Росжелдор

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения»

(РГУПС)

____________________________________________________________________

А.В. Морозова, В.И. Полтинников

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Часть 3

Интегральное исчисление

Ростов-на-Дону

2011

Оглавление

1 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ …………...…………………….……...…... 6

1.1 Первообразная функция …………………………………………………….. .6

1.2 Неопределенный интеграл .………………………………………………...... 7

1.3 Основные свойства неопределенного интеграла ..……………………….... 8

1.4 Таблица основных интегралов ...……………………………………………. 9

1.5 Основные методы интегрирования ...……………………………………… 10

1.6 Интегрирование рациональных функций ……………………………...…. 12

1.7 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические

Функции …………………………………………………………………...… 18

1.8 Интегрирование некоторых иррациональных выражений ………………. 19

2 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ………………………………………………. 20

2.1 Определение определенного интеграла ….……………………………….. 20

2.2 Основные свойства определенного интеграла …………………………… 22

2.3 Производная определенного интеграла по переменному верхнему

пределу …………………………………………………………………...… 24

2.4 Формула Ньютона-Лейбница ……………………………………………… 25

2.5 Замена переменной в определенном интеграле ………………………….. 26

2.6 Интегрирование по частям в определенном интеграле ……………….…. 27

3 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ …..……………………………………….. 28

3.1 Несобственные интегралы первого рода (с бесконечными пределами) ....... 28

3.2 Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций) .... 29

3.3 Признаки сходимости несобственных интегралов ………………………. 30

3.4 Абсолютная и условная сходимости …………………………………….... 32

4 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ……………... 32

4.1 Общие понятия ……………………………..……………………………… 32

4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка ………………………... 33

4.3 Уравнение с разделяющимися переменными ……………………………. 36

4.4 Однородное уравнение ………………………..…………………………... 37

4.5 Линейное уравнение ……………………………………………………….. 38

4.6 Уравнение Бернулли ………………………………………………………. 39

4.7 Дифференциальные уравнения высшего порядка ……………………….. 40

4.8 Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка ……… 43

4.9 Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка …………… 45

4.10 Линейное однородное дифференциальное уравнение

высшего порядка с постоянными коэффициентами …………………… 46

4.11 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение

высшего порядка с постоянными коэффициентами ………………….... 49

5 СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ … 55

5.1 Нормальная система дифференциальных уравнений ………………….... 55

5.2 Интегрирование нормальной системы методом исключения

неизвестных ……………………………………………………………….. 56

5.3 Нормальная система линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами ………………………………………… 58

5.4 Понятие устойчивости решения нормальной системы по Ляпунову …... 61

6 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ …………………………………………………….... 62

6.1 Двойной интеграл ………………………………………………………….. 62

6.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах …………... 65

6.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах …………...... 67

6.4 Тройной интеграл ………………………………………………………….. 68