Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

3) Неопределенность 0 .

	1			1				1
23. lim					.
x 1 x 1				ln x
								2

			p			q
24.	lim						.
	x 1 1		x p	1		xq

p q2

4) Неопределенности 00 , 0 , 1 .

25.	lim( 2x)cosx .	1
	x 2
26.	lim(cos2x)3/ x2 .	e 6
	x 0

Исследовать функции и построить их графики:

	27.	y			x 3			1.	y 3x x3 .
				1 2x
	28.	1	x	2		1	x 4 .		y	8		x	.
		2		4						x	2

Рассчитать эластичность функции			y x3				1 . Найти значение
показателя эластичности для:
29. а) х 1 ; б) х 5 .		3x3
	Ex ( y)					;	a)1,5; б) 2,97
		x	3
					1

Рассчитать	эластичность	функции y е5 х . Найти значение
показателя эластичности для:
30. а) х 1 ;	б) х 0 ;	с) х 2 . Ех ( у) 5х; а)5; б) 0; с) 10

182

3.3.9 Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделу 3.3

1. Провести полное исследование функций и построить их графики:

1). y 4x3 9x2 12x 15;

2). y 8x3 15x2 6x 3;

3). y 2x3 9x2 12x 3;

4). y x3 6x2 9x 10;

5). y x3 15x2 12x 1;

6). y 2x3 9x2 12x 2;

7). y	x3		x2	6x 2;
3		2

8). y 4x 9x2 12x 10; 9). y x3 6x2 9x 4;

10). y x3 x2 6x 4; 3 2

11). y 2x3 3x2 12x 6; 12). y 2x3 3x2 12x 10;

y	x3
		.
	3 x2

yx2 x 1. x 1

x 1 y ln x 2 .

y x e x .

y x3 . 2 x 1 2

yx2 e x .

x 1 y ln x 3 .

y x ln x 1 .

y	x2
		.
	x2 1
y	x
			.
	x2 1

yln x 2 . x 3

y x 2 arctgx.

183

13). y x3 3x2 9x 12;

14). y x3 3x2 9x 10;

15). y		x3				6x2				3x 12;
			5				5
16). y	x3			x2				5		x 8;
6							2
17). y x3			3x2				6;

18). y 10x3 21x2 12x 3;

19). y 5x3 9x2 3x 2;

20). y 2x3 9x2 13;

21). y x3		5	x 2 2x 3;
	2
22). y 8x3	3x2				18x 3;
23). y x3	2x2				5;
24). y x3	x2			x 3;
25). y 2x3	x2			4x 5;

26). y 4x3 3x2 6x 5;

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

y

x lnxx .

2x 2x .

x ln x.

x e	x
	2 .

x1 x .

x2 1 . 2 x

x2

x2 .

x 1 2 . x2 1

x2 ln x.

xarctg2x.

3 x2 x 2 .

x2 x 1. x 1

x

x2 4 .

x2 2x 2 . x 1

184

P 117 0,1x .

P 68 0,1x .

P 11 0,1x .

27). y 2x3 9x2 12x 12;	y 2x arctg				x	.
		2
28). y x3 9x2 15x 6;	y x arctgx.
29). y x3 3x2 2;	y		2x	.
			ln x
30). y x4 8x3 24x2 ;	y ln x2 1 .
2. Известны общие затраты	E	производства продукции и
функция спроса на продукцию P f (x)		(рыночная цена как функция

объема спроса). Найти точку равновесия (Р*, х*), максимизирующую общую прибыль.

1). E 0,02x3 0,1x2 21x 300 , 2). E 0,01x3 0,2x2 21x 700 , 3). E 0,25x3 0,1x2 15x 15 ,

4).	E 0,12x3		0,15x2		9x 55 ,	P 17 0,1x .
5).	E 0,03x3		0,14x2		2x 800 ,	P 115 0,1x .
6).	E 0,04x3		0,1x2	21x 700 ,		P 53 0,1x .
7).	E 0,01x3		0,5x2 15x 800 ,			P 44 0,1x .
8).	E 0,2x3	x2 21x 800,				P 111 0,1x .
9).	E 0,025x3 0,2x2				21x 800 ,	P 217 0,1x .
10).	E 0,4x3	0,2x2		11x 800 ,		P 16 0,1x .
11).	E 0,7x3	0,7x2		21x 100,		P 122 0,1x .
12).	E 0,05x3		0,2x2 20x 800 ,			P 83 0,1x .

