Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

тарное преобразование будем обозначать через	, как обобщение
комплексного сопряжения
(Ψ , Φ )= (Φ, Ψ).	(9.170)

Преобразования векторов состояния соответствуют шредингеровской картине. Можно приписать то же самое преобразование операторам, соответствующим гейзенберговской картине

(Ψ , QΦ )= (Φ, Q Ψ).

(9.171)

Преобразование операторов удовлетворяет следующим соотношениям

(C1A +C2B)	= C1A +C2B ,		(линейность)			(9.172)
(AB)	= B A ,
где C1 и C2 – комплексные коэффициенты.
Предположим, что		(ε = ±1)
Q = εQ ,						`(9.173)
и Ψ – собственное состояние Q с собственным значением q
	QΨ = qΨ ,					(9.174)
тогда Ψ – тоже собственное состояние Q
	QΨ = εqΨ					(9.175)
В дальнейшем будем использовать символ только для CPT
преобразования. Рассмотрим, как действует CPT на локальные
элементарные поля. Пусть ψα , ψα		и φλ ,…, λ		n	– локальные элемен-
			1

тарные поля, представляющие собой спиноры и тензоры. Тогда действие на них преобразованием CPT определяется соотношениями

ψα (x)= (iγ5 )αβ ψβ			(−x), ψα (x)= ψβ (−x)(iγ5 )βα				,
φλ			= (−1)n φλ			(−x).	(9.176)
	λ	n		λ	n
1,	…,		1,	…,

Этот набор преобразований полностью определяет действие CPT на спинорные и тензорные индексы. Тогда CPT-теорема для локальной теорий поля формулируется следующим образом.

401

Пусть ψα , ψα и φλ2,…, λn – локальные, но составные поля,

представляющие собой спиноры и тензоры. Тогда они преобразуются точно также (9.176), как локальные элементарные поля.

Поясним значимость этой теоремы.

1) Рассмотрим локальные составные скалярные поля, у которых плотности свободных лагранжианов Lf и взаимодействия Lint , а

плотность гамильтониана взаимодействия Hint . Тогда

Lf (x)= Lf (−x), Lint (x)= Lint (−x), (9.177)

Hint (x)= Hint (−x).

Иногда последнее из соотношений (9.179) называют CPT-теоремой. Если асимптотические условия удовлетворены, CPT инвариант-

ность S-матрицы следует из соотношения

S = S .

(9.178)

2) Пусть Φλ – локальное составное векторное поле, тогда составное скалярное поле Φ = φλΦλ преобразуется как (9.177), а φλ –

как (9.176).

Таким образом,

Φλ (x)= −Φλ (−x).

(9.179)

В качестве примера локального составного векторного поля выберем плотность заряженного тока jλ (x), тогда сохраняющийся электрический заряд Q преобразуется следующим образом

Q = ∫d3x j0 (x)= −∫d3x j0 (−x)= −Q .

(9.180)

3) Вектор энергии-импульса PA можно представить как про-

странственный интеграл от тензора энергии-импульса второго ранга. Тогда получаем

P = Pλ .	(9.181)
λ

4) Генераторы преобразований Лоренца Mρσ выражаются через пространственные интегралы от тензора третьего ранга, поэтому

Mρσ = −Mρσ .	(9.182)
402

Это означает, что при CPT преобразовании спин меняет свое направление на противоположное.

CPT-теорема в некоммутативной КЭД обсуждалась в работе

[M. Sheikk-Jabbari, Phys. Rev. Lett. 84 (2000), 5265], где показано,

что CPT сохраняется случайно, несмотря на то, что преобразования зарядового сопряжения и обращения времени нарушены предположением о некоммутативности. Однако в этой работе рассмотрена лишь версия некоммутативной КЭД, в которой фотон связан только с чатицами с зарядами +1, –1 и 0. Покажем, что CPT теорема справедлива для любой некоммутативной теории поля, описанной в предыдущем разделе.

Пусть H (x) – вейль-мойяловское произведение полевых операторов, представляющих взаимодействующий гамильтониан в некоммутативной теории поля. При этом считаем, что H (x) в пред-

ставлении взаимодействия имеет вид нормального произведения. CPT-теорема подразумевает выполнение соотношения:

Hint (x)= Hint (−x).

