Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

2.2.6 Упражнения к разделу 2.2

1. Найти уравнение геометрического места точек, равноудален-

ных от точек (2; 3) и (3;2) .

Ответ: x 5y 0 .

2 Найти уравнение геометрического места точек, расстояние каждой из которых от прямой х 3 равно расстоянию от точки (4; 2) .

Ответ: y2 4 y 2x 11 0 .

3.

Найти уравнение окружности, центр которой находится в

точке (3; 5) и радиус которой равен 4.

Ответ: x2 y2

6x 10y 18 0 .

4.

Найти уравнение окружности, диаметром которой является

отрезок

прямой

3x 4y 12 0 , содержащийся

между осями

координат.

Ответ: x2 y2

4x 3y 0 .

5. Найти центр и радиус окружности 2x2 2 y2

6x 3y 10 0 .

3

3

5

Ответ:

;

;

5 .

2

4

4

6.

Найти длины осей, эксцентриситет и координаты фокусов

эллипса 9x2 25y2 225 .

Ответ: 10;

6;

4

;

( 4; 0) .

5

7.

Найти уравнение эллипса, фокусы которого имеют

координаты ( 4; 0) , а длина большой оси равна 10.

Ответ: 9x2 25y2

225 .

92

8. Найти уравнение эллипса, у которого длина малой оси равна

6 и один из фокусов имеет координаты ( 4; 0) .

Ответ: 9x2 25y2 225 .

9. Найти уравнение эллипса, если известно, что он проходит

через точки M1 (6;4)

и M 2 ( 8; 3) .

Ответ:

x2

y2

1.

100

25

10. Найти эксцентриситет, координаты фокусов и уравнения

асимптот гиперболы

x2

y2

1 .

4

25

1

Ответ:

29; ( 29; 0); 5x 5 y 0 .

2

11. Найти уравнение гиперболы, у которой фокусы имеют

координаты ( 4; 0) и действительная ось равна 6.

Ответ: 7x2 9 y2

63 .

12. Найти уравнение равносторонней гиперболы, проходящей

через точку (3; 1) .

Ответ: x2 y2			8 .
13. Найти координаты вершины и фокуса и уравнения оси
директрисы параболы y2 5y 6x 7 0 .
	1	; 2		2); y 2 0; x 1	0 .
Ответ:			; (2;
	2

14. Найти уравнение параболы, вершина которой находится точке (3; 2) и фокус в точке (5; 2) .

Ответ: y2 4 y 8x 28 0 .

93

15. Привести уравнение кривой второго порядка к

каноническому виду и построить:

1)9x2 4 y2 18x 8y 23 0 .

2)16y2 9x2 32y 54x 209 0 .

3)y 2 2x 2 y 7 0 .

4)3x2 6x y 1 0 .

Ответ:
1)	x'2		y'2	1	; эллипс с центром в точке O (1, 1) .
4			9		1

2)y'2 x'2 1 ; O1 ( 1, 3) ; гипербола, пересекающая ось Oy . 9 4

3)y'2 2x'; O1 (4, 1); парабола с осью, параллельной оси OX

4)y' 3x'2 ; O1 ( 1, 1) .

16. Найти точки равновесия и области дохода и затрат компании, изготовляющей ежемесячно х изделий стоимостью р гривен, а сумма общих ежемесячных затрат уз имеет такую закономерность:

1)р 4; уз 2,8х 600 ;

2)р 7; уз 1000 5х ;

3)р 10; уз 80 4х 0,1х2 ;

4)р 10; уз 2000 100х .

Ответ: 1) 500; 2) 500; 3) 40 или 20; 4) 400.

94

2.3 Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к главе 2

1. Даны три силы P , Q , R , приложенные к одной точке. Вычислить работу равнодействующей силы, когда ее точка приложения перемещается из точки В в точку С .

