Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

∑Ba Ba , где суммирование производится по генераторам одного

a

фактора. Для абелевых факторов имеются перекрестные члены, но их можно исключить ортогональным преобразованием абелевых

генераторов, т. е. опять получаем по одному B2 члену на каждый фактор.

В качестве примера построим j =1 взаимодействия в стандартной модели с тремя поколениями кварков и лептонов. Имеется не-

сколько членов в бозонном секторе модели: один B2 для каждого фактора калибровочной группы и один член, смешивающий скорости для хиггсовского дублета. Таким образом, всего четыре вещественных параметра.

Число параметров гораздо больше в фермионном секторе модели. Каждое семейство спинорных полей преобразуется как прямая сумма пяти неэквивалентных неприводимых представлений калибровочной группы SU (3)×SU (2)×U (1) . Калибровочная инвари-

антность исключает перекрестные члены между различными неприводимыми представлениями, но не между семействами. Таким образом, имеется пять 3×3 эрмитовых матриц, смешивающих скорости типа (10.12), и дополнительно 45 вещественных параметров.

Небольшого сокращения числа параметров можно достичь за счет переопределения полей. Можно изменить масштаб пространственных координат, оставив временную координату неизменной,

т.е. исключить один из B2 -членов. Заметим, что минимальная стандартная модель сохраняет каждый лептонный аромат. Поэтому можно домножить лептонные поля на фазовый фактор, зависящий только от аромата, и добиться, чтобы два недиагональных элемента в одной из лептонных матриц, смешивающих скорости, оказались вещественными. При этом лоренц-инвариантность лагранжиана сохраняется.

Таким образом, стандартная модель содержит 4 + 45 −3 = 46 независимых лоренц-нарушающих (но CPT-сохраняющих) параметров.

При нашем построении мы использовали калибровочную инвариантность, но это была калибровочная инвариантность классиче-

411

ского лагранжиана. Останется ли калибровочная инвариантность в квантовой теории? Иначе говоря, известно, что аномалии сокращаются в стандартной модели, но сокращаются ли они в присутствии 46 неинвариантных членов? Покажем, что это действительно так. Будем основываться на классическом анализе аномалий в ло- ренц-инвариантных неабелевых калибровочных теориях. На этом пути следует показать, что теория свободна от аномалий (во всех порядках теории возмущений), если соответствующая теория безмассовых спиноров, связанная с внешними C-числовыми калибровочными теориями, свободна от аномалии. Если свести все спинорные поля к вектор-столбцу u, то лагранжиан такой теории запишется в виде:

iu+ (D0 −σD)u ,	(10.14)
где ковариантная производная Dμ определена как	Dμ = ∂μ + Aμ ,

Aμ – матричное поле, состоящее из калибровочных полей с ассо-

циированными с ними матрицами связей. Если обычным образом определить калибровочное преобразование полей:

δu = δωu ; δA	= δω, A		− ∂ δω ,	(10.15)
μ		μ	μ

где δω – бесконечномалое калибровочное преобразование, то теория с лагранжианом (10.14) может оказаться калибровочноинвариантной. Однако это не всегда так. Вычисление регуляризованного производящего функционала W ( A) связанных функций

Грина дает:

δW = −

1

tr

∫

d

4xεμνλσδωF F

,

(10.16)

32π2

μν λσ

где

F

= ∂

A −∂

A + A , A

. Только если

выражение

(10.16)

μν

μ ν

ν μ

μ

ν

обращается в ноль (аномалия), теория действительно калибровоч- но-инвариантна. Проекционные операторы на неприводимые представления калибровочной группы коммутируют с δω и Fμν , т. е.

удобный способ вычислить след – просуммировать вклады по неприводимым мультиплетам. В стандартной модели такая сумма обращается в ноль. Мы хотели бы расширить теорию, включив ло-

412

ренц-нарушающее взаимодействие (10.12), т. е. заменить (10.14) на следующее выражение:

	+	0			1
iu	D		− 1	−		α	σD u ,	(10.17)
					2

где α – эрмитова матрица, действующая только на индексы ароматов. Эта замена изменяет поведение спинорного пропагатора при больших импульсах, поэтому нужно изменить процедуру регуляризации. Если в качестве регуляторов используются массивные поля, члены с производными в лагранжиане должны иметь вид (10.17), а

не (10.14).

