Емелянов Фундаменталные симметрии 2008

можными распады γ → ν + ν′ и γ → ν + ν′ ( ν и ν′ – нейтрино с

различной киральностью).

Скорость распада фотона с энергией E, превышающей порог, Γνν′ λ2μ2Bδ2γeE3 , где магнитный момент нейтрино −λμB , причем

μ	B	=	e	(магнетон Бора). Предположим, что c	= c	и
			2me	ν	ν′

δγν = cγ2 −cν2 . Поскольку магнитное взаимодействие имеет размерность пять (а не четыре, как электрическое), Γνν′ – квадратично по δγν . Отсюда получаем, что даже для экспериментального верхнего

предела на магнитный момент нейтрино λ = 2 10−10 , интервал энергий фотонов – космологический, и никаких строгих ограничений на величину cγ −cν получить не удается.

10.4.Проверка лоренц-инвариантности в радиационных распадах мюона

Распадная мода μ → e + γ часто исследуется экспериментально,

но пока не наблюдалась. Это и не удивительно: она подавлена в минимальной стандартной модели. Однако лоренц-нарушающие возмущения, которые недиагональны по ароматам, могли повысить симметрию, обычно препятствующую радиационному распаду.

Напомним, что при низких энергиях скорость собственных состояний лептонов высоких энергий, вообще говоря, не совпадает со скоростью их собственных массовых состояний. Для простоты в последующем рассмотрении пренебрежем возможным смешиванием электронов и мюонов с τ-лептоном. Соответствующая часть лагранжиана в выделенной системе отсчета имеет вид:

(μe)γ(p −eA){cR	1	(1+ γ5) + cL	1	(1− γ5)} μ	,	(10.39)
	2		2	e

где μ и e – поля, которые соответствуют собственным массовым состояниям. Матрицы cL , cR можно выразить через угол смеши-

421

вания θα (они были бы единичными матрицами, если бы лоренцсимметрия не была нарушена):

c ≡	1	2ca + δca cos 2θa		δca sin 2θa		,	(10.40)
a	2		δca sin 2θa
				2ca −δca cos 2θa
где a = L, R . Угол смешивания θL				определяет скорость собствен-

ных состояний левых лептонов (или правых антилептонов), чьи максимально допустимые скорости cL ± 12 δcL . Аналогично, θR оп-

ределяет скорости собственных состояний правых лептонов (или левых антилептонов), чьи МД отличаются на δcR . Все четыре мак-

симальные скорости очень близки к cγ – скорости света в вакууме.

Электрослабая калибровочная инвариантность подразумевает, что матрица cL входит в кинетическую энергию, как нейтрино, так

и заряженных лептонов.

Для последующего анализа удобно определить малые параметры:

ε2	≡		δc sin 2θ			2	, a = L, R .	(10.41)
a			a	a

Слагаемое в (10.39), изменяющее аромат:

12 (εR +εR )μγ(p −eA)e + 12 (εR −εR )μγ(p −eA)γ5e + э.с. (10.42)

вызывает распад μ → e + γ . Как будет видно, зависящая от спи-

ральности скорость распада ~ αε2aM γ3 , где M – масса мюона, γ –

лоренц-фактор в выделенной системе отсчета. Эта скорость распада растет как куб энергии мюона. Таким образом, лоренцнарушения с изменением аромата при достаточно больших энергиях мюона могут вызывать распад μ → e + γ . Скорость радиацион-

ного распада мюона определяется энергией мюона и величиной лоренц-нарушающих параметров. С другой стороны, это электромагнитный эффект первого порядка, а не слабый распад. Его брен-

чинг B ~ αε2aγ4M τ0 , где τ0 – время жизни покоящегося мюона.

Отклонения от лоренц-инвариантности также модифицируют скорости распадов π → μ + ν , μ → e + ν + ν , но это процессы сла-

422

бого взаимодействия. Они не включают огромный фактор усиления

αM τ 2.6 1015	, который появляется в бренчинге для радиацион-
0

ного распада мюона. В этом-то и состоит причина, почему для исследования лоренц-инвариантности и поиска аномалий во времени жизни мюонов используются сверхвысокие энергии.

Взаимодействие (10.42) определяет скорость радиационного распада мюона в первом порядке. Учет следующих порядков приводит к следующему выражению для бренчинга покоящегося мюо-

на:
B = αM4	τ0 (ε2L + ε2R ) 6.4 1014 (ε2L + ε2R ) .	(10.43)

Имеющееся экспериментальное ограничение B < 4.9 10−11 дает возможность получить верхний предел на лоренц-нарушающий параметр:

ε2L + ε2R < 8 10−26

(10.44)

для покоящегося мюона.

