8.4 Формула Остроградского

Формула Остроградского устанавливает связь между поверхностным интегралом второго рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области, ограниченной этой поверхностью.

Формула Остроградского является аналогом формулы Грина, которая, как известно, связывает криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой с двойным интегралом по плоской области, ограниченной этой кривой.

Определение. Замкнутая пространственная область называется правильной, если ее граница пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках.

Теорема 8.3 (без доказательства). Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в правильной области, ограниченной поверхностью, то имеет местоформула Остроградского:

,

причем поверхностный интеграл второго рода берется по внешней стороне поверхности , т.е. единичный вектор нормалик этой поверхности направлен вне области.

Замечание. Формула Остроградского остается справедливой для всякой замкнутой области , которую можно разбить на конечное число правильных областей.

8.5 Формула Стокса

Формула Стокса является обобщением формулы Грина и устанавливает связь между криволинейным интегралом второго рода по замкнутой кривой L и поверхностным интегралом первого рода по поверхности , ограниченной этой кривой.

Теорема 8.4 (без доказательства). Если функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка на поверхностис границейL, то имеет место формула Стокса:

,

где – направляющие косинусынормали к поверхности ,причем направления нормали и обхода контура L подчиняются правилу правого винта (рис. 8.5).

Замечание. В частности, если поверхность – область плоскости Oxy, ограниченная контуром L, то интегралы по иобращаются в нуль, и формула Стокса переходит в формулу Грина.

Рис. 8.5. Поверхность с границейL в формуле Стокса

9 Практические задания

9.1 Неопределенные интегралы

Задание 1. Найти интегралы методами непосредственного интегрирования и замены переменной

Вариант 1

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 2

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 3

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 4

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 5

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 6

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 7

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 8

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 9

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 10

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 11

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 12

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 13

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 14

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 15

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 16

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 17

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 18

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 19

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 20

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 21

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 22

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 23

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 24

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 25

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 26

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 27

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 28

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 29

1)	2)	3)
4.	5)	6)
7)	8)	9)

Вариант 30

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)

Задание 2. Найти интегралы методом интегрирования по частям

Вариант 1

1)

2)

3)

Вариант 2

1)

2)

3)

Вариант 3

1)

2)

3)

Вариант 4

1)

2)

3)

Вариант 5

1)

2)

3)

Вариант 6

1)

2)

3)

Вариант 7

1)

2)

3)

Вариант 8

1)

2)

3)

Вариант 9

1)

2)

3)

Вариант 10

1)

2)

3)

Вариант 11

1)

2)

3)

Вариант 12

1)

2)

3)

Вариант 13

1)

2)

3)

Вариант 14

1)

2)

3)

Вариант 15

1)

2)

3)

Вариант 16

1)

2)

3)

Вариант 17

1)

2)

3)

Вариант 18

1)

2)

3)

Вариант 19

1)

2)

3)

Вариант 20

1)

2)

3)

Вариант 21

1)

2)

3)

Вариант 22

1)

2)

3)

Вариант 23

1)

2)

3)

Вариант 24

1)

2)

3)

Вариант 25

1)

2)

3)

Вариант 26

1)

2)

3)

Вариант 27

1)

2)

3)

Вариант 28

1)

2)

3)

Вариант 29

1)

2)

3)

Вариант 30

1)

2)

3)

Задание 3. Найти интегралы от рациональных дробей

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)
Вариант 10	Вариант 11	Вариант 12
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 16	Вариант 17	Вариант 18
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 19	Вариант 20	Вариант 21
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 22	Вариант 23	Вариант 24
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 25		Вариант 26	Вариант 27
1)		1)	1)
2)		2)	2)
3)		3)	3)
4)		4)	4)
5)		5)	5)
Вариант 28	Вариант 29			Вариант 30
1)	1)			1)
2)	2)			2)
3)	3)			3)
4)	4)			4)
5)	5)			5)

Задание 4. Найти интегралы от иррациональных функций

Вариант 1

1)

2)

3)

4)

Вариант 2

1)

2)

3)

4)

Вариант 3

1)

2)

3)

4)

Вариант 4

1)

2)

3)

4)

Вариант 5

1)

2)

3)

4)

Вариант 6

1)

2)

3)

4)

Вариант 7

1)

2)

3)

4)

Вариант 8

1)

2)

3)

4)

Вариант 9

1)

2)

3)

4)

Вариант 10

1)

2)

3)

4)

Вариант 11

1)

2)

3)

4)

Вариант 12

1)

2)

3)

4)

Вариант 13

1)

2)

3)

4)

Вариант 14

1)

2)

3)

4)

Вариант 15

1)

2)

3)

4)

Вариант 16

1)

2)

3)

4)

Вариант 17

1)

2)

3)

4)

Вариант 18

1)

2)

3)

4)

Вариант 19

1)