Нам нужно просуммировать по неприводимым мультиплетам, которые можно выбрать собственными пространствами α. В каждом собственном пространстве лагранжиан будет иметь вид (10.17), где α – число. Введем новые переменные (обозначенные штрихами):

	x = 1	−		1 α x′,				x	= x′		;
				2				0		0
											(10.18)
	A′ = 1				1	α
			−				A,	A′		= A .
				2					0		0

В этих переменных член с α исчезает из лагранжиана (а также из процедуры регуляризации). Вклад каждого мультиплета в аномалию тот же самый, как и при нулевых ε, за исключением нештрихованных переменных, замененных на штрихованные. Эта замена не влияет на (10.16), поскольку это выражение инвариантно относительно общих координатных преобразований. Таким образом, вклады неприводимых мультиплетов не зависят от α. Если они сокращаются при нулевых α, то они сокращаются и для других α.

Свойства частиц, соответствующих свободным полям, тривиально следуют из лагранжиана. Ситуация труднее со взаимодействующими полями. Для простоты обсудим связь энергии и импульса для одного вещественного скалярного поля с ренормированной массой m. Если теория лоренц-инвариантна, то обратный ренорми-

рованный пропагатор имеет следующий вид
−iD−1 = ( p2 − m2 )A( p2 )	(10.19)
413

для некоторой функции A. Считаем, что поля нормированы так, что A(m2 ) =1. Добавим теперь в теорию лоренц-нарушающее взаимо-

действие с некоторым малым коэффициентом ε, как в выражении (10.10). Начнем с линейного приближения, оставив члены только первого порядка по ε. Позже будет обсуждаться оправданность

этого приближения. Добавка к D−1 должна преобразовываться как 00-компонента симметричного тензора с нулевым следом. Единст-

венная возможность – умножение на 4 p0 p0 − g00 p2 = 4 p2 + 3p2 .

Член с p2 можно отнести к A, поэтому соотношение (10.19) принимает вид:

−iD−1 = ( p2 − m2 ) A( p2 )+ εp2B( p2 ),	(10.20)
где B – некоторая функция. Удобно нормировать лоренц-
нарушающее взаимодействие так, чтобы B(m2 ) =1. В первом по-
рядке по ε сдвиг нулей D−1 составляет:
p2 = E2 − p2 = m2 + εp2 .	(10.21)

Соотношение между энергией и импульсом можно переписать в более привычной форме E2 = p2c2 + m2c4 , где c – максимально допустимая скорость и mc2 – энергия покоя частицы. Напомним, что c2 была изменена на фактор 1+ ε, а m2 – подавлена фактором (1+ ε)2 . Конечно, очень малый сдвиг массы не представляет экспе-

риментального интереса, но это не так для сдвига в c2 , как это обсуждалось выше. Резкие эффекты «включаются», когда безразмер-

ный параметр ε p2 становится порядка единицы. Постепенные же m2

эффекты (как μ+ → e+ + γ ) и энергии, им соответствующие, могут

быть на много порядков меньше.

Даже для «постепенных» эффектов E очень большая, и резонно спросить, не изменит ли новая лоренц-инвариантная физика наших предсказаний при высоких энергиях? Соотношение (10.21) показы-

414

вает, что это не так. Даже для больших E p2 остается O(m2 ), и

возможная «новая физика» несущественна.

В каких пределах можно доверять линейному приближению? Определенно можно доверять в свободной теории, где оно точное. Ему можно доверять в случае лептонов и электрослабых калибровочных бозонов. Для этих частиц все константы связи – малые, радиационные поправки также малы, а все пропагаторы близки к пропагаторам свободной теории поля.

Сложнее обстоит дело с адронами. Детальное исследование КХД с лоренц-инвариантными членами здесь не рассматривается, но мы приведем один простой пример, несколько проясняющий ситуацию. Выберем лагранжиан КХД и переопределим пространственные координаты (как в (10.18)), но оставим неизменной временную координату. В новых координатах, казалось бы, мы должны получить неинвариантную теорию, но на самом деле единст-

венное, что происходит – p2 в соотношении (10.19) заменяется на p2 −εp2 . Таким образом, разложение по степеням ε фактически является разложением по степеням εp2 Λ2 , Λ – массовый масштаб КХД. Поскольку типичные адронные массы ~ O(Λ) , то для «по-

степенных» эффектов линейное приближение – очень хорошее, для «резких» же эффектов – довольно грубое.

Перейдем теперь к конкретным проявлениям нарушения ло- ренц-инвариантности.

10.2.Кинематика распадов частиц в лоренц-неинвариантных теориях

Проанализируем распад частиц на n других частиц в лоренцнеинвариантных теориях. Сделаем три упрощающих предположения: 1) все частицы – бесспиновые. Обобщение на спин 12 оче-

видно, и оно не влияет на обсуждение; 2) справедливо линейное приближение; 3) матричными элементами нарушающего инвариантность возмущения между двумя частицами с разными массами можно пренебречь.

