6.6 Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Для тройных интегралов, как и для двойных, имеют место формулы замены переменных при переходе от прямоугольных координат к новым системам координат, наиболее употребительными из которых являются цилиндрические и сферические координаты.

Переход от прямоугольных координат кцилиндрическим координатам (рис. 6.8), связанным с соотношениями

,

осуществляется по формуле

.

Выражение называют элементом объема в цилиндрических координатах.

Название «цилиндрические координаты» связано с тем, что координатная поверхность (т.е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координатуr) является цилиндром, прямолинейные образующие которого параллельны оси .

Рис. 6.8. Цилиндрические (слева) и сферические (справа) координаты

Переход от прямоугольных координат ксферическим координатам (рис. 6.8), связанным с соотношениями

,

осуществляется по формуле

.

Выражение называют элементом объема в сферических координатах.

Название «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность (т.е. поверхность, все точки которой имеют одну и ту же координату) является сферой с центром в начале координат.

Пример. Вычислить тройной интеграл

,

где – область, ограниченная поверхностями и(рис. 6.9).

Рис. 6.9. Пример вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах

В данном примере удобно перейти от прямоугольных к цилиндрическим координатам.

Так как область проектируется на плоскостьв круг, то уголизменяется в пределах от 0 до, радиус-векторr изменяется в пределах от 0 до 1. Координата z изменяется от значений для точек, лежащих на параболоиде , до значений для точек, лежащих на плоскости, т.е..

Применяя формулу для вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах, получаем

.

7 Криволинейные интегралы

7.1 Криволинейный интеграл первого рода

Пусть функция определена и непрерывна на некоторой кривойAB в плоскости .

Разобьем кривую AB произвольным образом на n частей точками

,

выберем на каждой из частичных дуг произвольную точку(рис. 7.1) и составим сумму

,

где – длина дуги. Данная сумма называетсяинтегральной суммой для функции по кривойAB. Обозначим через наибольшую из длин частичных дуг:

.

Рис. 7.1. Разбиение кривой AB на частичные дуги в случае

криволинейного интеграла первого рода

Определение. Криволинейным интегралом первого рода от функции по кривойAB называется предел интегральных сумм при , если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения кривойAB на частичные дуги , ни от выбора в каждой из них точки:

или в другой записи:

.

Функция называетсяинтегрируемой по (вдоль) кривой AB, сама кривая AB – контуром интегрирования, A – начальной, а B – конечной точками интегрирования.

Определение. Кривая, заданная параметрически уравнениями

,

называется гладкой, если функции инепрерывны и имеют непрерывные производныеи, не обращающиеся в нуль одновременно (тем самым кривая в каждой точке имеет касательную).

Непрерывная кривая, составленная из конечного числа гладких кусков, называется кусочно-гладкой.

Кривая, заданная явно уравнением , будет гладкой, если функцияи ее производнаянепрерывны на отрезке.

Теорема 7.1 (существования криволинейного интеграла первого рода) (без доказательства). Функция , непрерывная вдоль кусочно-гладкой кривойAB, интегрируема по этой кривой.

Замечание. Если положить всюду на кривойAB, то из определения криволинейного интеграла первого рода легко получить формулу для вычисления длины дуги l кривой AB с помощью криволинейного интеграла первого рода:

или

.

Основные свойства криволинейного интеграла первого рода аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла.

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

Свойство 3. Если кривую AB разбить на две кривые AC и CB, то интеграл по всей кривой AB будет равен сумме интегралов по кривым AC и CB:

.

Свойство 4 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна вдоль гладкой кривойAB, то на этой кривой существует такая точка , что справедлива формула

,

где l – длина кривой AB.

Свойство 5. При изменении направления интегрирования величина интеграла не изменяется:

.

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла следующими способами.

Если кривая AB задана параметрически уравнениями , то

.

Если кривая AB задана явно уравнением , то

.

Если кривая AB задана явно уравнением , то

.

Замечание. Для пространственной кривой AB, заданной параметрически уравнениями , формула для вычисления криволинейного интеграла первого рода имеет вид

,

аналогичный соответствующей формуле для плоской кривой.

Пример. Вычислить криволинейный интеграл первого рода

,

где AB – отрезок прямой от точкидо точки.

Имеем

.

По формуле вычисления криволинейного интеграла первого рода получаем

.