Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

3.1.7 Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделу 3.1

1. Вычислить (без правила Лопиталя) пределы:

	1).	lim	x10 x2 1		;		lim	x2 3x 2	;
			5x10 x3 2					x2 1
		x					x 1
	e2x 1		x 1		2 x
lim		;	lim		.
x 0	sin 3x		x x 1
	2).	lim	5x8 3x3 2x			;	lim	x2 4	;
			4x8 x2 3					x2 3x 2
		x					x 2

lim

x

lim

x 0

lim

x 0

lim

x 0

x10 x2 1 ; 5x10 x3 2

3). lim

x

arctg4x ; 1 e2 x

4). lim

x

ln 1 3x ; arctg2x

5). lim

x

esin2x 1 ;

arcsin 3x

x2 1

3x2

lim

.

2

1

x x

x9 x8 10

;

lim

x3 1

;

5x9 x 2

x2

4x 3

x 1

x 1 3x

lim

.

x x

1

x10 1

;

lim

x2

4x 3

;

3x8 x 3

x3 1

x 1

2x 1 2 x

lim

.

x 2x 3

2x7 3x2 4

; lim

x2 5x 6

;

5x8 x3 1

9 x2

x 3

2 3x x

lim

.

3x

x 5

lim		17 x 4		;
		x 1
x 1

lim	3	x 7		;
	x 2
x 2

lim		4 x 4		;
		x 12
x 12

lim			x 4			;
x 4 5				x 21

lim		2 x		;
x 2		38 x 6

122

6). lim

x

sin 3x lim ; x 0 ln 1 2x

7). lim

x

lim arctg5x ; x 0 1 cos x

8). lim

x

1 cos3x lim ; x 0 ln 1 4x

9). lim

x

lim esin3x 1; x 0 arctg2x

10). lim

x

4x5 3x3 2 ; 5x5 x 4

1 3x 7 x lim x 3x 1

10x6 x5 1;

2x8 x3 3

3x 1 5 x lim x 3x 2

7x9 2x2 4 ; 14x9 x3 1

x2			1		x2
lim
		2
			1
x x

x12 x9 1 ; x11 2x 3

x 2 3x lim . x x 1

3x8 2x2 1;

4x8 3x3

lim	x2 16		;
	x2	6x 8
x 4
.
lim	x2	7x 10		;
		8 x3
x 2
.
lim	x3 125		;
	x2	6x 5
x 5
.
lim	x2	3x 2	;
		x3 8
x 2

lim		x2 9	;
		8x 15
x 3 x2

	ln 1 2x				2x 3 5 x
lim			;	lim		.
x 0	arcsin 3x			x	2x 4

11). lim

x

lim 1 etg3x ; x 0 sin 2x

5x7 3x2 4 ; 4x7 x 1

x 2 4 x lim . x x 2

	lim	x2 1	;
		x2 6x 5
	x 1

lim	5		30 x		;
		x 5
x 5

3		x 1 1
lim				;
		x 2
x 2

lim	2 3	x 2		;
	x 10
x 10

	lim		14 x		;
			x 5 3
	x 14

lim		17 x 4		;
		x 1
x 1

	lim	3 3	x 25	;
		x 2
	x 2

123

12). lim

x

arctg5x lim ; x 0 ln 1 4x

13). lim

x

4x10 3x2 1

6x10 x 3 ;

1 2x 3x lim x 3 2x

2x5 x2 3 ;

3x6 x 1

	lim	x2	6x 5	;
			x3 1
	x 1
	.
	lim		x3 8	;
		x2	4x 4
	x 2

arcsin 2x

2x2 1

3x2

lim

;

lim

.

3 x

2

x 0

e

1

2x

1

x

14).

lim

5x6 x 5

;

lim

x2

2x 1

;

4x4 2x 1

x3 1

x

x 1

ln(1 tg x)

1 x2

2 x2

lim

;

lim

.

x 0

arcsin 3x

2 x

2

x

15).

lim

3x9 8x3 2

;

lim

x2 36

;

x

9x9 4x 1

x 6

x2

7x 6

ln 1 5x

2x2 1

4 x2

lim

;

lim

.

x 0

e

tg 2 x

1

2x

2

1

x

16).

lim sin 5x ;

x 0 e3x 1

17).

lim

x

lim

x

5x7 x2 2 ;

4x7 x 1

x 1 3x lim x x 2

3x5 2x2 5 ; 4x5 x 1

lim	x2	3x 2	;
		x2 4
x 2

.