(9.183)

Чтобы это доказать, выберем для H (x) n-линейную форму

H (x)= ∑			fi ,…, i		φ1i (x) … φin				(x)=
	i1,…,in		1	n	1			n
= eD ∑									(9.184)
	fi		φ1i	(x1 ) … φin		(xn )
		,…, i							,
i1,…,in	1	n	1		n			x1=…=xn =x

где i j с j = 1,…, n означают спинорные или тензорные индексы. Коэффициенты же fi1,..., in подобраны так, чтобы в локальном пре-

деле H (x) был скаляром относительно преобразований Лоренца. D – дифференциальный оператор вида

		i μν		x x	x	x	x	x
	D = exp		θ	(∂μ1∂ν2	+ ∂μ2	∂ν3	+…+ ∂μn−1	∂νn ))	(9.185)
		2

с произвольными θμν . Тогда CPT преобразование H (x):

403

H ( x) = eD ∑	fi ,…, i		φin	( xn )…φ1i ( x1 )					=
i1,…,in	1	n	n		1				x1=…=xn =x
								(9.186)
= eD ∑ fi′,…, i		φin (−xn )…φ1i			(−x1 )
								,
1	n	n		1			x1=…=xn =x
i1,…,in

где f ′ определяется выражением

fi′,…, i	= (−1)F 2 fi	,…, i .	(9.187)
1 n	1	n

Величина F – число фермионных полей, содержащихся в H ( x) .

Если изменить порядок сомножителей на обратный и вернуться к

(9.184), получим

H ( x) = eD ∑	fi	,…, i φ1i	(−x1 )…φin		(−xn )		=
i1,…,in	1	n 1		n			x1=…=xn =x
						(9.188)
= ∑ fi ,…, i φ1i (−x)			… φin
				(−x) = H (−x).
1	n	1	n
i1,…,in

Таким образом, CPT теорема справедлива не только в локальных теориях поля, но и в некоммутативных теориях поля.

Что касается преобразований C, P, T, то они оказываются нарушенными, и это можно обнаружить при сравнении с локальным (коммутативным) пределом рассматриваемой некоммутативной теории поля. В случае только пространственной некоммутативно-

сти ( θ0i = 0 ), четность некоммутативной теории поля точно такая же, как в коммутативном пределе. Действительно, преобразования C и T подразумевают комплексное сопряжение, изменяющее знак фазы в выражении (9.185).

В случае же пространственно-временной некоммутативной тео-

рии ( θ0i ≠ 0 ) (чей коммутативный предел C, P, T-инвариантен) все эти дискретные преобразования нарушены.

404

Глава 10

ПРОВЕРКА ЛОРЕНЦ- И CPT-ИНВАРИАНТНОСТИ В ФИЗИКЕ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ, АСТРОФИЗИКЕ И КОСМОЛОГИИ

10.1. Введение

Экспериментальные проверки лоренц-инвариантности становятся все более точными. Чтобы понять, насколько точными они должны быть, нужно исследовать лоренц-нарушающие члены к обычному лагранжиану. Эксперименты по проверке лоренцинвариантности дают верхние границы на коэффициенты при этих членах. Один из способов введения лоренц-нарушающих взаимодействий – изменить коэффициент при квадрате магнитного поля в лагранжиане квантовой электродинамики:

B2 → (1+ ε) B2 .

(10.1)

Среди других эффектов, (10.1) вызывает отличие скорости света

c, задаваемой соотношением c2 =1+ ε , от максимально допустимой скорости для материальных тел. Соотношения типа (10.1) называют лоренц-нарушающими возмущениями. Это возмущение трансляционно и вращательно инвариантно в той системе отсчета, в которой мы работаем (в «предпочтительной системе»), но это не так в любой другой системе отсчета. Если рассматривать физические явления в предпочтительной системе отсчета, в которой космическое микроволновое излучение изотропно, то в лабораторной системе должна появиться анизотропия. Прецизионные спектроскопические эксперименты, не обнаружившие таких анизотропий, дают

ограничение 1− c2 = ε < 6 10−22 . В недавней работе Коулмена и

Глэшоу показано, что если c <1, то более строгое ограничение можно получить в другом типе экспериментов. В этом случае заряженная частица, двигающаяся со скоростью, большей скорости света, интенсивно испускает фотоны. Таким образом, первичные протоны космического излучения не могут иметь энергии, боль-

405

	шей, чем	M	= M		ε		−1 2 , где M – масса протона. Поскольку пер-
		1−c2

вичные протоны с энергиями до 1020 эВ, наблюдаются, можно по-

лучить ограничение 1−c2 <10−23 , что почти на порядок величины более строгое ограничение, чем полученное из астрофизических данных.