415

Emin

E0 ≥ Emin ( p0 ) ,

Таким образом, мы имеем набор частиц, каждая из которых удовлетворяет соотношению между энергией и импульсом типа (10.21). Иначе говоря, a-я частица имеет, помимо собственно массы

ma , свою собственную максимально достижимую скорость («соб-

ственную скорость света») ca	и удовлетворяет соотношению:
E2 = p2c2 + m2c4 .			(10.22)
a	a a	a a
Будем относить значение	a = 0	к распадающейся	частице,

a =1,...,n – к продуктам распада. Распад будет кинематически допустимым, если распадные частицы будут иметь полный импульс p0 , а полную энергию −E0 . Пусть Emin ( p0 ) – минимальная полная

энергия продуктов распада для заданного полного импульса p0 . Распад возможен, если

(10.23)

поскольку при Emin < E0 можно получить равенство, добавив про-

тивоположные поперечные компоненты для двух импульсов в распаде. Если исключить поперечные компоненты всех распадных импульсов, то мы понизим энергию конечного состояния без изменения полного импульса. Таким образом, в конфигурации с минимальной полной энергией все импульсы коллинеарны. Мы используем этот факт для упрощения анализа и заменим pa на pa – про-

дольную (отличную от нуля) компоненту pa .

не должна изменяться при вариации распадных импульсов, оставляющей их сумму неизменной. Вводя множитель лагранжиа-

на u, мы должны добиться того, чтобы выражение
∑Ea −u (∑ pa − p0 )	(10.24)

было стационарным (суммируется по всем продуктам распада). Дифференцируя (10.24) по pa , находим

u =	dEa	= v	,	(10.25)
		a
	dpa

где va – скорость a-й частицы. Таким образом, все частицы двигаются с общей скоростью u. Кроме того, соотношение

416

dEmin = u∑dpa = udp0

(10.26)

показывает, что u = dEmin . dp0

Рассмотрим теперь пределы малых и больших p0 . Для p0 = 0

конфигурация с минимальной энергией соответствует случаю, когда все распадные импульсы равны нулю. Распад допустим тогда (и только тогда), когда

m0c02 ≥ ∑maca2 .

(10.27)

Конечно, физика «почти» лоренц-инвариантна, т. е. ca могут отличаться очень мало.

Для очень большого p0 u должна быть ультрарелятивистской, т. е. можно аппроксимировать Ea как ca pa . Энергия будет мини-

мальной, если приписать импульсам частицы наименьшее c. В этом пределе распад допустим, если

c	> min c	(10.28)
0	a≠0 a

и подавлен, если c0 < min ca .

Уравнения (10.27) и (10.28) являются независимыми. Распад при высоких энергиях допустим или подавлен независимо от того, допустим или подавлен он при низких энергиях. Что может происходить при промежуточных энергиях?

Начнем отвечать на этот вопрос сначала в предположении, что все продукты распада имеют ненулевые массы, а затем включим в анализ и безмассовые частицы. Перепишем условие для допустимости распада E0 ≥ Emin :

			m2c4		≥ E2	( p	) −c2 p2	≡ Y ( p ) .		(10.29)
0 0					min	0	0 0	0
Нужно доказать, что каждая стационарная точка Y является ло-
кальным минимумом. Дифференцирование (10.29) дает:
	1		dY	= Eminu −c02 p0 = ∑(ca2 −c02 ) pa ,						(10.30)
	2 dp0
где на последнем шаге использовано соотношение									E	= c2 p u .
									a	a a

Производная обращается в ноль в стационарной точке, поэтому, по крайней мере, один член суммы должен быть отрицательным,

417

c

> min c

. Заметим, что это условие совпадает с (10.28) – услови-

0

a≠0 a

ем допустимости распада при высокой энергии.

Дифференцируя еще раз, получаем

1 d2Y

du

2

2

dp

du

2

2

p c2

a

a

a

2 d

2

p0

=

dp0

∑(ca

− c0 )

=

∑(ca

− c0 )

2

−u

2

)

. (10.31)

du dp0

u (ca

В стационарной точке можно использовать (10.30) и переписать вторую производную в виде:

1d2Y

2d2 p0

du

2

2

p

c2

c2

a

a

0

=

∑(ca

−c0 )

−

=

dp

u

c2

−u2

c2

−u2

0

a

0

du

pa (c22 − c02)2

(10.32)

= −u

∑

.

dp0

(ca2 −u2)(c02 −u2)

Если p0 монотонно возрастает от нуля до бесконечности, u мо-

нотонно возрастает от нуля до min c . Таким образом, du – по-

	a
		dp0
	ложительна, как и факторы (ca2 −u2) и (c02 −u2) . Этим и заканчива-

ется доказательство.