2)

3)

4)

Вариант 20

1)

2)

3)

4)

Вариант 21

1)

2)

3)

4)

Вариант 22

1)

2)

3)

4)

Вариант 23

1)

2)

3)

4)

Вариант 24

1)

2)

3)

4)

Вариант 25

1)

2)

3)

4)

Вариант 26

1)

2)

3)

4)

Вариант 27

1)

2)

3)

4)

Вариант 28

1)

2)

3)

4)

Вариант 29

1)

2)

3)

4)

Вариант 30

1)

2)

3)

4)

Задание 5. Найти интегралы от тригонометрических функций

Вариант 1

1)

2)

3)

4)

Вариант 2

1)

2)

3)

4)

Вариант 3

1)

2)

3)

4)

Вариант 4

1)

2)

3)

4)

Вариант 5

1)

2)

3)

4)

Вариант 6

1)

2)

3)

4)

Вариант 7

1)

2)

3)

4)

Вариант 8

1)

2)

3)

4)

Вариант 9

1)

2)

3)

4)

Вариант 10

1)

2)

3)

4)

Вариант 11

1)

2)

3)

4)

Вариант 12

1)

2)

3)

4)

Вариант 13

1)

2)

3)

4)

Вариант 14

1)

2)

3)

4)

Вариант 15

1)

2)

3)

4)

Вариант 16

1)

2)

3)

4)

Вариант 17

1)

2)

3)

4)

Вариант 18

1)

2)

3)

4)

Вариант 19

1)

2)

3)

4)

Вариант 20

1)

2)

3)

4)

Вариант 21

1)

2)

3)

4)

Вариант 22

1)

2)

3)

4)

Вариант 23

1)

2)

3)

4)

Вариант 24

1)

2)

3)

4)

Вариант 25

1)

2)

3)

4)

Вариант 26

1)

2)

3)

4)

Вариант 27

1)

2)

3)

4)

Вариант 28

1)

2)

3)

4)

Вариант 29

1)

2)

3)

4)

Вариант 30

1)

2)

3)

4)

Задание 6. Найти неопределенные интегралы, используя различные методы интегрирования

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)
6)	6)	6)
7)	7)	7)
8)	8)	8)
9)	9)	9)
10)	10)	10)

Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)
6)	6)	6)
7)	7)	7)
8)	8)	8)
9)	9)	9)
10)	10)	10)

Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)
6)	6)	6)
7)	7)	7)
8)	8)	8)
9)	9)	9)
10)	10)	10)

Вариант 10	Вариант 11	Вариант 12
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)
6)	6)	6)
7)	7)	7)
8)	8)	8)
9)	9)	9)
10)	10)	10)

Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)
6)	6)	6)
7)	7)	7)
8)	8)	8)
9)	9)	9)
10)	10)	10)

Вариант 16	Вариант 17	Вариант 18
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)
6)	6)	6)
7)	7)	7)
8)	8)	8)
9)	9)	9)
10)	10)	10)

Вариант 19	Вариант 20	Вариант 21
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)
6)	6)	6)
7)	7)	7)
8)	8)	8)
9)	9)	9)
10)	10)	10)

Вариант 22	Вариант 23	Вариант 24
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)
6)	6)	6)
7)	7)	7)
8)	8)	8)
9)	9)	9)
10)	10)	10)

Вариант 25	Вариант 26	Вариант 27
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)
6)	6)	6)
7)	7)	7)
8)	8)	8)
9)	9)	9)
10)	10)	10)

Вариант 28	Вариант 29	Вариант 30
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)
6)	6)	6)
7)	7)	7)
8)	8)	8)
9)	9)	9)
10)	10)	10)

Задание 7. Вычислить определенные интегралы, используя различные методы интегрирования

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 10	Вариант 11	Вариант 12
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)
Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 16	Вариант 17	Вариант 18
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 19	Вариант 20	Вариант 21
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 22	Вариант 23	Вариант 24
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 25	Вариант 26	Вариант 27
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Вариант 28	Вариант 29	Вариант 30
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)
5)	5)	5)

Задание 8. Исследовать на сходимость несобственные интегралы

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)

Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)

Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)

Вариант 10	Вариант 11	Вариант 12
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)

Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)

Вариант 16	Вариант 17	Вариант 18
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)

Вариант 19	Вариант 20	Вариант 21
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)

Вариант 22	Вариант 23	Вариант 24
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)

Вариант 25	Вариант 26	Вариант 27
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)

Вариант 28	Вариант 29	Вариант 30
1)	1)	1)
2)	2)	2)
3)	3)	3)
4)	4)	4)

Задание 9. Вычислить двойные интегралы

Номер варианта	Двойной интеграл	Область интегрирования G
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Задание 10. Вычислить тройные интегралы

Номер варианта	Тройной интеграл	Область интегрирования V
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30