№	P	Q	R	В	С
1	2,-1, 3	1, 2, 0	-1, 0, 0	1, 1, 1	2, 1, 1
2	1, 2, 0	-1, 0,-1	2, 1, 2	1, 2, 3	1, 1, 1
3	-1, 1, 1	2, 1, 1	1, 2, 2	1, 0, 0	2, 1,-1
4	1, 0, 1	1,-2, 2	-1, 2, 1	2,-1, 0	2, 0, 1
5	-1, 2, 1	0, 0, 1	0, 1, 1	3,-1, 2	1, 2, 1
6	0, 1, 1	1, 2,-2	2, 1, 3	4, 2,-1	2, 1, 1
7	1,-1, 1	0,-1, 1	1, 2, 1	3, 1, 2	2, 1, 0
8	2, 1, 3	1, 2,-1	0,-1, 2	1,-1, 0	0, 1, 2
9	2,-1, 3	2, 1,-3	-1, 2, 1	2, 0, 1	4, 2, 1
10	1,-1, 3	-2, 0,-1	1, 2, 0	0, 2, 1	3, 1, 1
11	1, 0, 2	-2, 0, 1	2, 1, 1	0, 0, 1	1,-1, 0
12	1, 1, 0	2, 0, 0	1,-1, 2	1,-1, 1	2, 1, 1
13	-1, 0, 2	2, 1,-1	1,-1, 1	2, 1, 0	1,-1, 1
14	1, 1, 1	3, 2,-2	-2, 1, 0	3, 1,-2	1,-1, 2
15	2,-1, 0	1,-2, 1	-1, 0, 2	2,-1, 0	2, 1, 1
16	1,-1, 2	2, 1,-1	-2, 1, 1	2, 2, 1	1, 1, 1
17	2, 0, 2	1,-1, 2	0,-1,-2	3, 1,-1	2, 1, 4
18	2, 1, 0	1, 3,-1	-2, 1, 3	2,-1, 1	2, 1, 2
19	1, 2, 3	2, 1, 1	-1, 2,-2	4, 1,-1	3, 1, 1
20	1, 0,-2	1, 2, 0	1,-2, 1	3, 2, 2	2, 2, 3
21	2,-1, 1	1,-1, 1	-1, 0, 0	3,-1, 1	2, 3, 1
22	1, 2,-1	2,-1, 3	1,-2, 0	2,-2, 1	1, 1,-1
23	3, 1, 2	1, 2,-1	2,-1, 0	1, 1, 2	2, 1, 1
24	2, 1,-3	1, 2, 2	-2,-1, 3	1, 0, 2	1, 2, 1
25	-2, 0, 1	1, 2, 0	-1, 2, 0	-1, 0, 1	2,-1, 1
26	1, 0,-1	2,-1, 3	3, 2,-2	3, 0,-2	1, 2, 3
27	0, 2, 3	3, 1, 2	0, 2, 0	2,-1, 3	3, 1, 0
28	1, 2, 3	-1, 1, 1	2,-1, 3	3,-2, 1	4, 0, 2
29	3, 2, 1	1,-1, 2	-1, 2, 1	2, 0,-1	3, 2,-1
30	2,-1, 2	0, 2, 3	2, 0,-1	1,-2, 1	2, 2, 1

95

2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на

векторах m и n , если известны:

№	m	n	R	| b |	a,b)
1	a 2b	2a b	1	2	30O
2	2a b	a 2b	2	3	45O
3	a 2b	2a 3b	3	4	60O
4	2a 2b	3a 2b	4	5	90O
5	2a 3b	2a b	5	6	120O
6	3a 3b	3a 2b	6	4	150O
7	3a 3b	3a b	2	1	135O
8	3a b	3a 2b	7	2	120O
9	3a b	a 3b	5	2	90O
10	a 3b	a 2b	8	3	30O
11	a 3b	a b	6	1	45O
12	2a b	a b	5	4	135O
13	a b	3a 2b	4	2	150O
14	a b	3a b	2	5	120O
15	3a b	2a b	1	3	135O
16	a 3b	a 4b	1	3	90O
17	a 4b	a 4b	2	1	30O
18	a 4b	3a b	3	2	60O
19	a 4b	a 2b	8	3	45O
20	4a b	2a b	9	2	120O
21	a b	a b	4	5	135O
22	a b	a b	2	2	30O
23	a 2b	a 3b	3	2	45O
24	2a b	a b	4	3	90O
25	a 4b	2a b	3	1	30O

96

26	a b	a 3b	2	3	45O
27	2a 3b	a 2b	3	3	120O
28	a 2b	a 3b	2	1	135O
29	a 4b	a b	3	2	60O
30	a b	a b	2	3	30O

3. Даны вершины треугольника АВС. Найти:

1)длину стороны ВС;

2)уравнение ВС;

3)уравнение высоты АМ;

4)длину высоты АМ;

5)площадь треугольника АВС;

6)величину угла В;

7)координаты точки пересечения медиан треугольника.

