7.3 Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода

Обозначив через α и β углы, составляемые с осями координат Ox и Oy соответственно векторным элементом касательной к кривойAB в точке (рис. 7.4), получим:

,

где и– направляющие косинусы вектора.

Рис. 7.4. Векторный элемент касательной к кривой в точке

Заменяя в криволинейном интеграле второго рода инайденными выражениями, получим формулу, выражающую криволинейный интеграл второго рода через криволинейный интеграл первого рода и устанавливающую связь между ними:

.

Замечание. За положительное направление векторного элемента касательной принимается то, которое соответствует направлению движения точки по кривой от A к B.

7.4 Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по некоторой плоской замкнутой области и криволинейным интегралом второго рода по границе этой области.

Определение. Замкнутая плоская область называется правильной, если ее граница пересекается с прямыми, параллельными осям координат, не более чем в двух точках.

Теорема 7.3 (без доказательства). Если функции инепрерывны вместе со своими частными производнымив правильной областис границейL, то имеет место формула Грина:

.

Замечание. Формула Грина остается справедливой для всякой замкнутой области G, которую можно разбить на конечное число правильных областей.

8 Поверхностные интегралы

8.1 Поверхностный интеграл первого рода

Пусть функция определена и непрерывна на некоторой поверхностив пространствеРазобьем поверхностьпроизвольным образом наn частей с площадями(рис. 8.1). В каждой частичной областивыберем произвольную точкуи составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой для функции в области (на поверхности). Обозначим черезнаибольший из диаметров частичных областей:

.

Рис. 8.1. Разбиение поверхности на частичные области в случае

поверхностного интеграла первого рода

Определение. Поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхностиназывается предел интегральных сумм при, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения поверхностина частичные области, ни от выбора в каждой из них точки:

или в другой записи:

.

Функция называетсяинтегрируемой по поверхности , сама–поверхностью интегрирования.

Определение. Поверхность называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная плоскость и при переходе от точки к точке положение этой касательной плоскости меняется непрерывно.

Поверхность, состоящая из конечного числа гладких кусков, которые соединены непрерывно, называется кусочно-гладкой.

Теорема 8.1 (существования поверхностного интеграла первого рода) (без доказательства). Функция , непрерывная на кусочно-гладкой поверхности, интегрируема по этой поверхности.

Замечание. Если положить всюду на поверхности, то из определения поверхностного интеграла первого рода легко получить формулу для вычисления площадиS поверхности с помощью поверхностного интеграла первого рода:

или

.

Основные свойства поверхностного интеграла первого рода аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода:

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

Свойство 3. Если поверхность разбить на две поверхностии, то интеграл по всей поверхностибудет равен сумме интегралов по поверхностями:

.

Свойство 4 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна вдоль гладкой поверхности, то на этой поверхности существует такая точка, что справедлива формула

,

где S – площадь поверхности .

Свойство 5. При изменении стороны поверхности интегрирования величина интеграла не изменяется:

,

где и– стороны поверхности интегрирования.

Вычисление поверхностного интеграла первого рода сводится к вычислению двойного интеграла следующим способом.

Если поверхность задана уравнениеми областьG – проекция поверхности на плоскостьOxy (рис. 8.1), то

.

Аналогично записываются формулы, выражающие интеграл по поверхности через двойные интегралы по проекциямна плоскостиOyz и Oxz.

Пример. Вычислить поверхностный интеграл первого рода

,

где – часть плоскости, лежащая в первом октанте (рис. 8.2).

Из уравнения поверхности имеем

.

Поверхность проектируется на плоскость Oxy в область G, ограниченную прямыми .

По формуле вычисления поверхностного интеграла первого рода имеем:

Рис. 8.2. Пример вычисления поверхностного интеграла первого рода