- •Росжелдор
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах …………. 70
- •1 Неопределенный интеграл
- •1.1 Первообразная функция
- •1.2 Неопределенный интеграл
- •1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
- •1.4 Таблица основных интегралов
- •1.5 Основные методы интегрирования
- •1.6 Интегрирование рациональных функций
- •1.7 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
- •2.2 Основные свойства определенного интеграла
- •2.3 Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •2.4 Формула Ньютона-Лейбница
- •2.5 Замена переменной в определенном интеграле
- •3.2 Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
- •3.3 Признаки сходимости несобственных интегралов
- •3.4 Абсолютная и условная сходимости
- •4 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •4.1 Общие понятия
- •4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •4.3 Уравнение с разделяющимися переменными
- •4.5 Линейное уравнение
- •4.8 Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка
- •1) Уравнение вида .
- •2) Уравнение вида .
- •3) Уравнение вида .
- •4.9 Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
- •4.10 Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •1) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения .
- •4.11 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •5 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •5.1 Нормальная система дифференциальных уравнений
- •5.2 Интегрирование нормальной системы методом исключения неизвестных
- •5.3 Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •5.4 Понятие устойчивости решения нормальной системы по Ляпунову
- •6 Кратные интегралы
- •6.1 Двойной интеграл
- •6.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •6.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •6.4 Тройной интеграл
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •6.6 Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •7 Криволинейные интегралы
- •7.1 Криволинейный интеграл первого рода
- •7.2 Криволинейный интеграл второго рода
- •7.3 Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода
- •7.4 Формула Грина
- •8 Поверхностные интегралы
- •8.1 Поверхностный интеграл первого рода
- •8.2 Поверхностный интеграл второго рода
- •8.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
- •8.4 Формула Остроградского
- •8.5 Формула Стокса
- •9 Практические задания
- •9.1 Неопределенные интегралы
- •9.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка
6 Кратные интегралы
6.1 Двойной интеграл
Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной областиG плоскости Oxy.
Разобьем область G произвольным образом на n частей с площадями(рис. 6.1).
Рис. 6.1. Разбиение области G на частичные области
В каждой частичной области выберем произвольную точкуи составим сумму
,
которую назовем интегральной суммой для функции в областиG.
Назовем диаметром области d наибольшее расстояние между граничными точками этой области.
Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей:
.
Определение. Двойным интегралом от функции по областиназывается предел интегральных сумм при, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения областиG на частичные области , ни от выбора в каждой из них точки:
или в другой записи:
.
Функция называетсяинтегрируемой в области G, область G – областью интегрирования, x и y – переменными интегрирования, – элементом площади.
Теорема 6.1 (существования двойного интеграла) (без доказательства). Функция , непрерывная в замкнутой ограниченной области, интегрируема в этой области.
Из определения двойного интеграла и рис. 6.2 следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл
численно равен объему криволинейного цилиндра, ограниченного сверху графиком непрерывной и неотрицательной функции , которая определена в областиG, с боков – цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области G, а образующие параллельны оси Oz, и снизу – областью G, лежащей в плоскости Oxy.
Рис. 6.2. Геометрический смысл двойного интеграла
Замечание. Если положить всюду в областиG, то из определения двойного интеграла легко получить формулу для вычисления площади S области G с помощью двойного интеграла
или
.
Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. Поэтому сформулируем эти свойства без доказательства.
Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
.
Свойство 3. Если область интегрирования G разбить на две непересекающиеся области G1 и G2, то интеграл по всей области G будет равен сумме интегралов по областям G1 и G2:
.
Свойство 4 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной областиG, то в этой области существует такая точка , что справедлива формула
,
где S – площадь области G.
6.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух определенных интегралов следующим способом.
Пусть область G (рис. 6.3) ограничена кривыми
,
причем всюду на отрезке функцииинепрерывны и. Тогда
,
причем сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной y, а полученный результат интегрируется во внешнем определенном интеграле по переменной x. При этом интеграл, стоящий в правой части формулы, называют повторным или двукратным интегралом.
Аналогично, если область G (рис. 6.3) ограничена кривыми
,
причем всюду на отрезке функцииинепрерывны и, то
,
причем сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной x, а полученный результат интегрируется во внешнем определенном интеграле по переменной y.
Рис. 6.3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Пример. Вычислить двойной интеграл
,
если область интегрирования G ограничена линиями .
Форма области G (рис. 6.4) позволяет применить первую формулу при :
.
Рис. 6.4. Пример вычисления двойного интеграла в декартовых координатах
Если же для вычисления данного двойного интеграла применить вторую формулу, то следует положить
.
Тогда, используя свойство 3 двойного интеграла, получим:
Очевидно, что в данном примере целесообразнее проводить вычисления по первой формуле.
Результаты расчетов, естественно, одинаковы.