ми свойствами этой модели. Их нельзя считать возникающими из локализованных экспериментальных условий, которые могли бы приводить к инвариантным преобразованиям 4-х векторов, а не скаляров. Поведение aμ и bμ как фоновых полей есть следствие

ненулевых значений лоренцевских тензоров «фундаментальной» теории. Эти ненулевые значения лоренцевских тензоров нарушают те части лоренцевской группы частицы, которые не являются унитарными преобразованиями вакуума.

Сохранение лоренцевской симметрии наблюдателя – важная особенность рассматриваемой модели. Это следствие лоренцевской инвариантности наблюдателя в основополагающей фундаментальной теории. Эта симметрия не изменяется при появлении ненулевых значений лоренцевских тензоров благодаря применению соответствующих координатных преобразований. В качестве иллюстрации использования этой симметрии в эффективной модели покажем, что она позволяет провести дальнейшую классификацию типов CPT-нарушающих членов в соответствии с лоренцевскими свойствами aμ и bμ . Так, например, если bμ – времениподобен в

одной инерциальной системе, то он должен быть времениподобным и во всех других системах отсчета. Это означает, что можно

365

найти класс инерциальных систем отсчета, в котором bμ = b(1, 0, 0, 0), и вычисления в значительной степени упрощается.

Этот же аргумент, примененный к светоподобным или простанст- венно-подобным случаям, показывает, что CPT-нарушающая физика четырех компонент bμ в каждом случае сводится к знанию их

лоренцевского типа и единственного числа, определяющего его величину.

Следует заметить, что класс инерциальных систем, выбранный таким образом, может отличаться от экспериментально значимых систем отсчета, например, определенных с помощью микроволнового фонового излучения. В заданной инерциальной системе отсчета при спонтанном нарушении лоренц-инвариантности возникают

определенные aμ и bμ . Ток J λμν для лоренцевских преобразова-

ний частиц, будучи выраженным в терминах тензора энергииимпульса, имеет вид

	J λμν = x[μθμν] +	1			{γλ, σμν}ψ.	(9.82)
				ψ
		4

Этот ток сохраняется на уровне основополагающей теории со спонтанным нарушением симметрии. В эффективной же низкоэнергетической теории, где спонтанное нарушение проявляется в явной форме, свойство сохранения нарушается. В последнем слу-

чае соответсующие лоренцевские заряды M μν удовлетворяют соотношению

	dM μν	= −a[μJ ν] −b[μJ5ν] .	(9.83)
	dt

Для заданных в некоторой инерциальной системе отчета значений aμ и bμ соотношение (9.83) можно использовать для опреде-

ления нарушенных лоренцевских симметрий. Отметим, что если либо aμ , либо bμ зануляется, то лоренцевская группа нарушена до

малой группы ненулевого 4-х вектора. Это означает, что наибольшая подгруппа группы Лоренца, оставляющая инвариантным ла-

гранжиан (9.76) – это SO(3), E(2) (см. главу 1) или SO(2,1). По-

скольку aμ и bμ представляют собой два 4-вектора в 4-мерном

366

пространстве-времени, они определяют двумерную плоскость. Преобразования, включающие два ортогональных измерения, не влияют на эту плоскость. Это значит, что наименьшей подгруппой лоренцевской симметрии может быть компактная или некомпакт-

ная U(1).

В реалистической низкоэнергетической эффективной теории CPT-нарушающие члены могли бы нарушать лоренц-группу частиц согласно соотношению (9.83). Поскольку экспериментально не наблюдаются эффекты нулевого порядка CPT-нарушения, то CPT- нарушающие эффекты в струнном сценарии подавлены по крайней

мере, как	m	, где m – массовый масштаб эффективной теории.
	M Pl

При обсуждении выше было использовано «практическое» определение CPT и лоренцевских преобразований. Оно включает трактовку C, P, T и лоренцевских свойств ψ в свободной теории, описываемой лагранжианом L0 и последующим установлением

симметрийных свойств лагранжиана L′ . Этот подход требует осторожности, поскольку существуют альтернативные определения преобразований симметрии, оставляющие полный лагранжиан теории L инвариантным. Рассмотрим сначала CPT и лоренцнарушающую модель, содержащую только aμ и описываемую в

заданной инерциальной системе отсчета лагранжианом
L[ψ]= L0 [ψ]− La′ [ψ].	(9.84)

Если ввести в этой системе отсчета новое поле, связанное с ψ- фазой, зависящей от пространственно-временной точки

χ = exp(iax)ψ,

(9.85)

то лагранжиан в терминах нового поля запишется в виде
L[ψ]= exp(−iax)χ ≡ L0 [χ].	(9.86)

Эта модель эквивалентна обычной свободной дираковской теории, в которой отсутствуют CPT или Лоренцевские нарушения. Связь между генераторами Пуанкаре в двух формах теории можно установить, если подставить ψ = ψ[χ] в Пуанкаре генераторы для L[ψ]

и извлечь комбинации, необходимые для воспроизведения Пуанка-

367

ре генераторов L0 [χ]. На этом пути обнаруживаем, что зарядовые

и киральные токи jμ и j5μ в обеих теориях имеют одинаковую

функциональную форму, однако изменяется канонический тензор энергии-импульса

	θμν =	1	i	χγμ∂ν	χ + aν			(9.87)
						χγμχ .
		2

При этом, соответственно, изменяется лоренцевский ток J λμν . Это означает, что в первоначальной теории с лагранжианом L[ψ] мы могли ввести сохраняющиеся модифицированные Пуанкаре токи

θμν и J λμν , генерируемые ненарушенной алгеброй Пуанкаре. Эти токи задаются функционалами от ψ:

θμν = θμν − aν jμ, J λμν = J λμν − x[μaν] jλ.

