- •Росжелдор
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах …………. 70
- •1 Неопределенный интеграл
- •1.1 Первообразная функция
- •1.2 Неопределенный интеграл
- •1.3 Основные свойства неопределенного интеграла
- •1.4 Таблица основных интегралов
- •1.5 Основные методы интегрирования
- •1.6 Интегрирование рациональных функций
- •1.7 Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
- •2.2 Основные свойства определенного интеграла
- •2.3 Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •2.4 Формула Ньютона-Лейбница
- •2.5 Замена переменной в определенном интеграле
- •3.2 Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
- •3.3 Признаки сходимости несобственных интегралов
- •3.4 Абсолютная и условная сходимости
- •4 Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •4.1 Общие понятия
- •4.2 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •4.3 Уравнение с разделяющимися переменными
- •4.5 Линейное уравнение
- •4.8 Уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка
- •1) Уравнение вида .
- •2) Уравнение вида .
- •3) Уравнение вида .
- •4.9 Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка
- •4.10 Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •1) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения .
- •4.11 Линейное неоднородное дифференциальное уравнение высшего порядка с постоянными коэффициентами
- •5 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •5.1 Нормальная система дифференциальных уравнений
- •5.2 Интегрирование нормальной системы методом исключения неизвестных
- •5.3 Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •5.4 Понятие устойчивости решения нормальной системы по Ляпунову
- •6 Кратные интегралы
- •6.1 Двойной интеграл
- •6.2 Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
- •6.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
- •6.4 Тройной интеграл
- •6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •6.6 Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •7 Криволинейные интегралы
- •7.1 Криволинейный интеграл первого рода
- •7.2 Криволинейный интеграл второго рода
- •7.3 Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода
- •7.4 Формула Грина
- •8 Поверхностные интегралы
- •8.1 Поверхностный интеграл первого рода
- •8.2 Поверхностный интеграл второго рода
- •8.3 Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода
- •8.4 Формула Остроградского
- •8.5 Формула Стокса
- •9 Практические задания
- •9.1 Неопределенные интегралы
- •9.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •9.3 Обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка
6.3 Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
В двойном интеграле, как и в определенном, замена переменных – важнейший метод приведения интеграла к виду, более удобному для вычисления.
Наиболее важным для практических приложений частным случаем замены переменных является замена декартовых координат x и y полярными координатами – радиусом-вектором r и полярным углом (переход из декартовой системы координат в полярную)
по формуле
.
Выражение называют обычно элементом площади в полярных координатах.
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах, так же как и в полярных, сводится к вычислению повторного интеграла, но только роль переменных играют теперь.
Пример. Вычислить двойной интеграл
,
где G – четверть круга , расположенная в первом квадранте.
Очевидно, что в области G радиус-вектор r изменяется в пределах от 0 до 1, а угол – от 0 до(рис. 6.5).
Тогда получаем
Рис. 6.5. Пример вычисления двойного интеграла в полярных координатах
6.4 Тройной интеграл
Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной областитрехмерного пространства.
Разобьем область произвольным образом наn частей с объемами. В каждой частичной областивыберем произвольную точкуи составим сумму
,
которую назовем интегральной суммой для функции в области.
Назовем диаметром области d наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Например, диаметром области, представляющей собой эллипсоид, будет его удвоенная наибольшая полуось.
Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей:
.
Определение. Тройным интегралом от функции по областиназывается предел интегральных сумм при, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на частичные области , ни от выбора в каждой из них точки :
или в другой записи:
.
Функция называетсяинтегрируемой в области , область – областью интегрирования, x, y, z – переменными интегрирования, – элементом объема.
Теорема 6.2 (существования тройного интеграла) (без доказательства). Функция , непрерывная в замкнутой ограниченной области, интегрируема в этой области.
Замечание. Если положить всюду в области , то из определения тройного интеграла легко получить формулу для вычисления объема V области с помощью тройного интеграла
или
.
Основные свойства тройного интеграла аналогичны соответствующим свойствам двойного интеграла.
Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
.
Свойство 3. Если область интегрирования разбить на две непересекающиеся области и , то интеграл по всей области будет равен сумме интегралов по областям и :
.
Свойство 4 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , то в этой области существует такая точка , что справедлива формула
,
где V – объем области .
6.5 Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению одного однократного (определенного) и одного двойного интегралов или к вычислению, в конечном итоге, трех однократных (определенных) интегралов следующим способом.
Пусть область (рис. 6.6) ограничена снизу поверхностью , сверху поверхностью, а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пустьG – проекция области на плоскость, причем всюду в областиG функции инепрерывны и.
Рис.6.6. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Тогда тройной интеграл вычисляется по формуле
,
причем сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной z (при постоянных x и y), а затем внешний двойной интеграл по области G.
Записывая двойной интеграл через один из повторных (см. п. 6.2), получаем
.
Замечание. Аналогичные формулы для вычисления тройного интеграла можно записать и для случаев проектирования области на плоскостии.
Пример. Вычислить тройной интеграл
,
где область интегрирования – пирамида, ограниченная плоскостью и координатными плоскостями(рис. 6.7).
Рис. 6.7. Пример вычисления тройного интеграла в декартовых координатах
Область проектируется на плоскостьв треугольникG, ограниченный прямыми . Полагая
и используя сначала формулу для вычисления тройного интеграла, а затем первую формулу для вычисления двойного интеграла, получим: