Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

dρ = −i[H , ρ]dt − 1	[D, [D, ρ]]dt +	1 [ρ, [ρ, D]]dW ,		(9.144)
8		2	t

где t – время, dWt – стохастический дифференциал, удовлетворяющий соотношениям:

dW 2	= dt ,	dtdW = 0 ,	(9.145)
t		t

которые эквивалентны условиям на «белый шум» .

Заметим, что в терминах векторов состояний ψ , первое слагаемое в (9.144) – шредингеровский гамильтониан −iH ψ, второе

же слагаемое представляет собой стохастический диффузионный член. В отличие от шредингеровского члена, диффузионный член неинвариантен относительно обращения времени t → −t и i → −i . Таким образом, в задаче, несмотря на сохранение «чистоты» состояний, присутствует необратимость времени.

Используя соотношения (9.143), (9.144), получаем стохастическое уравнение для декогерентности

dρ = −i[H , ρ]dt −	λ2	[H , [H , ρ]]dt +	λ	[ρ, [ρ, D]]dW	. (9.146)
8			2	t

Двойной коммутатор гамильтониана, совместно с условием (9.142) чистоты состояний, приводит к следующему порядку декогерентного слагаемого (полученному путем нахождения вакуумного среднего от двойного коммутатора в (9.146))

					λ2
	γ =	D[ρ]	= tr	ρ		[H , [H , ρ]] .	(9.147)
					8

Используя в качестве полного ортонормированного базиса собственные энергетические состояния m , получим для квадрата дисперсии энергии

γ =	λ2	( H )2 = H 2 − H 2 .	(9.148)
	8

В моделях декогерентности, обусловленных гравитацией, есте-

	ственно считать λ2	1	. В таких моделях оценка коэффициента
		MPl2
	декогерентности дает
			391

γ	( H )2 .	(9.149)
	MPl

Общая линдбладовская эволюция может быть сформулированная таким образом, что для получения феноменологических предсказаний нет необходимости в знании микроскопической динамики процесса декогерентности. Это так называемый «динамический полугрупповой подход к декогерентности». Временная необратимость в этом подходе связана с отсутствием обратного элемента соответствующей полугруппы.

Рассмотрим общий случай декогерентной эволюции N- уровневой системы, т.е. системы, чьи собственные энергетические состояния занимают N-мерное пространство. Пусть операторы декогерентности являются ограниченными и представляются N×N

матрицами, генерируемые базисом Fμ , μ = 0,1,…, N2 −1 со ска-

лярным произведением (Fμ, Fν ) = 12 δμν . В целях простоты будем

иметь дело N=2, 3-уровневыми системами. В этих случаях базис {Fμ} состоит из

1) трех 2×2 матриц Паули плюс единичная матрица I2 для случая N=2;

2) 3×3 матриц Галл-Манна Λi , I = 1,…, 8 плюс 3×3 единичная матрица I3 для N = 3 случая.

Матрицы Fμ удовлетворяют следующим коммутационным со-

отношениям
F , F = i		f	F , 1 ≤ i , k ≤ 8 ,	(9.150)
	i j	∑ ijk	k

k

где fijk – структурные константы группы SU(N).

Разлагая операторы D, а также эффективный гамильтониан и матрицу плотности по базису {Fμ} , получаем

H = ∑hμFμ, ρ = ∑ρμFμ,		Dj = ∑dμ( j)Fμ.	(9.151)
μ	μ	μ
	392

Используя эрмитовость D, которая подразумевает монотонный рост неймановской энтропии S = −trρln ρ , перепишем декогерент-

ный член D[ρ] в выражении (9.138) в виде

D[ρ]Lindblad = ∑LμνρμFν ,	(9.152)
μ, ν

где матрица Lμν – вещественная, симметричная и обладающая следующими свойствами

Lμ0	= L0μ = 0 , Lij =	1	∑ (dmdk )fiml fikj ,	(9.153)
		2 k,l,m

где dμ = dμ(1),…,dμ(N2 −1) .

Обращение в ноль первого столбца и первой строки матрицы Lμν связано с ростом энтропии. Если не использовать требование

сохранения (в среднем), то можно не предполагать коммутативности операторов с гамильтонианом, т.е. вообще говоря, Dj , H ≠ 0 .

Ниже будут рассмотрены примеры, в которых энергия не сохраняется из-за взаимодействий и флуктуаций метрики.