(9.88)

Существование этой связи между двумя теориями определяется наличием сохраняющегося тока jμ . В модели (9.76) с aμ и bμ

членами компонента La может быть исключена, как и раньше, переопределением поля. Однако подобного преобразования, исключающего Lb′ – нет, поскольку сохранение кирального тока j5μ нарушено массой. В безмассовом пределе этой модели киральный ток

сохраняется, и мы можем исключить как aμ , так и bμ	путем пере-
определения поля
χ = exp(iax −ibxγ5 )ψ.	(9.89)

В случае же m ≠ 0 , это переопределение вносило бы пространст- венно-временную зависимость в массовый параметр.

Член La′ в выражении (9.74) «напоминает» о локальной U(1)

связи, хотя теория (9.76) и не обладает локальной U(1) симметрией. Для последующего обсуждения стандартной модели очень важно, как переопределение полей влияет на U(1) калибровочную инвариантность первоначальной теории. Заметим, что член La′ имеет ту

же форму, что и связь с постоянным фоновым электромагнитным потенциалом.

368

Таким образом, в калибровочной теории CPT-нарушающий член La′ можно интерпретировать как слагаемое, связанное с выбором

фоновой калибровки. Его можно исключить переопределением поля. Отметим также, что модель (9.76) содержит одно фермионное поле. Все CPT-нарушающие эффекты в теории с несколькими фермионными полями исключаются, если каждый из фермионов имеет в лагранжиане член, подобный La′ . Например, это возможно, если

отсутствует фермионное смешивание и каждый CPT-нарушающий член включает одинаковые aμ . Однако в многофермионных теори-

ях с CPT нарушением, содержащих фермионные билинейные члены, CPT-нарушающие эффекты переопределением полей исключить нельзя. Тем не менее, поскольку члены лагранжиана, спонтанно нарушающие CPT, с необходимостью включают «спаренные» фермионные поля, по крайней мере, одну из величин aμ

можно исключить. Это означает, что наблюдаемыми оказываются разности между aμ . Примеры будут приведены ниже.

Обсудим теперь некоторые особенности релятивистской квантовой механики, основанной на лагранжиане (9.76), в котором ψ рассматривается как 4-х компонентная волновая функция. Полученные результаты оказываются важными с точки зрения понимания CPT-нарушающих членов в квантовой теории поля. Аналогичная трактовка в стандартной модели включает несколько фермионных полей, для которых CPT-нарушающие члены типа La′ не могут

быть исключены. Поэтому в последующий анализ мы явным образом включим величину aμ , хотя ее в однофермионном случае

можно исключить путем переопределения поля. Модифицированное уравнение Дирака (9.90) в приближении

плоских волн имеет следующее решение

ψ(x)= e−iλμxμ ω(λ).

(9.90)

В этом выражении ω(λ) – 4-компонентный спинор, удовлетво-

ряющий уравнению
(λμγμ − aμγμ −bμγ5γμ − m)ω(λ)= 0 .	(9.91)
369

Чтобы существовало нетривиальное решение уравнения (9.91), детерминант матрицы, действующий на ω(λ), должен обращаться в

ноль. Это означает, что λμ ≡ (λ0 , λ′), где λ0 = λ0 (λ) должна удов-

летворять соотношению

(λ − a)2 −b2 − m2 2 + 4b2 (λ− a)2 − 4 bμ (λμ − aμ ) = 0. (9.92)

Это условие можно получить непосредственно из уравнения (9.79), если учесть предположение (9.90).

Дисперсионное соотношение (9.92) – уравнение 4-го порядка для λ0 (λ). Можно свести (9.92) к кубическому уравнению и ре-

шить его, однако алгебраические решения этого уравнения непросто анализировать. Тем не менее, некоторые особенности решений можно анализировать и не зная аналитического выражения. Одна из таких особенностей – все четыре корня должны быть, вследствие эрмитовости квантовомеханического гамильтониана, вещественными

	Hψ ≡ i	∂ψ	= (−iγ0γ + aμγ0γμ −bμγ5γ0γμ + mγ0 )ψ.	(9.93)
		∂t

Другая особенность следует из инвариантности относительно за-

мены	(λμ − aμ )→ −(λμ − aμ ). В этом случае	каждое	решение
λ0+ (λ)	соответствует другому решению λ0− (λ),	задаваемому соот-
ношением
	λ0− (λ)= −λ0+ (−λ + 2a)+ 2a0 .		(9.94)
Это уравнение и инвариантность относительно замены			bμ → −bμ

приводят к отличию собственных состояний четырех корней, что является прямым следствием наличия CPT-нарушающий членов.

Другой важной чертой рассматриваемой модели является наличие при некоторых значениях корней λ0 (λ) особенностей диспер-

сионного соотношения. Для обычного дисперсионного соотношения энергия – плавная функция каждой трехимпульсной компоненты как для времениподобного, так и пространственноподобного 4-х

370