Бренчинг лоренц-нарушающего радиационного распада мюона – быстро растущая функция энергии. Прямое исследование вряд ли возможно. Тем не менее, можно попытаться детектировать эту моду по ее влиянию на время жизни мюона, которое для ультраре-

лятивистских левых μ− (или правых μ+) :

τL (γ) =		γτ				αM τ	(68ε2R + ε2L ),
		0		,	bL =	30 0		(10.45)
		1+b	γ4
		L
а для ультрарелятивистских правых μ− (или левых μ+ ):
τR (γ) =		γτ				αM τ	(68ε2L + ε2R ) .
	0			,	bR =	30 0		(10.46)
	1+b		γ4
		R

При достаточно высокой энергии время жизни мюонов любой спиральности уменьшается как ~ γ−3 , а не растет ~ γ . Эксперимент по измерению соотношения (g − 2) , проведенный в ЦЕРН,

помимо измерения аномального магнитного момента мюона, способен исследовать зависимость от энергии его времени жизни. Этот эксперимент дает ограничение на

423

ε2L + ε2R < 5 10−25 .

(10.47)

Космические мюоны наиболее высоких энергий возникают от распадов вторичных пионов. Эти мюоны – практически продольно

поляризованные μ−R и μ+L . Поэтому поиски аномалий во времени жизни этих мюонов могут дать ограничение на bR , который, в свою очередь, пропорционален линейной комбинации 68ε2L + ε2R . Хотя εL можно ограничить из данных по нейтринным осцилляциям, возможно, что εR εL . Отсутствие a priori знаний об отношении εL εR дает для bR +bL более слабое ограничение, чем для bR .

10.5. Лоренц-нарушающие нейтринные осцилляции

В работе [Coleman, Glashow, Phys. Lett. B 405 (1997), 249] пока-

зано, как CPT-сохраняющие, но лоренц-нарушающие возмущения приводят к нейтринным осцилляциям, даже если нейтрино безмассовые. Наблюдаемые экспериментально нейтринные осцилляции могут быть комбинацией эффектов массивности нейтрино и ло- ренц-нарушения.

Нейтрино – ультрарелятивистские частицы, поскольку масса нейтрино очень мала. Поэтому поиск нейтринных осцилляций можно рассматривать как тест на лоренц-инвариантность. Будем считать, что существует три киральных нейтрино с майорановскими массами, задаваемые комплексной симметричной матрицей m в диагональном базисе ароматов. Обычные нейтринные осцилляции описываются в терминах квадрата эрмитовой массовой матрицы

m2 = mm+ . В частности, наблюдаемые эффекты осцилляций зависят от двух разностей квадратов масс и четырех параметров – углов матрицы Кобаяши–Маскава и фазы в кварковом секторе. При учете нарушения лоренцевской симметрии описание нейтринных осцилляций становится гораздо сложнее. В дополнение к обычному слагаемому, описывающему смешивание скоростей и параметризуемому матрицей C – 3×3 эрмитовой матрицей максимально достижимых скоростей, введем наиболее общее CPT-нечетное взаимо-

действие типа u+bu , где b – тоже 3×3 эрмитова матрица. Энергии

424

ультрарелятивистских нейтрино с определенным импульсом p являются собственными значениями матрицы:

	Cp +	m2	+b .	(10.48)
		2 p

Собственные состояния нейтрино в пределе высоких энергий являются собственными векторами матрицы C, а при низких энер-

гиях – собственными векторами матрицы m2 .

Чтобы избежать чрезмерной сложности обозначений, ограничимся осцилляциями двух сортов нейтрино. Представим себе нейтрино, рожденное с определенным импульсом и сортом (νl , где

l = e или μ) и детектируемое после прохождения в пустом пространстве расстояния R. Осцилляции описываются обычной фор-

мулой:			{	4 }
P(ν → ν ) =1−sin2		2θsin2		R	,	(10.49)
l	l

где угол смешивания θ и фазовый фактор ∆, выраженные в базисе ароматов, задаются в терминах восьми независимых параметров:

	sin 2θ = δm2 sin 2θ	E + 2δbeiη sin 2θ	+ 2δceiη′E sin 2θ ;
	m	b	c	(10.50)
	cos2θ = δm2 cos2θ	E + 2δbcos 2θ + 2δcE cos 2θ .
	m	b	c

Параметрами, характеризующими осцилляции, являются: три угла смешивания θm , θb и θc ; две комплексные фазы η и η′ и раз-