Уравнение эволюции (9.138) запишем в виде:

ρ = ∑hiρj fijμ + ∑Lμνρν, ν,μ = 0,…, N2 −1,		(9.154)
i, j	ν

где точка над ρ – производная по времени.

Сохранение вероятности trρ(t)=1 в любой момент времени оз-

начает, что дифференциальное уравнение для компоненты ρ0 становится независимым, т.е.

ρ0 (t )= const .

(9.155)

Остальные дифференциальные уравнения (9.154) можно переписать в виде

ρk = ∑	∑hi fijμ + Lkj		ρj =∑Mkjρj .	(9.156)
j	i		k

Обозначим через A матрицу, которая диагонализует матрицу M. Пусть {λ1,…, λN2 −1} – набор собственных значений матрицы M, а

393

ρ( x, x′, t) exp(−ND( x − x′)2 t ) ,

{v1,…, vN2 −1} – соответствующий набор ее собственных векторов. Тогда (ij) элементы матрицы A: Aij = (vi )j . Решение (9.156) можно представить в виде

ρi (t) = ∑eλkt Aik Akj−1ρ(0) j .	(9.157)
k, j

Таким образом, в динамическом полугрупповом подходе использование таких общих свойств, как монотонное возрастание энтропии, сохранение вероятности и т.д., позволяет свести проблему декогерентности к алгебраической проблеме определения собственных значений и собственных векторов конечномерных матриц.

Декогерентность, вообще говоря, приводит к распаду со временем t недиагональных элементов матрицы плотности открытых систем

(9.158)

где x, x′ – пространственные положения центра масс системы из N частиц, D – параметр декогерентности. Отметим зависимость экс-

поненты от квадрата разности ( x − x′)2 и числа частиц N, которая

подразумевает усиление декогерентности с ростом N ( x − x′)2 .

Таким образом, макроскопические тела (содержащие число Авогадро частиц) очень быстро переходят в декогерентное состояние.

В некоторых моделях декогерентности, особенно в тех, в которых «чистота» состояний сохраняется, можно ввести математический критерий для редукции вектора состояния. Прежде всего заметим, что временная эволюция (9.138) такой специфической системы может быть записана в терминах соответствующих векторов состояний ψ

dψ = −iH

dψ dt + ∑( D†j Dj −

1

D†j Dj −

2

j

ψ

(9.159)

1

†

ψ dt + ∑(Dj − Dj

)

−

2

Dj

Dj

ψ dW0;t ,

ψ

ψ

j

ψ

394

где dW0;t – стохастический дифференциал случайных переменных,

удовлетворяющий соотношению (9.149).

Редукцию вектора состояния или коллапс волновой функции можно продемонстрировать следующим образом. Сделаем предположение о том, что гамильтониан системы H можно представить в блокодиагональном виде в терминах каналов {k} , которые сущест-

вуют независимо от какого-либо «измерения» (т.е. взаимодействия с макроскопической измерительной аппаратурой). Если обозначить через Pk – проекционный оператор на канал k, то

[H , Pk ]= 0 .

(9.160)

Редукция вектора состояния происходит путем локализации ψ

на канале k за счет соотношений (9.159). Математической мерой локализации является квантовая дисперсная энтропия

		K = −∑ Pk		ψ ln Pk ψ ,							(9.161)
			k
которая имеет свойство монотонного убывания
	d	(MK )= −∑	1− Pk	ψ	∑		Pk Dj Pk	ψ		2 ≤ 0, ,	(9.162)
	dt		Pk ψ
		k			j

где M обозначает среднее по ансамблю теорий. Монотонное убывание (9.162) подразумевает локализацию вектора состояния в пространстве состояний за время, зависящее от деталей взаимодействия со средой, особенно от эффективных скоростей взаимодейст-

вия Rk = ∑		Pk Dj Pk ψ		2 .
j

9.8.5. Оценки величины эффектов нарушения CPT

К сожалению, величина нарушения CPT-эффектов зависит от используемой модели. Если связывать CPT-нарушение с квантовой

гравитацией, то следует учесть, что	G	1	, M	Pl	1019	ГэВ.
	N	MPl2
395

Поэтому CPT-нарушающие и эффекты декогерентности подавлены величиной E3MPl2 , где E – типичный масштаб энергий низ-

коэнергетического пробника.

Эти эффекты оказываются практически недетектируемы в нейтральных мезонах, но в экспериментах с осцилляциями нейтрино (если симметрия ароматов нарушена квантовой гравитацией), например, для нейтрино от γ-вспышек, они вполне могли бы наблюдаться.

