Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

Q

=

uA

U

= (u

)

,

D

= (d

)

,

(9.124)

A

,

A

A

R

A

R

dA L

A

где A = 1, 2, 3

соответствуют кварковым ароматам: uA = (u, c, t) ,

d A = (d, s, b) . Тогда на уровне ненарушенной симметрии общие CPT-нарушающие связи в лагранжиане имеют вид

LCPTкварк = −(aQ )μAB QAγμQB −(aU )μAB UAγμUB −(aD )μAB DAγμDB . (9.125)

Как и раньше, матрицы aQ,U ,D в пространстве ароматов являются

эрмитовыми.

После спонтанного нарушения симметрии массовые собственные состояния получаются при стандартных унитарных преобразо-

ваниях:

= (Uu )

= (Uu )

u

LA

AB

uˆ

LB

,

u

RA

AB

uˆ

;

L

R

RB

(9.126)

d

ˆ

d

ˆ

dLA = (UL )

AB

dLB ,

dRA = (UR )

dRB.

AB

Тогда лагранжиан (9.125) можно представить в виде:

CPT

μ

μ

ˆ

ˆ

Lкварк = −(aˆuL )μAB uˆLAγ

uˆLB −(aˆdL )μAB dLAγ

dBL −

μ

ˆ

(9.127)

ˆ

μ

−(aˆuR )μAB uˆRAγ

uˆRB −(aˆdR )μAB dRAγ

dRB .

Как и в лептонном секторе,

каждая матрица aˆμ

получается путем

унитарного вращения матрицы aμ .

Переопределяя поля, можно исключить некоторые CPT- нарушения. Для этого достаточно переопределить поля следующим

образом:

= (V u )

= (V u )

u

LA

AB

uˆ

LB

,

u

RA

AB

uˆ

RB

,

L

R

(9.128)

d

ˆ

d

ˆ

,

dLA = (VL

)AB dLB ,

dRA = (VR

)AB dRB

где, как и раньше, матрицы V = exp(iHμxμ )

– унитарные в про-

странстве поколений. В этом случае инвариантность юкавских и связей, не зависящих от производных, включая смешивание Каб- бибо-Кобаяши-Маскава, требует введение матриц V, сокращающих

381

эффекты, связанные с умножением на фазовый фактор. Например, можно подобрать фазу так, чтобы выполнялось соотношение (auL )μ11 = (auR )μ11 . Эта процедура исключает CPT-нарушающую

векторную связь из u-кваркового сектора.

Снова опуская в обозначениях тильды и шляпки, получаем CPT- нарушающие расширения кваркового сектора стандартной модели

LCPT

= −(a

)

u

A

γμu

B

−(b

)

u

γ γμu

B

−

кварк

u

μAB

u

μAB

A 5

(9.129)

−(a

)

γμd

−

(b

)

γ γμd

.

d

A

B

d

B

d

μAB

d

μAB

A

5

причем (au )μ11=0 . Как и прежде, лагранжиан (9.125) содержит ма-

лые эффекты, связанные с переходами ароматов, которые ненаблюдаемы. Однако диагональные вклады могут быть детектированы в интерферометрических экспериментах по косвенному CPT нарушению в осцилляциях нейтральных псевдоскалярных p- мезонов (p = K, D, Bd или Bs). В этих экспериментах измеряется феноменологический параметр δp, пропорциональный разности между диагональными элементами эффективного гамильтониана, осуществляющего эволюцию в p − p системе.

Лагранжианы (9.123) и (9.127) представляют собой CPT- нарушающие рассмотрения фермионного сектора стандартной модели. Обсудим теперь CPT-нарушающие члены, не содержащие фермионов.

Единственный CPT-нарушающий член, содержащий хиггсовское поле и удовлетворяющий обсуждавшимся выше критериям, включает связь через производную

LCPT	= ikμφ†D φ+ э.с. ,	(9.130)
хиггс	μ

где kμ – CPT-нарушающий постоянный 4-х вектор, Dμ – ковариантная производная, φ – SU(2) -дублетное хиггсовское поле. Очевидно, что лагранжиан (9.130) характеризует вклад хиггс – Zμ0 сек-

тора модели. Независимо от CPT-сохраняющих, но нарушающих лоренц-симметрию вкладов в статический потенциал, лагранжиан (9.130) приводит к стабильным модификациям механизма нарушения симметрии.

