Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

импульса. Для светоподобного же случая в начале координат имеется особенность. Исследуя разрывы производных от корней по

отношению к компонентам λ, можно обнаружить, что разрывы возникают, если m2 > 0 , а bμ – времениподобный.

Наличие скачков не имеет наблюдаемых следствий, поскольку их величина определяется величиной bμ , подавленной в любой

реалистической ситуации. Предположении о том, что CPT- нарушающие величины малы по отношению к масштабу m низкоэнергетической теории означает, что дисперсионное соотношение

(9.92) имеет два положительных λ0+(α) (λ) и два отрицательных корня λ0−(α) (λ) (α=1,2). Поскольку эти корни являются собствен-

ными значениями оператора пространственно-временной трансляции, соответствующие волновые функции описывают состояния с положительной и отрицательной энергиями.

В релятивистской квантовой механике состояния с отрицательной энергией заполняют дираковское море. Когда состояние с отрицательной энергией переходит в состояние с положительной энергией, на его месте возникает «дырка» – частица с противоположной энергией, импульсом, спином и зарядом. В рассматриваемой модели, однако, когда состояние с отрицательной энергией распространяется в CPT-нарушающем фоне с параметрами aμ и bμ

и переходами в состояние с положительной энергией, возникает дырка с противоположными значениями энергии, импульса, спина, заряда. Но при этом дырка движется в CPT-нарушающем фоне, с

параметрами (−aμ ) и bμ . Дело в том, что член La′ – нечетный от-

носительно зарядового сопряжения. Этот же эффект проявляется при построении зарядово-сопряженного уравнения Дирака

(iγμ∂μ + aμγμ −bμγ5γμ − m)ψc = 0 ,

(9.95)

где, как обычно, ψc = CψT и C-зарядово-сопряженная матрица. Собственные функции, соответствующие двум отрицательным

собственным значениям λ0−(α) (λ), можно интерпретировать как

371

волновые функции с положительной энергией, но с противоположными по знаку импульсами.

Введем спиноры u(α) (p), v(α) (p)в импульсном пространстве

ψ(α) (x)= exp(−i pu(α)x)u(α) (p),

(9.96)

ψ(α) (x)= exp(+i pv(α)x)v(α) (p),

где 4-х импульсы

pu(α) ≡ (Eu(α), p), Eu(α) (p)= λ0+(α) (p);

(9.97)

pv(α) ≡ (Ev(α), p), Ev(α) (p)= −λ0−(α) (p).

Соотношение между спинорами u и v определяется зарядовосопряженной матрицей и зарядово-сопряженным уравнением Дирака (9.95). Например, u(2) (p, aμ, bμ ) v(1)c (p, − aμ, bμ ), где зави-

симость от aμ и bμ представлена в явной форме. Симметрия дисперсионного соотношения (9.94) связывает два набора энергий

E(v2,1) (p)= Eu(1,2) (p + 2a)− 2a0 .	(9.98)
Подчеркнем, что четыре спинора u(α) (p), v(α) (p)	– ортогональны.

Их нормировку можно выбрать произвольно, например, ограничение (ψc )c = ψ весьма полезно для этих целей. Обычные условия ортонормируемости дают

	u(α)† (p)u(α′) (p)=		δαα′Eu(α)		,	u(α)† (p)v(α′) (−p)= 0;
			m
						(9.99)
		δαα′Ev(α)
	v(α)† (p)v(α′) (p)=			,		v(α)† (−p)u(α′) (p)= 0.
			m

Отметим, что лоренцевское нарушение не допускает простое обобщение соотношений, включающих дираковские сопряженные

спиноры u(α) (p) и v(α) (p), на эрмитово-сопряженные спиноры u(α)† (p) и v(α)† (p).

Соотношения (9.99) приводят к условию полноты

372

m

u(α) ( p) u(α)+

( p) +

2

E(α) ( p)

∑

u

m

= I .

α=1

+

v(α) (−p) v(α)+ (−p)

E(α) (−p)

Кроме того,

v

1

(α′)

′

μ

(α)

(α′)

′

u

( p

)γ

u

( p) =

u

( p

)×

2m

p′(α′)μ + p(α)μ − 2aμ +

( p).

×

u

u

b

u(α)

+iσμν p′(α′) − p(α) − 2γ

(

uv

uv

5

v )

(9.100)

(9.101)

Общее решение модифицированного уравнения Дирака (9.77) имеет вид

m

b

( p)e

−ip(α)x

u(

α

) ( p) +

u

2

(

α)

d

3

p

(α)

ψ( x) = ∫

∑

Eu

,

(9.102)

3

m

(2π)

α=1

+

d *

( p)eipv(α)xv(α) ( p)

(α)

(α)

Ev

где b(α) ( p) , d(*α) ( p) – комплексные веса.