Этот эффект, называемый вакуумным черенковским излучением, отсутствует при энергиях, ниже определенного значения и «резко включается» при достижении этой энергии. Однако это происходит не всегда, и рассматриваемый ниже пример подтверждает это.

Пусть ψ – набор из n комплексных скалярных полей, составляющих вектор-столбец. Если предположить инвариантность отно-

сительно группы U (1) : ψ → e−iλψ , то наиболее общий вид свободного лагранжиана этих полей:

L = ∂ ψ Z∂μψ −ψ M 2ψ ,	(10.2)
μ

где Z и M 2 – положительные эрмитовы матрицы. Всегда оказывается возможным осуществить линейные преобразования полей та-

ким образом, чтобы Z стала единичной матрицей, а M 2 – диагональной. При этом возникает стандартная теория n несвязанных свободных полей. Добавим к лагранжиану лоренц-нарушающий член

L → L +∂ ψδ∂iψ ,	(10.3)
i

где δ – эрмитова матрица. Если δ не коммутирует с M 2 , то нет способа выстроить определенным способом поля. Одночастичные собственные состояния энергии-импульса переходят от собствен-

ных значений M 2 при малых импульсах к собственным значениям δ при больших импульсах. В отличие от вакуумного черенковского излучения, этот эффект, называемый смешиванием скоростей, включается постепенно.

Наиболее отчетливо эффект «постепенности» появляется в системе, минимально связанной с электромагнетизмом. В этом случае мезон может распасться на мезон меньшей массы плюс фотон со

406

скоростью, пропорциональной кубу энергии. Аналогичный член в стандартной модели мог бы вызывать сверхзапрещенный распад

μ+ → e+ + γ и переход K+ → π+ + γ .

Этот пример показывает, что «высокие энергии» в этом отношении зависят от деталей рассматриваемой системы. Предположим,

для простоты, n = 2 и пусть M 2 = diag(M12 , M22 ) . Переход от соб-

ственных значений M 2 к собственным значениям δ происходит при энергиях ~ M12 − M22 ε12 . Для нейтральной каонной систе-

мы эта энергия на много порядков величины меньше характеристического вакуумного черенковского излучения.

Лоренц-нарушающие возмущения можно разделить на два класса в зависимости от того, являются ли они четными или нечетными относительно CPT-преобразований. Как будет показано ниже, для состояния с энергией E ожидаемые значения CPT-четных взаимо-

действий растут ~ E2 , а CPT-нечетные взаимодействия растут ~ E . Поскольку мы интересуемся эффектами очень слабых взаимодействий, которые могли бы быть детектируемыми при высоких энергиях, ограничимся CPT-четными взаимодействиями.

Попытаемся построить все CPT-четные лоренц-нарушающие вращательно-инвариантные возмущения для перенормируемой теории скаляров, спиноров и калибровочных бозонов. Покажем также, что матричные элементы этих взаимодействий растут с энергией быстрее, чем матричные элементы CPT-нечетных лоренцнарушающих взаимодействий. Сначала напомним хорошо известные свойства лоренцевской группы SO(3,1) . Объединим все поля

теории в один «большой» вектор Φ. Действие Λ – элемента группы SO(3,1) – на эти поля осуществляется унитарным оператором

U (Λ) в гильбертовом пространстве:
U (Λ)+ Φ( x)U (Λ) = D(Λ)Φ(Λ−1x),	(10.4)

где D(Λ) – некоторое конечномерное представление группы Лоренца.

407

Алгебра Ли группы SO(3,1) может быть записана как (комплексная) сумма двух коммутирующих операторов углового мо-

мента J(+) и J(−) . Неприводимое конечно-мерное представление группы можно обозначить двумя полуцелыми числами j+ и j− , и его размерность (2 j+ +1)(2 j− +1) . Иногда записывают поля, фор-

мирующие базис неприводимого представления, как Φm ,m , m± –
собственные значения Jz(±).			+	−
Величины	( j+, j− )	принимают значения	(0,0) для	скаляра;
(0,1 2) или	(1 2,0) для вейлевского спинора (в зависимости от
киральности); (1 2,1 2)		– для 4-вектора; (1,1)	– для симметричного

тензора с нулевым следом и прямая сумма (1,0) (0,1) – для антисимметричного тензора. Комплексно-сопряженный набор полей, преобразующихся как ( j+, j− ) , преобразуется как ( j−, j+ ) .

