5 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1 Нормальная система дифференциальных уравнений

Определение. Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

относительно искомых функций называетсянормальной системой дифференциальных уравнений.

Определение. Решением нормальной системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций ,

обращающих каждое уравнение системы в верное равенство (тождество).

Определение. Общим решением нормальной системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций

,

обращающих каждое уравнение системы в верное равенство (тождество) при любых значениях произвольных постоянных .

Определение. Частным решением нормальной системы дифференциальных уравнений называется любая совокупность функций

,

получаемая из общего решения при задании определенных значений всем n произвольным постоянным .

Определение. Условия вида

,

где – заданные числа, называются начальными условиями для нормальной системы дифференциальных уравнений.

Определение. Задача, в которой требуется найти частное решение нормальной системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее заданным начальным условиям

,

называется задачей Коши или начальной задачей для нормальной системы дифференциальных уравнений.

Ответ на вопрос о том, при каких условиях, налагаемых на функции , задача Коши имеет решение, дает теорема Коши, которая называетсятеоремой существования и единственности решения для нормальной системы дифференциальных уравнений.

Теорема 5.1 (теорема Коши) (без доказательства). Если правые части уравнений нормальной системы определены и непрерывны в некоторой областии имеют в ней непрерывные частные производные

,

то, какова бы ни была внутренняя точка области D, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение нормальной системы, удовлетворяющее начальным условиям .

5.2 Интегрирование нормальной системы методом исключения неизвестных

Для интегрирования нормальной системы дифференциальных уравнений можно применить метод исключения неизвестных, с помощью которого данная нормальная система, содержащая n уравнений первого порядка относительно n искомых функций, сводится к одному уравнению n-го порядка относительно одной неизвестной функции.

Покажем применение метода исключения неизвестных на примере нормальной системы двух дифференциальных уравнений.

Пример. Найти общее решение системы

Дифференцируя одно из уравнений системы, например, первое, по x, находим

.

Подставляя в это равенство выражение для из второго уравнения системы, получим

.

Заменяя далее функцию ее выражением из первого уравнения системы

,

приходим к линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции :

;

.

Характеристическое уравнение и его решения:

–пара комплексно сопряженных простых корней .

Частные решения однородного дифференциального уравнения:

.

Общее решение однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией полученных частных решений:

.

Дифференцируя полученное равенство, находим

.

Используя выражения для и, получим

.

Таким образом, функции

;

являются общим решением исходной нормальной системы дифференциальных уравнений.