185

13). E 0,09x3	0,9x2	9x 800 ,		P 33 0,1x .
14). E 0,08x3	0,7x2	2x 800,		P 94 0,1x .
15). E 0,06x3	0,3x2	21x ,		P 58 0,1x .
16). E 0,05x3	0,3x2	20x 100 ,		P 114 0,1x .
17). E 0,04x3	0,2x2	2x 8 ,		P 17 0,1x .
18). E 0,06x3	0,3x2	41x 82 ,		P 31 0,1x .
19). E 0,16x3	0,4x2	2x 300 ,		P 97 0,1x .
20). E 0,025x3 0,15x2 5x ,				P 82 0,1x .
21). E 0,36x3	0,25x2 2x 350 ,			P 43 0,1x .
22). E 0,9x3 0,3x2 x 220 ,				P 150 0,1x .
23). E 0,04x3	0,1x2	2x 30 ,		P 102 0,1x .
24). E 0,16x3	0,9x2	5x 200,		P 19 0,1x .
25). E 0,04x3	0,1x2	2x 300 ,		P 122 0,1x .
26). E 0,02x3	0,1x2	2x 10 ,		P 134 0,1x .
27). E 0,025x3 0,16x2 9x 800 ,				P 37 0,1x .
28). E 0,09x3	0,5x2	6x 350,		P 115 0,1x .
29). E 0,04x3	0,4x2	4x 400 ,		P 74 0,1x .
E 0,016x2 0,15x2 7x 600 ,			P 63 0,1x .

186

3.4 Дифференциальное исчисление функции нескольких

переменных

Многим явлениям, в том числе экономическим, отвечают многофакторные зависимости, исследование которых требует введения понятия функции нескольких переменных.

3.4.1 Основные понятия. Область определения функции

Определение 1. Пусть имеем п переменных величин, и

каждому набора их значений x1, x2 , , xn некоторого множества Х

отвечает полностью определенное значение переменной величины z.

Тогда говорят, что заданная функция нескольких переменных, и

обозначают z f x1, x2 , , xn .
Определение 2. Переменные	x1, x2 , , xn	называют

независимыми переменными, z – зависимой переменной, f —

закон соответствия. Множество Х — называется областью определения функции или областью существования функции.

При n 2, 3 имеем функции двух и трех переменных, которые

обозначаются z f (x, y) и u f (x, y, z) . Для функции двух и трех

переменных область определения принадлежит соответственно

пространствам R2	и R3 , и ее можно изобразить геометрически.
Пример 1.	Найти область определения функции
	z	4 x2 y2 .
Решение.	Область определения найдем из неравенства

4 x2 y 2 0 , т.е. x2 y2 4 .

Это круг с центром в начале координат с радиусом r 2 . 187

Подобно тому, как функцию y f (x)	изображают графиком,
можно геометрически проиллюстрировать	уравнение	z f (x, y) .
Ставя в соответствие каждой точке (x, y) X	аппликату	z f (x, y) ,
мы получим некоторое множество точек	(x, y, z) в	трехмерном

пространстве, как правило, некоторую поверхность. Поэтому равенство z f (x, y) называют уравнением поверхности.

3.4.2 Приращение функции	z f (x, y) .	Частные
производные и полный дифференциал функции
Понятие непрерывности функции	z f (x, y)	аналогично

понятию непрерывности для функции одной переменной.

Определение 1. Функция z f (x, y) называется непрерывной

в точке (x0	, y0 ) , если lim f (x, y) f (x0 , y0 ) .
	x xo
	y yo
Основные свойства непрерывных функций		y f (x)

справедливы и в кратном случае.

