- •Росжелдор
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах …………. 70
- •1 Неопределенный интеграл
- •1.1 Первообразная функция
- •1.2 Неопределенный интеграл
- •1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
- •1.4 Таблица основных интегралов
- •1.5 Основные методы интегрирования
- •1.6 Интегрирование рациональных функций
- •1.7 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
- •2.2 Основные свойства определенного интеграла
- •2.3 Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •2.4 Формула Ньютона-Лейбница
- •2.5 Замена переменной в определенном интеграле
- •3.2 Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
- •3.3 Признаки сходимости несобственных интегралов
- •3.4 Абсолютная и условная сходимости
- •4 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •4.1 Общие понятия
- •4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •4.3 Уравнение с разделяющимися переменными
- •4.5 Линейное уравнение
- •4.8 Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка
- •1) Уравнение вида .
- •2) Уравнение вида .
- •3) Уравнение вида .
- •4.9 Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
- •4.10 Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •1) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения .
- •4.11 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •5 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •5.1 Нормальная система дифференциальных уравнений
- •5.2 Интегрирование нормальной системы методом исключения неизвестных
- •5.3 Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •5.4 Понятие устойчивости решения нормальной системы по Ляпунову
- •6 Кратные интегралы
- •6.1 Двойной интеграл
- •6.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •6.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •6.4 Тройной интеграл
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •6.6 Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •7 Криволинейные интегралы
- •7.1 Криволинейный интеграл первого рода
- •7.2 Криволинейный интеграл второго рода
- •7.3 Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода
- •7.4 Формула Грина
- •8 Поверхностные интегралы
- •8.1 Поверхностный интеграл первого рода
- •8.2 Поверхностный интеграл второго рода
- •8.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
- •8.4 Формула Остроградского
- •8.5 Формула Стокса
- •9 Практические задания
- •9.1 Неопределенные интегралы
- •9.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка
7.2 Криволинейный интеграл второго рода
Пусть векторная функция определена и непрерывна на некоторой кривой AB в плоскости .
Разобьем кривую AB произвольным образом на n частей точками
,
выберем на каждой из частичных дуг произвольную точку(рис. 7.2) и составим сумму
,
где . Данная сумма называетсяинтегральной суммой для векторной функции по кривой AB. Обозначим через наибольшую из длин частичных векторов:
.
Рис. 7.2. Разбиение кривой AB на частичные дуги в случае
криволинейного интеграла второго рода
Определение. Криволинейным интегралом второго рода от функции по кривой AB называется предел интегральных сумм при , если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения кривойAB на частичные дуги , ни от выбора в каждой из них точки:
или в другой записи:
,
где векторный элемент касательной к контуру интегрирования в точке равен
и скалярное произведение
.
Функция называется интегрируемой по (вдоль) кривой AB, сама кривая AB – контуром интегрирования, A – начальной, а B – конечной точками интегрирования.
Если AB – замкнутая кривая, т.е. точка B совпадает с точкой A, из двух возможных направлений обхода замкнутого контура AB условимся называть положительным то направление, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода контура AB условимся называть отрицательным.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру , пробегаемому в положительном направлении, обычно обозначают так:
.
Теорема 7.2 (существования криволинейного интеграла второго рода) (без доказательства). Функция , непрерывная вдоль кусочно-гладкой кривой AB, интегрируема по этой кривой.
Основные свойства криволинейного интеграла второго рода аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода, за исключением свойства 5:
При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет знак:
.
Простейший физический смысл криволинейного интеграла второго рода– работа силового поля при перемещении в нем материальной точки по кривойAB из точки A в точку B.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению определенных интегралов следующими способами.
Если кривая AB задана параметрически уравнениями , то
.
Если кривая AB задана явно уравнением , то
.
Если кривая AB задана явно уравнением , то
.
Замечание. Для пространственной кривой AB, заданной параметрически уравнениями , формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода имеет вид
аналогичный соответствующей формуле для плоской кривой.
Пример. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
,
где L – замкнутый контур ABCA, образованный прямыми (рис. 7.3).
Разобьем контур интегрирования L на три части AB, BC, CA и вычислим исходный интеграл по каждому из этих участков, используя формулу для вычисления криволинейного интеграла второго рода в случае явно заданной кривой.
.
.
.
Используя свойство 3 криволинейных интегралов, получаем
.
Рис. 7.3. Пример вычисления криволинейного интеграла второго рода