Отметим, что 4-х импульсы являются собственными значениями операторов трансляции, следовательно, сохраняются. Они представляют собой каноническую энергию и импульс, а не кинетическую энергию и импульс. Отличие между канонической и кинетической энергией существует во многих физических системах, например, при движении заряженной частицы в электромагнитном поле. В рассматриваемом нами случае канонический 4-х импульс не связан со скоростью так, как обычный 4-х импульс в специальной теории относительности. Искомое соотношение можно полу-

чить, используя оператор скорости v ≡ dxdt = i[H , x] = γ0 γ , где H –

гамильтониан (9.93).

Даже в обычной дираковской квантовой механике введение скорости включает тонкости, связанные с присутствием решений с отрицательной энергией. Например, оператор скорости не коммутирует с обычным дираковским гамильтонианом. В обсуждаемой

373

нами CPT-нарушающей модели возникают дополнительные сложности. Действительно, из свойств корней дисперсионного соотношения (9.92) следует, что для времениподобного bμ скорость вбли-

зи начала координат не соответствует сохранению импульса. В общем случае, оператор скорости в энергетическом базисе имеет дополнительные недиагональные компоненты даже в секторе положительных энергий.

Другой подход к определению скорости – вычислить производ-

ную по импульсу от энергии. Для случая b ≡ 0 это определение приводит к результату, обсуждаемому выше, причем без знания точной волновой функции. Этот подход дает возможность исследования всех вопросов, связанных со скоростью. Например, требование причинности модели ограничивает групповую скорость скоростью света. Если условие причинности удовлетворяется, то

	v j		≡	∂E		<1	(9.103)
				∂p j

выполнено для каждого j = 1, 2, 3.

Наше рассмотрение релятивистской квантовой механики одного фермиона в присутствии CPT-нарушающих членов можно распространить на взаимодействия с другими полями. При этом используется стандартный метод функций Грина. Действительно, можно ввести обобщенный фейнмановский пропагатор, удовлетворяющий соотношению

(iγμaμ − aμγμ −bμγ5γμ − m)× SF (x − x′)= δ(4) (x − x′) (9.104)

и обычным фейнмановским граничным условиям. Этот пропагатор имеет интегральное представление

		d 4 p		e−iρ(x−x	)
SF (x − x′)=	∫			′			,	(9.105)
		(2π)4 pμγμ − aμγμ −bμγ5
						γμ − m
	CF
где CF – аналог фейнмановского контура в p0						пространстве, про-

ходящий ниже двух полюсов с отрицательной энергией и выше полюсов с положительной энергией.

374

Обсудим теперь некоторые аспекты квантовой теории поля, связанные с модельным лагранжианом (9.76). Как и в обычном дираковском случае, прямого канонического квантования оказывается недостаточно, и необходимо использовать условие квантования, основанное на положительности сохраняющейся энергии.

Считая Фурье – коэффициенты в разложении (9.102) операторами в гильбертовом пространстве, из соотношения (9.80) получаем выражение для нормально-упорядоченной сохраняющейся энергии

p0 = ∫d 3x : θ00: Это выражение является положительно-определен-

ым для a0 < m , если выполняются следующие антикоммутационные соотношения

†

′

3 Eu(α)

(3)

′

b

(p), b

(p

)

= (2π)

δ

αα′

δ

(p − p

),

{

(α)

(α′)

}

m

(9.106)

{

3 Ev(α)

†

′

(3)

′

d

(α)

(p), d

(α′)

(p

)

= (2π)

δ

αα′

δ

(p − p

).

}

m

Для простоты в этих выражениях, как и в последующих, опущена зависимость от aμ и bμ . Соответствующие одновременные анти-

коммутаторы полей

{ψj (t, x), ψ†k (t, x′)}= δjk δ(3) (x − x′),

(9.107)

{ψj (t, x), ψk (t, x′)}={ψ†j (t, x), ψ†k (t, x′)}= 0.

С помощью этих выражений получаем нормально-упорядоченный сохраняющийся заряд

	d	3	p	2		m		m
Q = ∫				∑			b(†α) (p)b(α) (p)−		d(†α) (p)d(α) (p)	. (9.108)
			3			(α)		(α)
	(2π)			α=1	Eu			Ev

Аналогично, нормально-упорядоченный сохраняющийся 4-х импул

d

3

p

2

pμ =∫

∑×

3

(2π)

α=1

(9.109)

×

m

p(α)b†

(p)b

(p)+

m

p(α)d

†

(p)d

(p)

.

