4.8 Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка

1) Уравнение вида .

Метод решения. Общее решение уравнения находится n-кратным интегрированием (последовательным взятием квадратур).

Пример. Найти общее решение уравнения

.

Последовательно интегрируя почленно исходное уравнение три раза (беря квадратуры), находим общее решение:

,

,

.

2) Уравнение вида .

Метод решения. Уравнение не содержит явно искомой функции y и ее производных до порядка включительно, поэтому с помощью подстановкипорядок уравнения понижается наk единиц:

,

так как

.

Если для вновь полученного уравнения можно найти общее решение

,

то общее решение исходного уравнения получается путем k-кратного интегрирования функции

.

В частности, если уравнение 2-го порядка не содержит y, то замена переменных приводит к уравнению 1-го порядка.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Так как исходное уравнение не содержит и, то сделаем подстановку . Тогдаи из исходного уравнения 3-го порядка получаем уравнение 1-го порядка

,

которое является уравнением с разделяющимися переменными . Находим его общее решение

.

Теперь найдем общее решение исходного уравнения путем двукратного интегрирования функции

.

Получаем:

.

3) Уравнение вида .

Метод решения. Уравнение не содержит явно независимой переменной x, поэтому с помощью подстановки порядок уравнения понижается на единицу:

,

так как производные выражаются при этом через производные порядка не вышеотp по y. Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции получаем

и т.д.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Так как исходное уравнение не содержит явно независимой переменной x, то сделаем подстановку . Тогда и из исходного уравнения 2-го порядка получаем уравнение 1-го порядка

,

которое является уравнением с разделяющимися переменными . Находим его общее решение:

;

.

Теперь найдем общее решение исходного уравнения:

;

4.9 Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Определение. Линейным дифференциальным уравнением высшего (n-го) порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производных

.

Функции называютсякоэффициентами уравнения. Функция называетсяправой частью уравнения.

Если , то уравнение называетсялинейным однородным уравнением или уравнением без правой части.

Если же , то уравнение называетсялинейным неоднородным уравнением или уравнением с правой частью.

Примеры

–линейное однородное уравнение 3-го порядка.

–линейное неоднородное уравнение 2-го порядка.

Из определения линейного однородного уравнения и свойств линейности производных следует очевидное свойство решений линейного однородного уравнения: линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является решением того же уравнения.

Из определения линейного неоднородного уравнения и свойств линейности производных следует очевидное свойство решений линейного неоднородного уравнения: сумма решений линейного неоднородного уравнения и соответствующего () однородного уравнения является решением неоднородного уравнения.

Выясним структуру общих решений линейного однородного уравнения и линейного неоднородного уравнения.

Теорема 4.3 (без доказательства). Общим решением на отрезке линейного однородного уравнения

с непрерывными на отрезке коэффициентами является линейная комбинация

n линейно независимых на том же отрезке частных решений этого уравнения .

Теорема 4.4 (без доказательства). Общее решение на отрезке линейного неоднородного уравнения

с непрерывными на отрезке коэффициентами и непрерывной правой частьюравно сумме общего решения

соответствующего однородного уравнения

и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения:

.