Поскольку каждая стационарная точка Y является локальным максимумом, Y может иметь, по крайней мере, одну стационарную точку. Если Y не имеет стационарных точек, она будет монотонной

функцией p0 и может пересечь m02c04 по крайней мере один раз.

Это приводит к следующим четырем возможностям: 1) распад допустим при всех энергиях; 2) распад подавлен при всех энергиях; 3) распад допустим при всех энергиях, ниже определенной энергии и подавлен при больших энергиях; 4) распад подавлен для всех энергий, ниже определенной энергии, и допустим при больших энергиях.

Если Y имеет одну стационарную точку, то пересечение с m02c4

может происходить дважды – в первом случае снизу, и во втором случае – сверху. Это добавляет еще одну возможность: 5) распад подавлен для определенной полосы энергий, но разрешен для всех энергий выше и ниже этой полосы. Других возможностей нет.

418

Приведенные выше аргументы нарушаются, если среди продуктов распада есть безмассовые частицы. Например, нельзя записать энергию и импульс как функцию скорости. Покажем, однако, что и в этом случае заключения остаются неизменными.

Если среди продуктов распада имеется более чем одна безмассовая частица, то можно понизить Emin , придавая всем импульсам,

переносимым безмассовыми частицами, значения, соответствующие минимальным c. Поэтому без потери общности ограничимся случаем, когда имеется только одна безмассовая частица, которой припишем значение a =1.

Рассмотрим конфигурацию с фиксированным p1 , а оставшиеся импульсы p0 − p1 распределены среди массивных частиц так, что-

бы минимизировать их полную энергию. Полная энергия этой конфигурации:

				′	(10.33)
	E′	E = c1 p1 + Emin (p0 − p1) ,
где		– минимальная энергия массивных частиц. Тогда
	min		dE
				= c1 −u′(p0 − p1),	(10.34)
			dp1

где u′ – общая скорость массивных частиц, это монотонно возрастающая функция их полного импульса. Можно выделить два случая: 1) u′(p0) < c1 , т. е. E – монотонно возрастающая функция p1 и

Emin = Emin′ (p0) . Безмассовая частица не несет импульса, поэтому анализ точно такой же, как и в массивном случае; 2) u′(p0) > c1 . Это возможно, если

c < min c ,		(10.35)
1	a≠1 a

иначе u′ не может достигать c1 . В этом случае при возрастании p1 понижается E до тех пор, пока u′ не достигает c1 . При этом

′	′	′	(10.36)
Emin = c1 (p0 − p0) + Emin (p0) ,

где p0′ определяется соотношением u′(p0′) = c1 . Этот анализ производится так же, как и в массивном случае, однако возникает отли-

чие при вычислении	d2Y	.
	d2 p
	0
	419

Так как p1 зависит только от p0							, то
	1 d2Y			= (c12	−c02)	dp	= (c12 − c02)c1 < 0 ,
						1		(10.37)
	2		d2 p			dp
0					0

согласно соотношениям (10.28) и (10.35). Как и в случае массивных распадных продуктов, каждая стационарная точка Y является локальным максимумом.

Исследуем теперь эффекты CPT-сохраняющих отклонений от лоренц-инвариантности в поведении ультрарелятивистских частиц.

10.3.Проверка лоренц-инвариантность и условие стабильности фотона

Предположим, что скорость света превышает максимально допустимую (МД) скорость электронов: cγ > ce . Как показано Cole-

man и Glashow, фотоны определенной энергии оказываются нестабильными. В частности, распад

γ → e+ + e−

(10.38)

становится допустимым, когда энергия фотона превышает значе-

ние	2m	δ	γe	, где δ	γe	≡ c2	−c2	. Скорость распада фотонов выше
	e					γ	e
этого порога составляет Γ							1 αδ		E . Поскольку фотоны в косми-
						ee	2	γe

ческих лучах присутствуют вплоть до энергий в 20 ТэВ, получаем ограничение cγ −ce <10−15 . Более строгие ограничения на наруше-

ние лоренц-инвариантности можно было бы получить из стабильности фотона по отношению к распаду на два нейтрино. В этом процессе пороговая энергия зависит от массы нейтрино. Эта мода распада подавлена в стандартной модели, в которой нейтрино не обладают ни массой, ни магнитными моментами. Однако обнаруженные экспериментально нейтринные осцилляции свидетельствуют о наличии у нейтрино масс. Физика вне стандартной модели, «ответственная» за нейтринные массы, могла бы за счет петлевых вкладов формировать магнитные моменты нейтрино и сделать воз-

420