E(

α)

(α)

E(α)

uμ (α)

(α)

vμ

(α)

u

v

375

Легко проверить, что оператор pμ генерирует пространственно-

временные трансляции: i pμ, ψ(x) = ∂μψ(x). Операторы рождения и уничтожения в терминах полей можно представить в виде

b(α) (p)= ∫d 3xeipu(α)xu (α) (p)γ0ψ(x),

(9.110)

d(†α) (p)= ∫d 3xe−ipv(α)xv (α) (p)γ0ψ(x).

Для вакуумного состояния 0 гильбертова пространства

b(α) (p)		0 = 0 , d(α) (p)		0 = 0 .	(9.111)

Действуя на вакуумное состояние 0 , операторы рождения b(†α) (p) и d(†α) (p) создают частицы и античастицы с 4-х импульсами pu(α)μ и pv(α)μ . Обычная 4-кратная вырожденность собствен-

ных состояний гамильтониана для заданного трехмерного импульса снимается за счет CPT-нарушающих членов.

Приведенные выше выражения можно использовать для получения результатов в полевой теории с ненулевыми значениями aμ

и bμ . Например, зависящее от времени коммутационное соотношение между сохраняющимися pμ и квантовыми операторами

M μν = ∫d 3x : J 0μν :	имеет вид		(		)
		= −g[λμ pν] − g λ0		a[μJ ν] + b[μJ ν]
i pλ, M μν						,	(9.112)
где J μ = ∫d 3x : jμ : и		J5μ = ∫d 3x : j5μ: –		интегралы от заряженных и

киральных токов.

Обобщения одновременных антикоммутационных соотношений (9.107) на неодинаковые времена должны быть решениями модифицированного уравнения Дирака по каждой переменной и должны давать в пределе aμ, bμ → 0 известный результат. Для этого

достаточно заменить (9.107) на следующие антикоммутационные соотношения

376

{ψ( x), ψ( x′)} = iS ( x − x′),

{ψ( x)

, ψ( x )}

={ψ( x), ψ( x

)} = 0,

′

′

где

d 4 p

e−ip( x−x )

S ( x − x′) = ∫

×

′

.

(2π)

4

pμγ

μ

− aμγ

μ

−bμ

γ5

γ

μ

C

− m

В этом выражении С – аналог замкнутого контура в p0

(9.113)

(9.114)

простран-

стве, который окружает все полюса и обходится против часовой стрелки.

Следует подчеркнуть, что антикоммутаторы (9.113) весьма существенны для причинной структуры квантовой теории. В частно-

сти, в случае b ≡ 0 антикоммутатор двух полей, разделенных про- странственно-подобным интервалом, обращается в ноль

{ α	β	′	}	′
			)		)	2	< 0 .	(9.115)
ψ ( x), ψ ( x				= 0, ( x − x

Это означает, что наблюдаемые величины, построенные на билинейных произведениях полевых операторов и разделенные пространственноподобным интервалом, коммутируют. Это, в свою очередь, означает, что в квантовой теории поля с времениподобным bμ микроскопическая причинность сохраняется во всех сис-

темах отсчета.

Обратимся теперь к полевой теории со взаимодействием. Предположим, что дираковский фермион взаимодействует с одним или более полями, и нас интересует влияние CPT-нарушающих членов. Существенно, что в этом случае применимы все стандартные предположения теории взаимодействующих полей. Например, свойство лоренц-инвариантности наблюдателя подразумевает квантование во всех системах отсчета, если оно проведено в одной системе. Как правило, анализ производится в заданной системе отсчета, т.е. при фиксированных значениях aμ и bμ .

377

9.7.6.Расширения стандартной модели, нарушающие CPT

В этом разделе рассматривается возможность обобщения стандартной модели путем добавления CPT-нарушающих членов в соответствии с предсказаниями, обсужденными выше.

Поскольку CPT-нарушение до сих пор не наблюдалось, любые CPT-нарушающие константы, возникающими в расширениях стандартной модели, должны быть малыми. В дальнейшем будем предполагать, что эти константы являются синглетами относительно ненарушенной калибровочной группы, но, как и раньше, ведущие себя относительно лоренц-преобразований частицы как тензоры с нечетным числом лоренцевских индексов.

Целью нашего рассмотрения будет построение реалистической модели CPT нарушения, которая могла бы быть основой для получения количественных оценок CPT-нарушения.

Обсуждение в предыдущих разделах ограничивает CPT-наруше- ние фермионными билинейными слагаемыми. Однако члены другого типа, нарушающие CPT в лагранжиане, могли бы возникать при спонтанном нарушении симметрии.