lim	x2	3x 2	;
		x3 4
x 2

	arcsin 3x		x2			2	2 x
lim		;
	ln(1 2x)		lim	x	2	1	.
x 0			x

lim	2	x 5		;
	x 9
x 9

lim		x 2 5		;
		x 23
x 23

lim 3 x 2 ; x 11 11 x

lim	2 3		1 x		;
	x	9
x 9

	lim		x 1		;
		17 x 4
	x 1

	lim	x 2			;
		3	x 7
	x 2

124

	18).		lim	10x4 x3 1			;	lim	x2	4x 3	;
				4x5 x 2						x3 1
			x					x 1
	1 e5x			2x 1				2 x
lim		;		lim				.
x 0	arctg2x			x 2x 1
	19).		lim	x11 2x		;		lim		x3 1	;
				3x11 5					x2	4x 3
			x					x 1
	arctg5x			3x 1				3x
lim			;	lim				.
x 0	ln(1 2x)			x 3x 2

20). lim

x

lim arcsin 2x ;

x 0 1 esin3 x

21). lim

x

lim ln(1 3x) ; x 0 sin 2x

22). lim

x

lim arctg3x ; x 0 1 cos 2x

23). lim

x

lim ln(1 3x) ; x 0 1 cos 4x

3x4 x 3

;

lim

x2 9

;

4x6 3x

x2 5x

6

x 3

1 2x

x

lim

.

x 3

2x

6x5 x 1

;

lim

x2 6x 8

;

3x4 x2 1

x2 16

x 4

2

6 x

lim 1

.

x

x

5x5 1

;

lim

x3 8

;

6x7 x

2

x2 7x 10

x 2

1 3x

4 x

lim

.

x 2

3x

7x8 x2 2

;

lim

x2 6x 5

;

8x8 2x 1

125 x3

x 5

1 x2

2 x

lim

.

2

1

x x

	lim		x 12			;
				4 x
	x 12 4

lim		x 21		5	;
		4 x
x 4

lim	6		38 x		;
		x 2
x 2

lim			5 x			;
x 5 5				30 x

	lim		x 2			;
			3	x 1
	x 2 1

	lim		10 x		;
		3	2 x 2
	x 10

125

24).

lim arctg4x ;

x 0 1 esin3x

25).

lim arcsin 5x x 0 ln(1 4x)

		26).
	lim	sin 3x	;
		1 etg 2 x
	x 0
		27).

lim

x

lim

x

;

lim

x

lim

x

10x7 2x 3

;

lim

8 x3

;

5x9 7

x2 3x 2

x 2

2 x

4 x

lim

.

x

x 1

14x10 3x 1

;

lim

x2 8x 15

;

5x7 x 2

25 x2

x 5

3 2x 3

lim

.

x 4

2x

3x4 x2 1

;

lim

x2 6x 5

;

6x4 2x

3

x2 1

x 1

x 2

4 x

lim

.

2

x x

5x6 x 2

;

lim

1 x3

;

7x10 1

x2 6x 5

x 1

ln(1 5x)

2x 1

5 x

lim

;

lim

.

x 0

arcsin 4x

x 2x 3

28).

lim

4x5 x2 1

;

lim

x2

4x 4

;

5x5 x

2

x3 8

x

x 2

e2 x 1

x2 3

4 x2

lim

;

lim

.

2

x 0 arctg5x

3

x x

29).

lim

7x10 2x 2

;

lim

x3 1

;

8x6 x 1

x2

2x 1

x

x 1

arcsin 4x

1 2x2 x

lim

ln(1 tgx)

;

lim

3

2x

2 .

x 0

x

lim 3 x 5 ; x 14 14 x

	lim	x 7			;
		2 3	1 x
	x 7

	lim	2 x			;
		3 3	x 25
	x 2

	lim	9 x			;
		2	x 5
	x 9

lim		23 x		;
x 23		x 2 5

lim		x 11				;
x 11 3			x	2

126

30).

lim

5x9 3x3 1

;

lim

x2 7x 6

;

lim

9 x

;

4x8 x 2

36 x2

x

x 6

x 9 2

3

1 x

1 etg3x

3x2 1

3

lim

;

ln(1 4x)

lim

3x

2

1

.

x 0

x

2. Исследовать на непрерывность функцию и

классифицировать точки разрыва:

	x 1,				если :		x	1;
		2	,		если :	1	x	2;
	1). y x
					если :		x	2.
	4,
	1 x,				если :		x	0;
									3
	3). y sin x,				если :	0	x			;
									2
									3
	1,				если :		x				.
									2
	cos x,				если :		x	0;
		x	,		если :	0	x	3;
	5). y e
	1,				если :		x	3.
	0,				если :		x 2;
		x		2	, если :	2 x 1;
	7). y 3
		1,			если :		x 2.
	x
	2,				если :		x 1;
		2	2, если :			1 x 2;
	9). y x
					если :		x 2.
	x,

x

4,

если :

x

0;

2).