Кроме того, учет петлевых поправок может привести к CPT- нарушающим эффектам порядка E2MPl . Это происходит в моде-

лях петлевой квантовой гравитации или в моделях некритических струн. Такие эффекты уже могли бы проявляться при имеющихся энергиях, большинство из них уже исключены текущими экспериментами.

С другой стороны, как уже обсуждалось выше, в некоторых мо-

делях декогерентности хотя и возникает подавление	1	, но па-
	MPl
раметр декогерентности γ зависит от разности энергий	E = E2 − E1

между двумя энергетическими состояниями, например, системы нейтральных каонов или двумя нейтральными состояниями в ие-

рархической модели нейтрино: γ ( E)2 . Такие эффекты вряд ли

MPl

детектируемы в обозримом будущем в осцилляционных экспериментах, несмотря на минимальный масштаб подавления.

9.9. Некоммутативные теории поля

Стандартная модель представляет собой успешную физическую теорию, способную объяснить практически все имеющиеся в настоящее время экспериментальные данные. Однако, будучи экспериментально успешной, стандартная модель содержит много теоретически неопределенных параметров. Очевидно стремление уменьшить число этих параметров путем рассмотрения расширенной стандартной модели.

396

Одной из таких возможностей является некоммутативная стандартная модель. Некоммутативное пространство-время может быть представлено так называемой плоскостью Мойяла, на которой опе-

раторы координат и сопряженных импульсов xμ , pν удовлетворяют соотношениям

xμ, xν		= iθ ,	θ	= −θ		νμ	,
		μν	μν					(9.163)
xμ, p			pμ, pν		=
		= i η ,						0.
	ν	μν

В этих соотношениях θμν – параметр некоммутативности (обычно

выбираемый как постоянный тензор) размерности (длина)2. Очевидно, что лоренц-симметрия нарушена, однако она должна прояв-

ляться при низких энергиях E2θ 1 (θ – безразмерный масштаб тензора θμν ). Далее следует определить теорию поля на некомму-

тативном пространстве-времени – некоммутативную теорию поля. Чтобы построить некоммутативную теорию поля, достаточно заменить обычное произведение полей в коммутативном действии мойяловским -произведением

( f g )(x)= eiθμν∂xμ f (x)g (x)x=y =

(9.164)

= f (x)g (x)+ 2i θμν∂μ f ∂νg + O(θ2 ).

Отметим только, что этот рецепт нельзя использовать для калибровочных теорий, основанных на других, нежели U*(n) симмет-

риях. Введение -произведения в действие приводит к нетривиальным последствиям в теории как на классическом, так и на квантовом уровне. На классическом уровне возникают ограничения на калибровочные теории: только некоммутативные U(n) калибровочные теории имеют простое некоммутативное расширение. Это утверждение не распространяется на некоммутативные SU(n) калибровочные теории. Представления U*(n) алгебры ограничиваются

nxn эрмитовыми матрицами. Кроме того, некоммутативность предполагает ограничения на фермионы и их заряды. Другим интересным следствием классических некоммутативных теорий является C- и CP-нарушения.

397

9.9.1.Спин-статистика и CPT-теорема в некоммутативной теории поля

Принцип Паули – соотношение между спином и статистикой – один из самых фундаментальных результатов в физике. Это соотношение определяет структуру материи и ее устойчивость. Оно с высокой степенью точности проверено экспериментально. В релятивистской квантовой теории поля связь между спином и статистикой основана на следующих предположениях:

а) вакуум – состояние с наименьшей энергией; б) физические величины (наблюдаемые) коммутируют друг с

другом в двух пространственно-временных точках, разделенных пространственно-временным интервалом.

в) метрика физического гильбертова пространства положительно определена. В этих условиях поля с полуцелым спином (фермионы) квантуются с помощью антикоммутационных соотношений, а поля с целым спином (бозоны) – посредством коммутационных соотношений.

Возможность нарушения соотношения между спином и статистикой в квантовой теории поля на некоммутативном пространст- ве-времени впервые предложена в работе M. Chaichian. Ниже будет показано, что такое нарушение происходит тогда (и только тогда), если пространственные и временные координаты не коммутируют. Покажем так же, что CPT теорема остается справедливой в теориях поля на некоммутативных пространствах, несмотря на то, что C, P, T симметрии оказываются нарушенными.