Любой член лагранжиана должен представлять из себя комбинацию из ковариантных производных и полей лептонов, кварков, калибровочных бозонов и хиггсовских бозонов. Для обеспечения перенормируемости на уровне ненарушенной калибровочной группы, ограничимся полевыми операторами с размерностью массы, меньшей четырех.

Начнем обсуждение с CPT-нарушающих расширений, включающих фермионы. Поскольку SU(3) инвариантность исключает кварк-лептонные связи, следует трактовать отдельно лептонные и кварковые сектора. Обратимся сначала к лептонному сектору. Обозначим левые и правые лептонные мультиплеты

				νA	,	RA = (		A )R ,	(9.116)
		LA =
				A
где	ψR ≡	1	(1+	γ5 )ψ ,		ψL ≡	1	(1− γ5 )ψ .	(9.117)
		2					2
						378

Как обычно, A = 1, 2, 3 обозначает лептонные ароматы: A = (e, μ, τ), νA = (νe , νμ, ντ ). Тогда наиболее общий набор CPT- нарушающих лептонных билинейных комбинаций, совместимый с калибровочной инвариантностью

LCPT

= −(a

)

γμL

−(a

)

γμR

.

(9.118)

L

μAB

L

A

B

R

μAB

R

A

B

лепт

Постоянные матрицы в пространстве ароматов aL,R – эрмитовы.

Присутствие фактора γμ допускает появление в лагранжиане по-

лей только определенной спиральности. При этом сохраняется калибровочная инвариантность. В этом отличие от обычных юкавских связей, в которых присутствуют поля обеих спиральностей, и инвариантность обеспечивается присутствием хиггсовского дублета.

После спонтанного нарушения симметрии массовые собственные состояния (обозначенные шляпками) строятся с помощью стандартных унитарных преобразований

νLA = (U Lν )AB νˆ LB ,			LA = (U L )AB ˆ LB ,				RA = (U R )AB ˆ RB. (9.119)
Тогда CPT-нарушающий член (9.118) принимаем вид
		CPT					μ ˆ
					ˆ
		Lлепт = −(aνL )		νLA γ			νLB −
				μAB							(9.120)
−(aˆ L )μAB ˆ LA γμˆ LB −(aˆ R )μAB									RA γμˆ RB ,
								ˆ
где каждая матрица aˆμ			получается из матрицы aμ путем унитарно-
го вращения aˆ	μ	=U †a U . При этом не все связи aˆ								μ	являются на-
		μ

блюдаемыми. Свобода в переопределении полей позволяет исключить некоторые связи. Рассмотрим, например, следующее переопределение полей

J LA = (VLν )AB νˆ LB , LA = (VL )AB LB , RA = (VR )AB RB , (9.121)

где матрицы V (xμ ) – унитарные в пространстве поколений и имеют следующую форму

379

V = exp(iHμxμ ) ,	(9.122)
Hμ – эрмитов.

Тогда в каждом кинетическом члене типа iψˆ γμ∂μψ , за счет пе-

реопределения (9.121), возникает CPT-нарушающий член

−ψγμ exp(iHλxλ )Hμ exp(−iH νxν )ψ .

Очевидно, что путем выбора выбора Hμ , можно исключить из (9.120) CPT-нарушающий член, содержащий aˆμ . Матрицы V долж-

ны быть подобраны так, чтобы они не влияли	на	юкавские
связи. Можно показать, что VL – диагональны	с	VR = VL и
VLν = (U L )† U LνVL .

Таким образом, опуская в обозначениях тильды и шляпки, получаем общий вид CPT-нарушающих расширений стандартной модели в лептонном секторе

LCPTлепт = −(aν )μAB νA				1	(1+ γ5 ) γμνB −
				2				(9.123)
−(a )μAB		Aγμ	B −(b )μAB				Aγ5γμ	B ,

где для замены левых и правых связей на векторные и аксиальные связи использованы определения (9.117).

Заметим, что выражение (9.123) содержит члены, нарушающие индивидуальные лептонные числа, при этом полное лептонное число остается неизменным. Таким образом, переходы с изменением аромата в принципе, существуют, но они ненаблюдаемы, если CPT-нарушающие связи в достаточной степени подавлены. Например, в струнных моделях ожидается подавление на уровне 10–17.

Обратимся теперь к кварковому сектору. SU(3) симметрия подразумевает, что все три кварковых цвета любого аромата должны иметь одинаковую CPT-нарушающую связь. Поэтому можно не рассматривать цветовое пространство и использовать конструкцию, аналогичную лептонному сектору.

Обозначим левые и правые компоненты кварковых полей

380