382

Можно найти и CPT-нарушающие члены, удовлетворяющие сформированным выше критериям и содержащие только калибровочные поля

	CPT	κλμν		tr (GλGμν +			2		+
	Lкалибр = k3κε						3	GλGμGν
											(9.131)
	εκλμνtr W W +	2
+k			W W W			+k		εκλμνB B		+k	Bκ,
2κ	λ μν	3		λ μ ν		1κ		ν μν		0κ

где k3κ, k2κ, k1κ и k0κ – CPT-нарушающие константы. В (9.131) Gμ , Wμ , Bμ – матричные SU(3), SU(2), U(1) калибровочные бозоны, Gμν , Wμν , Bμν – соответствующие полевые напряженности. Пер-

вые три члена в (9.131) не влияют на характер нарушения симметрии. Можно ожидать, что эффекты CPT-нарушения будут ненаблюдаемыми при малых значениях CPT-нарушающих констант.

Выше мы рассмотрели спонтанное нарушение CPT в эффективной теории поля. При этом предполагалось, что действие исходной теории CPT и Пуанкаре – инвариантно, уравнения же движения приводят к решениям, обнаруживающим CPT и лоренц-нарушение. Эффективная низкоэнергетическая теория остается трансляционноинвариантной и ковариантной относительно изменения системы отсчета наблюдателя, но в ней нарушается CPT и ковариантность относительно сдвигов частицы. Мы ограничились членами в лагранжиане, содержащими CPT-нарушающие фермионные билинейные комбинации. Эти слагаемые в лагранжиане весьма важны с точки зрения получения экспериментальных ограничений на нарушение CPT в мезонной интерферометрии. Анализ модели дираковского фермиона показывает, что эффективные теории поля со спонтанным CPT-нарушением обладают желаемыми свойствами микроскопической причинности и перенормируемости.

9.8. CPT-нарушение и декогерентность

Теоретические модели, вне зависимости от того, насколько они детализированы и элегантны, становятся физическими теориями только тогда, когда их предсказания могут быть сопоставлены с экспериментом. Критические струны и другие подходы в кванто-

383

вой гравитации, содержащие все локальные симметрии классической общей теории относительности, пока не способны что-либо предсказать для низкоэнергетических теорий. Причина проста:

1

константа связи гравитации – ньютоновская константа GN 2

MPl

(в 4-х измерениях) очень мала. С учетом локальной лоренцсимметрии и общей ковариантности, величины, представляющие экспериментальный интерес (сечения и вероятности), характеризуются квантовыми поправками, которые пропорциональны некоторой степени тензора кривизны. Этот тензор имеет размерность квадрата импульса, т.е. физические величины будут подавлены, по крайней мере, квадратом планковской массы. Это приводит к тому, что детектирование эффектов квантовой гравитации становится практически невозможным. Таким образом, такого типа модели остаются математически согласованными моделями, но не физическими теориями.

С другой стороны, в последнее время становится все более популярной идея о том, что некоторые из фундаментальных симметрий классической общей и специальной теорий относительности (например, лоренц-симметрия, принцип эквивалентности) способны нарушаться в квантовой теории гравитации. Если это так, то вышеупомянутое подавление массой Планка могло бы модифицироваться таким образом, чтобы эффекты квантовой гравитации усиливались и оказались способными к детектированию.

Многие подходы к квантовой гравитации сходятся в одном: они нарушают CPT-теорему. Оказывается, нарушение дискретной CPT- пространственно-временной симметрии могут иметь важнейшие феноменологические следствия.

9.8.1. CPT-теорема и как ее можно обойти

Инвариантность плотности лагранжиана L(x) теории поля от-

носительно комбинированного преобразования CPT есть свойство любой квантовой теории поля в плоском пространстве-времени, если эта теория обладает

а) локальностью;

384

б) унитарностью; в) лоренц-инвариантностью.

Иначе говоря, если θ=CPT, то

θL(x)θ† = L(−x), L = L† .

(9.132)

В искривленном пространстве-времени, например, вблизи черных дыр, CPT-теорема несправедлива, при этом теряются свойства лоренц-инвариантности и унитарности. В моделях квантовой гравитации нарушаются условия (б) и (в), т.е. CPT-нарушена. Важно отметить, что на планковских масштабах пространство-время может быть дискретным и топологически нетривиальным. Следовательно, лоренц-инвариантность окажется нарушенной, т.е. будет нарушенной и CPT. Феноменологически нарушение лоренцинвариантности приводит к расширению стандартной модели, в которой нарушена как Лоренц, так и CPT-инвариантность.