Для преобразования R(eθ) – вращения вокруг оси e	на угол θ
имеем:
D(R(eθ)) = exp −i(J(+) + J(−) )eθ .	(10.5)
Для B(eφ) – лоренцевского сдвига в направлении e	на величи-
ну быстроты y:
D(B(eθ)) = exp (J(+) − J(−) )ey .	(10.6)
Наконец, для антиунитарного CPT-оператора Ω:
Ω−1Φ(x)Ω = (−1)2 j+ Φ+ (−x) .	(10.7)

Как видно из соотношения (10.5), каждый вращательноинвариантный член L′ в лагранжиане должен принадлежать пред-

ставлению, для которого	j+ = j− = j . Элементарная теория углово-
го момента дает вид этого члена:
	j
L′ ~	∑ (−1)m Φm,−m .	(10.8)
	m=− j

Если состояние ψ сдвинуто в z-направлении на быстроту y, то ожидаемое значение L′ преобразуется следующим образом:

408

ψ		U	+			′	(0)U (B(ez y))				ψ ~
				(B(ez y)) L
											(10.9)
~ exp(			2 jy) ψ			Φj,− j (0)			ψ + O(e(2 j−2) y).

Таким образом, L′ растет с энергией как E2 j . Как будет вскоре

показано, наибольшее значение j, которое можно приписать операторам перенормируемого типа, равно j =1 – симметричному тен-

зору с нулевым следом, т.е. CPT-четной величине. Единственными вращательно-инвариантными возможностями являются j =12 – вектор, который CPT-нечетный и j = 0 – лоренц-инвариантный

скаляр.

Начнем рассмотрение только со скалярных полей. Без потери общности, их будем считать вещественными. Чтобы получить j =1, нам нужно иметь, по крайней мере, две операторных произ-

водных, а для перенормируемости нужно иметь не больше двух производных (и не больше двух скалярных полей). Таким образом, единственная возможность

1	∑∂iφaεab∂iφb ,	(10.10)
2 a,b

где εab – вещественная симметричная матрица, суммирование про-

водится по всем скалярным полям.

Обратимся теперь к спинорам. Будем считать фундаментальными полями набор из n (12,0) вейлевских спиноров ua , сопряжен-

ные поля (0,12) ua+. лоренц-инвариантные взаимодействия или

связывают два спинора одного типа, или же связывают спинор, сопряженный спинор и производную. Наиболее общий свободный лагранжиан имеет следующий вид:

L = u+i(∂0	−σ∂)Zu +	1 uT σyMu +	1 u+σyM +u ,	(10.11)
		2	2

где Z – эрмитова n×n матрица, а M – комплексная симметричная матрица. Всегда можно осуществить линейное преобразование, при котором Z становится единичной матрицей, а M – вещественной, положительной и диагональной. Таким образом, мы имеем свобод-

409

ную теорию из n частиц со спином 12 , каждая из которых совпа-

дает со своей античастицей.

Единственный способ построения перенормируемого взаимодействия с j =1 – связать вместе спинор, сопряженный спинор и

производную:

1	∑iεabua+σ∂ub ,	(10.12)
2 a,b

где εab – эрмитова матрица.

В простом частном случае два (12,0) вейлевских спинора несут противоположные заряды относительно U (1) внутренней

группы симметрии. Тогда один вейлевский спинор и сопряженный спинор могут объединиться в дираковский биспинор, и наиболее общим свободным лагранжианом будет стандартный дираковский лагранжиан, а наиболее общее j =1 взаимодействие будет иметь

вид

1	ψi∂γ[ε+ (1+ γ5 ) + ε− (1− γ5 )]ψ ,	(10.13)
4

где ε± – вещественные числа.

Теперь рассмотрим калибровочные бозоны. Связь калибровочных бозонов со скалярами и спинорами полностью определяется калибровочной инвариантностью, поэтому нужно обсудить только самовзаимодействие калибровочного поля. Начнем с единственного абелева калибровочного поля и выразим его в терминах элек-

трического и магнитного поля: E	i	= F	0i	,	i	=	1	ijk
					B		2	ε	Fjk . Из этих ве-

личин можно создать три независимых вращательных инварианта

перенормируемого типа: E2 − B2, E B и B2. Отметим, что первые два обладают лоренц-инвариантностью.

Как известно, локально калибровочная группа является произведением простых и абелевых факторов. Калибровочная инвариантность подавляет перекрестные члены между калибровочными полями, относящимися к различным простым факторам. Поэтому для каждого простого фактора имеем одно взаимодействие вида

410