Пусть задана функция z f (x, y) и точка (x, y) X .

Определение	2. Если х получит приращение x , а у —
приращение y , то	z f (x x, y y) f (x, y) — называется

полным приращением функции.

Если изменение функции z происходит лишь при изменении одного из аргументов х или у, то функция получает частные приращения:

x z f (x x, y) f (x, y) , или y z f (x, y y) f (x, y) .

188

Рассматривая приращение одного аргумента, мы фактически

переходим к функции одной переменной.
	Определение	3.		Если	существует конечный предел
lim	f (x x, y) f (x, y)		,	то его	называют	частной производной
x 0	x
функции z f (x, y)		по		аргументу х и		обозначают одним из

символов: z	,	z	,	f (x, y),	f .
x		x		x	x
Геометрическое содержание z						и	z	определяется
					x		y

соответствующими касательными к поверхности z f (x, y) .

Фактически, по определению, каждая частная производная является производной функции одной переменной. Поэтому, при вычислении частных производных можно пользоваться известными правилами и формулами дифференцирования функций одной переменной, считая при этом другую переменную постоянной.

Пример 1. Найти частные производные функций:

			а) z x2 y 2 y ; б) z x y ln y .
	Решение.
	а)	z	2xy2	(у — фиксированное),	z	2 yx2 1 (х —
		x			y

фиксированное);
б)	z	yx y 1 ,	z	x y ln x	1		(х — фиксированное).
			y
	x				y
Пример 2. Найти частные производные функции:
		а) z x4 2xy y3 5 ;					б) z sin	x	cos	y	.
								y		x

189

Решение.

а)

z

4x3

2 y,

z

2x 3y2 .

x

y

б)

z

1

cos

x

cos

y

y

sin

x

sin

y

,

x

x2

y

y

x

y

x

z

x

cos

x

cos

x

cos

y

1

sin

x

sin

y

.

y

y2

y

y

x

x

y

x

Аналогично определяются производные функции трех и более переменных.

Определение 4. Частные дифференциалы определяются как

главные части частных приращений функции:

d

z

z

dx; d

z

z

dy .

x

y

x

y

Определение 5. Полным дифференциалом функции (или

дифференциалом)

z f (x, y)

называют

сумму

ее частных

дифференциалов, т.е.

dz d

z d

z

z

dx

z

dy .

x

y

x

y

Определение

6.

Функция

z f (x, y)

называется

дифференцированной в точке

(x, y) , если ее полное приращение

имеет вид

z dz x y ,

где dz – полный дифференциал

функции,

(x, y) , (x, y)

–

бесконечно

малые при

x 0, y 0 .

Таким образом, дифференциал функции нескольких переменных, как и в случае функции одной переменной, есть главная

(линейной относительно x и y ) часть полного приращения.

190

Геометрическое смысл дифференциала заключается в том, что d( f (x, y)) является приращением аппликаты касательной плоскости к поверхности одной переменной, и базируется на равенстве z dz .

Полный дифференциал функции применяют при

приближенных вычислениях значений функций при условии

z dz , в развернутом виде:

z f (x x; y y) f (x; y) , где x 0, y 0 ,

или

f (x x; y y) f (x; y) f x (x; y) x f y (x; y) y .

Пример 3. Найти полный дифференциал функции z sin x y .

Решение. Найдем частные производные функции:

	z	yx y 1 cos x y ,	z	x y ln x cos x y .
	x		y

dz x y 1 cos x y ( ydx x ln xdy).

3.4.3 Частные производные и дифференциалы высших

	порядков
	Частные производные функции z f (x, y) ;	z	x, y) ;
		x

z (x, y) сами являются функциями тех же переменных, в свою

y

очередь имеют производные по этим переменным:

2

z

z

2

z

z

2

;

;

x

y

2

x

x

y

y

2

z

2

z

z

z

;

.

x y

y x

y

x

y

x

191