Кроме того, возможно существование окружения из гравитационных степеней свободы, которые никак себя не проявляют при низких энергиях (нераспространяющиеся степени свободы). Это приводит к потере информации для «низкоэнергетического» наблюдателя, который, по определению, способен измерять посредством рассеяния лишь распространяющиеся степени свободы. В результате происходит потеря унитарности, CPT нарушается, причем независимо от нарушения лоренц-инвариантности. Потерю информации можно проиллюстрировать с помощью рис. 9.2.

Рис. 9.2

385

В пространстве-времени присутствуют сингулярные флуктуации (например, черные дыры), и это означает, что наблюдаемое про- странство-время является открытой системой.

Когда материальная частица проходит такую флуктуацию (со временем жизни ~10–43 с), часть квантовых чисел частицы «уходит» за горизонт. Таким образом, может происходить обмен информацией между «наблюдательным» миром и гравитационным окружением, состоящим из степеней свободы, которые никак себя не проявляют в экспериментах по рассеянию при низких энергиях. Потеря информации подразумевает эволюцию первоначально чистых квантовомеханических состояний в смешанные состояния.

В результате асимптотический наблюдатель вместо чистых состояний будет пользоваться матрицей плотности

ρ	= tr	out out		= $ρ $ ≠ SS†,	(9.133)
out	ненабл			in

где S = eiHt – обычная матрица рассеяния. Следовательно, в квантовой гравитации концепция матрицы рассеяния заменяется на матрицу суперрассеяния $, введенную Хоукингом. Эта матрица линейна, но необратима между in и out-состояниями. Именно она характеризует потерю унитарности в эффективной низкоэнергетической теории.

9.8.2. S-матрица и сильное CPT-нарушение

Согласно теории R. Wald, если $ = SS† , то CPT-симметрия нарушена в том смысле, что CPT-оператор не является определенным. Попытаемся доказать эту теорему. Предположим, что CPT – сохраняется, т.е. существует унитарный, обратимый CPT оператор: θρin = ρout . Поскольку матрица плотности действует на тензорное

произведение пространств между «ket» и «bra» векторами: ρ = ψ ψ, действие θ определяется схематически следующим об-

разом: Θ = θθ† , причем θ действует на состояние векторов ψ как

антиунитарный оператор θ† = −θ−1 .

Предполагая, что оператор Θ существует, получаем

386

ρout = $ρin → Θρin = $Θ−1ρout → ρin = Θ−1$Θ−1ρout .

Поскольку ρout = $ρin , то	= Θ−1$Θ−1$ρ .
ρ		(9.134)
in	in

Это соотношение подразумевает наличие обратного оператора

$−1 = Θ−1$Θ−1 .

(9.135)

Однако этого не может быть, поскольку при эволюции чистых состояний в смешанные информация теряется. Чтобы доказать формально это утверждение, заметим, что из выражения (9.135) следует

Θ = $Θ−1$ .

(9.136)

Рассмотрим матрицу плотности чистых состояний ρin = ININ , которая эволюционирует в матрицу плотности смешанных состояний $ρin . Как результат (9.136), смешанное состояние Θ−1$ρin должно эволюционировать в чистое состояние Θρin . Предполо-

жим, однако, что имеется out-состояние ψ, которое получено действием $ на IN матрицы плотности σ

$σ = ψ

ψ

,

(9.137)

где, как отмечалось выше, обозначает тензорное произведение гильбертовых пространств, «заселенных» ket- и bra-векторами. Можно разложить σ по ее собственным векторам φi , соответст-

вующим взвешенной суперпозиции состояний, представляющей смешанное состояние σ

σ = ∑ piφi φi ,	(9.138)
i

где pi – положительные числа, причем ∑ pi =1. Поскольку, по

i
определению, $ – линейное отображение, получаем
∑ pi $(φi φi ) = ψ ψ.	(9.139)
i

Выберем теперь OUT вектор состояния χ, ортогональный к ψ. Найдем среднее значение от (9.139) в состоянии χ

387

∑ pi χ		$(φi φi )		χ = 0 .	(9.140)
i

Каждое из слагаемых в выражении (9.140) – неотрицательное вследствие положительности pi и положительности матрицы

плотности $(φi φi ) . Поэтому из соотношения (9.140) получаем

χ		$(φi φi )		χ = 0	(9.141)
для всех i и всех χ, ортогональных ψ. Это означает, что
$(φi φi ) = ψ ψ					(9.142)

для всех i. Каждое начальное чистое состояние φi должно эволюционировать в то же самое конечное чистое состояние ψ. Тогда θ−1ψ должно эволюционировать в конечное состояние θφi для всех i. Но это невозможно, если существует более чем одно φi , т.е.