если :

0

x

;

y tg x,

4

1,

если :

x

.

4

x,

если :

x

0;

4).

если :

0

x

;

y ctg x,

2

3,

если :

x

.

2

x,

если :

x

0;

1

6).

y

,

если :

0

x

1;

x

если :

x

1.

1,

x2 ,

если :

x

0;

0

2;

8).

y x,

если :

x

если :

x

2.

1,

2,

если :

x 0;

2

,

если : 0 x 1;

10). y x

(x 2)2 , если :

x 1.

127

cos x, если :		x 0;
	если : 0	x 3;
11). y 1,
	2, если :	x 3.
x

1,		если :		x ;
						2
		если :		x		;
12). y sin x,			2		2
	x, если :			x	.
					2
2

x 2, если :

x 2;

2x, если :

x 0;

2

,

если :

2 x 0;

если : 0 x 3;

13). y x

14). y 2,

sin x,

если :

x 0.

5 x, если :

x 3.

4

x, если :

x 0;

x 3,

если :

x 1;

если : 0 x

;

2

1, если : 1

x 1;

15). y ctg x,

2

16). y x

x,

если :

x 1.

3

, если :

x .

x

2

2

x,

если :

x 0;

2x,

если :

x 0;

2

1, если : 0

x 1;

17). y 2x 1, если : 0 x 2;

18). y 2x

7 x2 , если :

x 2.

1,

если :

x 1.

x, если :

x 2;

2,

если :

x 0;

4

если :

2 x 0;

3

,

если : 0 x 2;

19). y x,

20). y x

1

,

если :

x 0.

10 x, если :

x 2.

x

x 1, если :

x 0;

sin x, если :

x 0;

2

, если : 0 x 2;

если : 0 x

;

21). y x

22). y tg x,

2

если :

x 2.

4,

если :

x .

2,

2

128

23).

25).

27).

29).

если :

x

;

3,

2

если :

x ;

y sin x,

2

x .

x , если :

1, если :

x

;

x

4

x ;

y ctg x, если :

4

x .

x,

если :

x,

если :

x 1;

2

, если :1

x 3;

y (x 2)

1,

если :

x 3.

x

3,

если :

x 1;

x

если : 1 x 2;

y 2,

1

2, если :

x 2.

x

2,				если :	x 2;
	2	4,		если : 2	x 2;
24). y x
(x 2)			2	, если :	x 2.

			4, если :				x 2;
	x
26).						если : 2 x 0;
	y x,
	1		,			если :	x 0.
	x
	cos x, если :						x 0;
				2	,	если : 0 x 2;
28). y x
			6, если :				x 2.
	x
	x2 ,					если :	x 0;
			1, если : 0				x 1;
30).	y x
	ln x,					если :	x 1.

129

3.2 Дифференциальное исчисление функции одной

переменной
3.2.1 Производная функции в точке
Определение 1. Производной функции y f (x)								в точке x0
называется	предел		отношения		приращения			функции
y f (x x) f (x)		к	приращению			аргумента		x , когда
приращение аргумента стремится к нулю, т.е.:
	f (x) lim			f x0 x f x0			.
			x 0		x
Определение 2.		Функция y f (x) ,				имеющая производную в
каждой точке интервала			(a; b) , называется дифференцированной в

этом интервале.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.

Пусть функции u u(x) и υ υ(x) – две дифференцируемые в

некотором интервале (a; b) функции.

Теорема 2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u υ)' u' υ' .

Теорема 3. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй сомножитель, плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

(uυ)' u' υ uυ' .

(1)

Теорема 4. Производная частного двух функций u(x) , если

υ(x)

130

υ(x) 0 равна дроби, числитель которой есть разность

произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

'

u

u'υ uυ

, υ 0 .

(2)

υ2

υ

Производные основных элементарных функций

xα ' αx 1 ;

(3)

1

x '

,

(х

0);

(4)

2

x

1 '

1

0);

,

(х

(5)

x2

x

x'x

1;

(6)

sin x ' cos x;

(7)

cos x ' sin x;

(8)

tg x '

1

,

x

n, n Z

;

(9)

cos2

x

2

ctg x '

1

, x n, n Z ;

(10)

sin 2

x

(arcsin x)

1

,

х

1 ;

(11)

1 x2

,

1 ;

(arccosx)

1

х

(12)

1 x2

(arctgx)

1

;

(13)

1 x2

131