ности между собственными значениями b и c матрицы m2 , обозна-

ченные через δm2 , δb и δc . Чтобы проиллюстрировать возможности, заложенные в выражениях (10.49) и (10.50), отметим несколько специальных случаев лоренц-нарушающих осцилляций двух сортов нейтрино:

sin2

{

(

)

2

}

δm2R 4E

1+

E E

P (νl → νl ) =1−

0

(10.51)

1+ (E E )4

{(δvRE 2)

0

2}

=1−

sin2

1+

E E0

(10.52)

1+ (E

E)4

0

425

=1−sin2	2θsin2	{	(	)}
			R δm2	4E + δb 2 + δcE 2	,	(10.53)

где E0 ≡ δm2(2δc) . Соотношение (10.51) соответствует θm = π4 и

δb = sin 2θc = 0 . Оно дает максимальные массовые осцилляции для

E E . Выражение (10.52) отвечает случаю	θ = π		, δb =
0	c	4

= sin 2θm = 0 и максимальным осцилляциям скорости при высокой

энергии.

Чтобы получить выражение (10.53), мы положим, что все три угла смешивания одинаковы и η = η′ = 0 . В этом случае собствен-

ные состояния энергии-импульса не зависят от энергии.

Обычные нейтринные осцилляции зависят только от отношения RE – пролетной длины и энергии нейтрино. Если лоренц-

инвариантность нарушена, то зависимость от этих параметров становится более сложной. Тем не менее, нейтринные эксперименты, проводимые при различных энергиях, могут дать ограничения на лоренц-нарушающие параметры. Приведем один пример, связанный с ускорительными поисками νμ −νe осцилляций. Современное

ограничение на δm2 < 0.09 (эВ)2 получено из экспериментальных данных при низких энергиях. Эксперименты при высоких энергиях

дают менее строгие ограничения на δm2 , но они более приспособлены для поиска лоренц-нарушающих осцилляций скорости. Из

экспериментальных данных (в предположении о sin2 θm ~ 1) полу-

чаем для разности максимальных скоростей двух собственных состояний:

	c′−c		ν ν < 6 10−22 .	(10.54)
			e μ

10.6.Лоренц-нарушающие явления, включающие адроны

Для каждого сорта частиц, как было предположено, существует максимально достижимая скорость ca . Дисперсионное соотноше-

426

ние вида E2 = ca2 p2 + ma2ca4 описывает частицу типа a, свободно

движущуюся в выделенной системе отсчета. Множество лоренцнарушающих (но CPT-сохраняющих) явлений может быть описано в чисто кинематических терминах. Например, пренебрегается зависимостью от спиральности, хотя спиральность может быть достаточно просто учтена. Эффекты, связанные с изменением аромата, несущественны для рассмотрения эффектов, обсуждаемых ниже, поэтому ими пренебрегается.

10.6.1. Нейтральные каонные системы

Лоренц-нарушающие эффекты могут быть как резкими, так и постепенными. Выше уже обсуждалось внезапное появление черенковского излучения у протонов высокой энергии и зависящего от энергии поведения нейтральных каонов. Рассмотрим специальный случай, когда скоростные и массовые собственные состояния нейтральных каонов совпадают и при этом максимально допустимые скорости KL и KS неодинаковые: cKL − cKS ≠ 0 . Это приводит

к энергетической зависимости их разности масс, определяемой по зависящим от времени интерференционным явлениям:

M = M		покой + Mβγ2 (cKL −cKS ) ,	(10.55)

где γ и β – лоренц-фактор и скорость распадающихся каонов. Из анализа экспериментальных данных

	c	− c		< 3 10−21.	(10.56)
	KL	KS

10.6.2. Стабильные нейтральные пионы?

Обратимся теперь к резким явлениям. Простой пример включает нейтральные пионы и фотоны. Предположим, что cγ −cπ0 > 0 . То-

гда процесс π0 → 2γ становится кинематически подавленным для пионов, чьи энергии превышают значения E = mπ cγ2 −cπ2 . Соответственно, фотоны с энергией, превышающей это значение, спо-

427

собны распадаться γ → γ + π0 . Этот пример, как оказывается, не чисто академический. Предположим, например,

cγ −cπ0 = cγ −ce = cγ −cπ0 =10−22 .

(10.57)

В этом случае все моды распада π0 кинематически подавлены,

если его энергии превышают 1019 эВ. Таким образом, первичные космические лучи сверхвысоких энергий могут содержать пионы, а не фотоны.

10.6.3. Стабильный нейтрон?

Обычно распад нейтрона n → p + e− + ν допустим, а протонный

β-распад ( p → n + e+ + ν) кинематически подавлен. Как мы видели

выше, отклонение от лоренц-инвариантности влияет на кинематику процессов распада. Нарушение лоренц-инвариантности может даже обращать процессы. Чтобы это увидеть, исследуем случай cp = ce = cν < cn .