№	А	В	С	№	А	В	С
1	1, 1	-3,-2	3,-4	16	3, 0	-1,-6	-3, 1
2	1,-1	-3, 1	3, 3	17	3, 1	-1, 4	-3,-1
3	1, 2	-3,-1	0,-2	18	3,-1	-1, 1	0,-4
4	-1, 1	-3,-2	2,-2	19	0, 3	6,-1	-1,-3
5	-1, 2	6, 0	0,-2	20	0,-3	4, 6	-1,-2
6	-1, 0	3, 4	6,-2	21	-3, 0	2, 3	6,-1
7	0, 1	4, 3	6,-1	22	3, 4	-1, 1	2,-1
8	1, 0	-3,-2	3,-3	23	4, 3	6,-1	1, 0
9	0,-1	-6, 1	-4,-5	24	4,-3	1, 1	7, 2
10	2, 1	-3, 0	-1,-5	25	-3, 4	0,-2	6, 1
11	2,-1	0, 6	-5, 0	26	1, 0	0, 2	-1, 1
12	2, 3	-2, 5	-6, 0	27	0, 1	-2, 0	-1,-1
13	-3, 2	2, 3	6, 1	28	2, 1	0, 3	-1, 2
14	3, 2	-2, 5	-1, 5	29	-1, 0	2, 2	5,-2
15	-3,-2	0,-5	5, 0	30	0,-2	5, 2	7,-4

97

4. Даны вершины пирамиды ABCD. Найти:

1)периметр основания АВС;

2)угол между ребрами АВ и AD;

3)площадь грани АВС;

4)уравнение плоскости АВС;

5)проекцию АВ на AD;

6)объем пирамиды ABCD;

7)длину высоты пирамиды DO;

8)канонические уравнения прямой, проходящей через точку D

перпендикулярно плоскости ABC.

№	A	B	C	D
1	1, 0, 0	0, 2, 1	2, 3, 4	-2, 1, 3
2	2, 0, 0	1, 2, 2	-1, 1, 1	3,-1, 1
3	3, 0, 0	1, 1, 1	2, 1, 0	-1, 2, 2
4	-1, 0, 0	2, 1, 0	3, 2,-1	1, 1, 1
5	-2, 0, 0	2, 1, 2	3,-1, 2	1, 2, 1
6	-3, 0, 0	3, 1, 1	2,-1, 2	1, 2, -1
7	1, 1, 0	2, 0, 1	1, 3, 0	0, 0, 4
8	1, 2, 0	-2, 0, 1	0, 3, 4	3, 1, 2
9	1, 3, 0	3, 1, 2	-1, 2, 1	-2, 1,-1
10	1,-1, 0	2, 1, 1	-1, 2, 2	0, 0, 3
11	1,-2, 0	2, 0, 0	0,-2, 1	4, 1, 2
12	1,-3, 0	3, 0, 1	2, 1, 2	-1, 2, 3
13	2, 1, 0	3, 2, 2	1, 0, 1	-1, 3, 3
14	2, 2, 0	1, 3, 1	-1, 1, 2	3,-1, 3
15	2,-2, 0	-1, 3, 4	-1, 4, 2	1,-2, 2
16	-2, 1, 0	1,-1, 1	2, 2, 2	3, 0, 3
17	-2,-1, 0	1, 1,-1	3, 2, 1	4, 0, 2
18	2, 0, 1	3, 2, 2	-1, 1, 0	0,-1, 3
19	3, 0, 1	4, 2, 2	2,-1, 1	-2, 2, 0
20	1, 0, 1	2,-2, 3	0, 1, 2	3, 3, 0
21	-2, 0, 1	2, 2, 2	1, 1, 3	-1, 3,-1
22	-2, 0,-1	2,-1, 0	1, 1, 1	3, 4, 2
23	2, 0, 2	3, 1, 1	1, 2,-1	-1, 3, 0