матрица плотности представляет смешанное состояние.

Таким образом, в случае, когда декогерентность подразумевает эволюцию чистого состояния в смешанные, CPT должно быть нарушенной в том смысле, что оператор θ не является вполне определенным оператором. Необратимость $ в этом случае неудивительна, она есть результат потери информации.

9.8.3. CPT-симметрия без CPT-симметрии?

Может ли нарушение CPT-симметрии быть экспериментально детектировано? Оказывается, что помимо «сильного» CPT- нарушения, связанного с декогерентностью и эволюцией чистых состояний в смешанные, возможна «мягкая» форма CPT- инвариантности, совместимая с необратимостью $. Основная идея «мягкой» формы CPT-инвариантности состоит в том, что несмотря на нарушение CPT в указанном выше смысле, можно определить асимптотически чистые in и out-состояния, которые CPT- преобразование переводит друг в друга. Иначе говоря, если даже в полной теории оператор Θ не определен, можно найти чистые состояния ψ HIN и φ HOUT в гильбертовых пространствах H in и

388

out-состояний, для которых имеет место следующее соотношение для вероятностей P:

P(ψ → φ) = P(θ−1φ → θψ) .

(9.143)

Если экспериментально измеряются только вероятности, то равенство (9.143) подразумевает, что «строгая» форма CPT – инвариантности экспериментально недетектируема.

Что касается матрицы суперрассеяния $, соотношение (9.143)

означает, что

(θ−1φ

−1φ)

φ

$(ψ ψ)

φ = θψ

$

θψ

(9.144)

θ

или эквивалентно,

$† = Θ−1$Θ−1 ,

(9.145)

если действие рассматривается на чисто асимптотических состояниях. Соотношение (9.145) совместимо с отсутствием обратного преобразования к $, коль скоро имеется полная CPT-инвариант-

ность, подразумевающая унитарность $, т.е. $† = $−1 .

9.8.4.Декогерентность и «чистота» состояний при эволюции

Полученный выше результат, касающийся «слабой» CPT- инвариантности, требует «чистоты» асимптотических состояний. Интересным подходом к обсуждению декогерентной эволюции открытых квантовомеханических систем является модель Линдблада, которая подразумевает положительность матрицы плотности ρ(t)

в любой момент времени и сохранение вероятности trρ = 1 . В этой модели эволюция открытых систем с гамильтонианом H и взаимодействие с окружающей средой посредством операторов Dj , D†j описывается как линейная эволюция матрицы ρ

ρ = i[ρ, H ] + DD[ρ], D[ρ] = ∑({ρ, D†j Dj} − 2DjρD†j ), (9.138)

j

где {…} обозначает антикоммутатор.

389

Гамильтониан H в (9.138) может содержать слагаемые, связывающие систему с окружающей средой, которые выражаются через коммутаторы от ρ, т.е. этот гамильтониан следует рассматривать как эффективный гамильтониан системы. Декогерентный же член D[ρ] не может быть выражен через коммутатор.

Для того, чтобы убедиться в сохранении энергии (в среднем) и в монотонном возрастании неймановской энтропии, введем самосопряженные операторы

D†j = Dj

(9.139)

и потребуем, чтобы эти операторы коммутировали для всех j с гамильтонианом

D	, H = 0 .	(9.140)
j

Тогда декогерентные слагаемые в (9.138) приобретают двойную коммутационную структуру

D[ρ]=	D	, D	, ρ .	(9.141)
	∑ j	j

j

Такой тип декогерентности приводит к эволюции чистого состояния в смешанное. Однако существует подкласс линдбадовской эволюции, для которого «чистота» векторов состояний сохраняется. Для этого необходимо, чтобы

ρ2 =ρ, trρ =1

(9.142)

при эволюции.

В таких моделях Dj = λj H , где λj , c – числовые константы. Без

потери общности можно учесть этот случай в сумме (9.141) для одного оператора D

D = λH , λ2 = ∑λ2j .	(9.143)
j

При таком типе декогерентности матрица плотности при эволюции сохраняет «чистоту» состояний и может быть записана в терминах стохастических дифференциальных уравнений для векторов состояний ψ (или матрицы плотности чистых состояний

ρ=( ψψ ))

390