Обычно считается, что представление о пространстве-времени как о непрерывном многообразии нарушаются на очень малых

масштабах порядка планковской длины	L 1,6 10−33	см. Такая
	Pl

картина может возникать при определении структуры пространст- вена-времени, основанном на квантовомеханических и гравитационных представлениях. При определении пространственновременных точек со все большей точностью необходимы все большие плотности энергии-импульса. На этом пути может возникнуть черная дыра, препятствующая измерениям со все большей точностью. Аргументы в пользу некоммутативности возникают также в теориях струн с постоянным антисимметричным фоновым полем.

398

В низкоэнергетическом пределе этой теории возникает некоммутативная теория поля. Таким образом, классическая геометрическая концепция пространства-времени может оказаться неадекватной при описании физических явлений на очень малых расстояниях.

В квантовой теории поля операторный характер соотношения (9.163) подразумевает, что произведение любых двух полевых операторов φ(x)Φ(x) заменяется – произведением или Вейль-

Мойял произведением

φ(x)Φ(x). (9.164)

В этом случае физические наблюдаемые, являющиеся произведением нескольких полевых операторов, уже не будут локальными величинами, удовлетворяющими вышеупомянутому условию (б) и обеспечивающими выполнение теоремы о связи спина и статисти-

ки. Например, произведение : φ2 (x): для вещественного скалярного поля с массой m имеет некоммутативную версию : φ(x) φ(x):

и приводит к отличному от нуля одновременному коммутационному соотношению (ETCR):

[: φ(x) φ(x):, : φ(y) φ(y):]		x =y ≠ 0 ,		(9.165)
0			0

где : : обозначает нормальное упорядочение. В частности, поскольку вакуумные средние (9.165) равны нулю, матричный элемент между вакуумом и двухчастичным состоянием в d-мерном пространстве (для статистики Бозе-Эйнштейна)

0 : φ(x) φ(x):, : φ(y)

′

2i

1

−iP′x−iPy

−iPx−iP′y

φ(y)

:]

x0 =y0

P, P

= −

(2π)

2d

ωPωP′

(e

+e

)× (9.166)

dk

1 μν

1 μν

×

sin k (x − y) cos

θ kμPν

cos

θ

kμPν′

,

∫ω

2

2

k

где ω = k

= k 2 + m2

и k = (k ,…, k

d

).

k

0

1

Правая часть (9.166) отлична от нуля, если θ0i ≠ 0 . Это утверждение справедливо как для матричных элементов ETCR двух наблюдаемых, выраженных как любая степень бозонных полей φ(x),

φ(y) и их производных, так и для спинорных полей ψ(x), ψ(y) и

399

их производных (с антикоммутационным соотношением). Известно, однако, что в теориях с пространственно-временной некомму-

тативностью ( θ0i ≠ 0 ) нарушается унитарность, а также причинность на макроскопическом уровне. Действительно, в низкоэнергетическом пределе теории струн с постоянным антисимметричным

фоновым полем Bmk получается полевая теория с

-произведением, если θ0i = 0 . Если же θ0i ≠ 0 , то соответствующего предела не существует. Однако имеется исключение – теории

поля со светоподобной некоммутативностью θμνθμν = 0 , т.е.

θ0i = −θ1i , для которых свойство унитарности сохраняется. В этом случае микропричинность в смысле ETCR (9.166) нарушена. Например, если выбрать pμ = pμ′ (μ = 0,1, 2) и x − y ≡ z , то интеграл в

(9.166) вычисляется

I =

π cos(m

θp2

2 − θp2 −

z1

2 − θωp − θp1

−

z2

2 )

,

(9.167)

4

θp

2

−

θp −

z

2

2

−

θω

p

− θp −

z

2

2

2

2

1

1

2

с θ = θ0i (выбраны положительными) и для

0 < θp2 −

z1

< θp2 ,

(9.168)

0 < ω

θ−θp −

z

< θp

2 − θp −

z

2

;

p

или

1

2

2

2

1

0 <

z1

< θp2

,

(9.169)

θ(ωp − p1 − p2 )<

z2

<

θ(ωp − p1 ).

В этом случае выражение (9.167) не обращается в ноль, допуская тем самым нарушение соотношения между спином и статистикой.

9.9.2. CPT-теорема в некоммутативной теории поля

Попытаемся расширить CPT-теорему на некоммутативные теории поля. Но прежде обсудим общие свойства антиунитарных преобразований, включающих обращение времени и CPT. Антиуни-

400