Обычную релятивистскую кинематику можно использовать в этом примере (с cp – как скорость света), если нейтрону приписать

эффективную массу
mэф2 = mn2 −(c2p −cn2) p2 ,	(10.58)

где p – импульс нейтрона в выбранной системе отсчета. Нейтронный β-распад возможен, если mэф > mn + me . Выраженное в терми-

нах энергии нейтрона в выбранной системе отсчета, это условие имеет вид:

	mn2 − mp + me		2	19		10−24				1 2
E < E =				2.7 10							эВ. (10.59)
	c2	−c2				c		−c
1							p
	p	n						n

При соответствующем выборе лоренц-инвариантных параметров, нейтрон с энергией, превышающей E1 , является стабильной

частицей, и должен присутствовать в космических лучах. Аналогичным образом можно получить необходимое и доста-

точное условие кинематически разрешенного β-распада протона:

428

	mn2 − mp − me		2	19		10−24				1 2
E > E =				4.1 10							эВ, (10.60)
	c2	−c2				c		−c
2							p
	p	n						n

где E – энергии протона в выбранной системе отсчета. Таким образом, в этом примере протоны с энергией, превышающей E2 , неста-

бильны и не могут присутствовать в космических лучах сверхвысоких энергий.

10.7. GZK-обрезание

Вскоре после открытия микроволнового излучения (CBM), Грейзен, Зацепин и Кузьмин показали, как это излучение ограничивает распространение космических лучей сверхвысоких энергий. Первичные нуклоны достаточной энергии будут неупруго взаимодействовать с фотонами CMB. Этот результат известен как GZK-обрезание: нуклоны с энергией > 5 · 1019 эВ не могут достичь Земли с расстояний ~ 50 Мпк. Однако спектр космических лучей

распространяется и на значения энергий, большие 1020 эВ. Механизм рождения космических лучей сверхвысоких энергий неизвестен. Были предложены различные механизмы, в том числе и «экзотические»: топологические дефекты, активные галактические ядра, гамма-всплески. Эти схемы ограничены или отвергнуты GZK-обрезанием.

Рассмотрим, как GZK-обрезание изменяется при учете лоренцнарушения. Для этого выберем реакцию образования пионнуклонного резонанса:

p + γ(CMB) → (1232) .

(10.61)

Пусть в этой реакции нуклон с энергией E неупруго взаимодействует с фотоном CMB с энергией ω. Фотоны распределены по энергиям согласно тепловому распределению с температурой

T = 2.73 К или kT = ω0 = 2.35 10−4 эВ. Для реакции (10.61) усло-

вие (10.23), определяющее возможность осуществления реакции, имеет вид

429

	M p2			M 2
2ω+		≥ (c	−cp )E +	2E ,	(10.62)
	2E
где c −cp – лоренц-нарушающий параметр. Если c					= cp , то ус-

ловие (10.62) превращается в обычное соотношение для пороговой
энергии в этом процессе:			Ef =		(M 2 − M 2p )		. Если же c				≠ cp , то
						4ω
(10.62) дает квадратичное неравенство для E, которое удовлетворя-
		ˆ			ω
ется лишь для (c −cp ) < δ			(ω) ≡			. Если		c	−cp растет, порог
					2Ef
									(c	−cp )
реакции растет к величине			Ef .		Однако, если						превысит
критическое значение
		2ω2				−25	ω 2
	c −cp >				1.7 10					,	(10.63)
		M 2 − M 2						ω
			p				0
реакция (10.61) становится кинематически подавленной для всех E.
Если c	ˆ
	−cp ~ δ(ω0) , то GZK-обрезания за счет резонансного обра-
зования	(1232) уже нет. Отметим, что реакция (10.61), как было

отмечено Грейзеном, Зацепиным и Кузьминым, – основной процесс, приводящий к обрезанию спектра космических лучей сверхвысоких энергий. Однако, если образование (1232) резонанса не-

возможно, то «ослабленная версия» обрезания может возникать за счет нерезонансного фоторождения:

	p + γ(CMB) → p + π .		(10.64)
Если cπ = cp ,	то пороговая	энергия	рождения пиона
Ep = Mπ (2M p + Mπ)	4ω. Если же	cπ −cp возрастает от нуля, то

пороговое значение энергии растет. При E → ∞ энергия пиона Eπ

должна оставаться конечной. Условие (10.23) дает кинематическое условие для реакции (10.64):

2ω ≥ (cπ −cp )Eπ +	m2
	π	.	(10.65)
	2E
	π
430