98

24		3, 0, 2			2, 2, 1		4, 1, 0			-1, 4, 3
25		3, 0, 4			1, 1, 3		2,-1,-1			4, 2, 1
26		2, 0, 4			1, 1, 2		-1, 2, 0			0,-1, 3
27		2, 0, 0			0, 0, 0		1,-1, 0			1, 1, 0
28		0, 0, 1			0, 0,-2		1, 0, 0			0,-1, 1
29		1, 1,-1			1, 0, 0		0, 1, 0			0, 0, 1
30		0, 1,-1			1,-1, 0		2, 1,-1			3, 2, 1
5.		Даны векторы			x , p, q, r	в некотором базисе. Показать, что
векторы		p, q, r образуют базис. Найти координаты вектора								x в этом
базисе.
№		x			p		q			r
1		-2, 4, 7			0, 1, 2		1, 0, 1			-1, 2, 4
2		6, 2,-1			1, 3, 0		2,-1, 1			0,-1, 2
3		1,-4, 4			2, 1,-1		0, 3, 2			1,-1, 1
4		-9, 5, 5			4, 1, 1		2, 0,-3			-1, 2, 1
5		-5,-5, 5			-2, 0, 1		1, 3,-1			0, 4, 1
6		13, 2, 7			5, 1, 0		2,-1, 3			1, 0,-1
7		-9, -1, 7			0, 1, 1		-2, 0, 1			3, 1, 0
8		3,-3, 4			1, 0, 2		0, 1, 1			2,-1, 4
9		3, 3,-1			3, 1, 0		-1, 2, 1			-1, 0, 2
10		-1, 7,-4			-1, 2, 1		2, 0, 3			1, 1,-1
11		6, 5,-4			1, 1, 4		0,-3, 2			2, 1,-1
12		5,15, 0			1, 0, 5		-1, 3, 2			0,-1, 1
13		6,-1, 7			1,-2, 0		-1, 1, 3			1, 0, 4
14		2,-1,11			1, 1, 0		0, 1,-2			1, 0, 3
15		11, 5,-3			1, 0, 2		-1, 0, 1			2, 5,-3
16		8, 0, 5			2, 0, 1		1, 1, 0			4, 1, 2
17		3, 1, 8			0, 1, 3		1, 2,-1			2, 0,-1
18		8, 1,12			1, 2,-1		3, 0, 2			-1, 1, 1
19		-9,-8,-3			1, 4, 1		-3, 2, 0			1,-1, 2
20		-5, 9,-3			0, 1,-2		3,-1, 1			4, 1, 0
21		-5, 5,6			0, 5, 1		3, 2,-1			-1, 1, 0
22		8, 9, 4			1, 0, 1		0,-2, 1			1, 3, 0
23		23,-4,30			2, 1, 0		1,-1, 0			-3, 2, 5
24		3, 1, 3			2, 1, 0		1, 0, 1			4, 2, 1

99

25	-1, 7, 0	0, 3, 1	1,-1, 2	2,-1, 0
26	11,-1, 4	1,-1, 2	3, 2, 0	-1, 1, 1
27	0,-8, 9	0,-2, 1	3, 1,-1	4, 0, 1
28	-3, 2,18	1, 1, 4	-3, 0, 2	1, 2,-1
29	8,-7,-13	0, 1, 5	3,-1, 2	-1, 0, 1
30	2, 7, 5	1, 0, 1	1,-2, 0	0, 3, 1

6. Преобразовать уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, построить ее и найти параметры, определяющие данную линию.

1). x2 4 y2 6x 8y 3 0.			2). y2 2x 4 y 2 0.
3). x2 4 y2 8x 24y 24 0.			4). x2 2x y 0.
5). y2 8y 4x 0.			6). x2 2 y2 5x 4 y 6 0.
7). x2 6x 2 y 5 0.			8). x2 3y2 4x 6 y 1 0.
9). 2x2 5y2 12x 10y 13 0.			10). 2x2 3y2 2x 6 y 0.
11). x2 y2 6x 4 y 4 0.			12). 4x2 y2		8x 6 y 0.
13). y2 3y 2x 0.			14). 2x2 4x y 5 0.
15). x2	10x 4 y 13 0.		16). 3x2 2 y2 6 y 0.
17). x2	y2 4x 6 y 9 0.		18). 3x2 6x y 9 0.
19). 3y2 5x 6 y 13 0.			20). x2 7x y 12 0.
21) 7x2	5y2 14x 20y 22 0		22). 3x 2 y2		4 y 1 0.
23). 4x2 3y2		18y 15 0.	24). x2	2 y2	4 y 0.
25). x2	y2 4x 12 7 0.		26). x2	2 y2	4 y 0.
27). 5x2 4 y2		16y 36 0.	28). x2	y2 8x 0.
29) 9x2 4 y2		30x 12y 2 0.	30). x2	4 y2	16y 0.

100

Глава 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

3.1 Функция, предел, непрерывность функций

3.1.1 Функция, основные понятия

Пусть даны два независимых множества Х и Y.

Определение 1. Соответствие f , которое каждому элементу

x X сопоставляет один и только один элемент	y Y , называется
функцией и записывается y f (x) , x X .
Определение 2. Множество Х называется областью
определения функции f и обозначается Д( f ) .	Множество всех
y Y называется множеством значений функции	f и обозначается

E( f )

Пример 1. Найти область определения функции y 6 5x x2 .

Решение. Функция у существует, если подкоренное

выражение неотрицательное. Поэтому область определения находится из неравенства:

	6 5x x2	0;
	x2 5x 6 0;
	(x 2)(x 3) 0.
+	–	+
	2	3

Таким образом, областью определения данной функции есть отрезок [2; 3] .

101