Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

Определение 2. График функции y f (x) называется

вогнутым на интервале (a; b) , если он расположен выше ее любой касательной на этом интервале.

Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью

следующей теоремы:

Теорема 1. Если функция y f (x) во всех точках

интервала (a; b) имеет отрицательную вторую производную, т.е. f (x) 0 , то график в этом интервале выпуклый. Если f (x) 0, x (a; b) – график вогнутый.

Определение 3. Точка, при переходе через которую кривая изменяет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется

точкой перегиба.

Для нахождения точек перегиба графика функции

используется следующая теорема:

Теорема 2. Если вторая производная f (x) при переходе

через точку x0 , в которой она равна нулю или не существует,

меняет знак, то точка графика с абсциссой		x0	есть точка
перегиба.
Пример 1. Найти интервалы вогнутости, выпуклости и точки
перегиба кривой, заданной уравнением y 3x4 8x3		6x2	12 .
Решение. Найдем производные первого и второго порядков:
y 12x3	24x2 12x ; y 12(3x2 4x 1) .
Приравняем y	к нулю:

3x2 4x 1 0 ,

162

отсюда находим корни:

		x		1	, x			1 .
							2
		1		3
Решая неравенство			y 0,					y 0 с помощью метода
	1
интервалов, имеем: 3 x		x	1 0			,
	3

+

1

3

– +

1

таким образом, на интервалах

кривая вогнута, а на интервале

	1		335		1; 13
Точки		;		,
	3		27

				1
;					1;		производная	y 0 ,
				3
	1
		; 1 кривая выпукла.
	3

есть точки перегиба кривой.

3.3.4 Асимптоты

Определение 1. Асимптотой кривой называют прямую, к

которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат. Различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты.

Определение 2. Вертикальной асимптотой графика функции

y f (x)	называют прямую x a , когда		lim f (x) , или
			x a
lim f (x) , или		lim f (x) .
x a 0		x a 0

163

Определение 3. Наклонной асимптотой графика функции

y f (x) при	x называют прямую y kx b ,			если функцию
можно изобразить в виде f (x) kx b (x) ,			где (x) 0 , когда
x ( x ).
Если	k 0 , то	b lim f (x) . Тогда	y b	–		уравнение
		x
горизонтальной асимптоты.
Пример 1. Найти асимптоты графика функции				y	x	3 4	.
						x2

Решение. Функция определена и непрерывна в интервалах

(, 0) и (0, ) . Ось 0х функция пересекает в точке x 34 .

С осью 0 у точек пересечения нет. Найдем асимптоты графика функции:

1)

lim

x3 4

, т.е. x 0 — вертикальная асимптота;

x2

x 0

2)

k

lim

x3 4

1 ,

x x2

x

x3 4

x3 4 x3

b

lim

0 ,

lim

x

2

x

x

2

x

x

итак,

y x

–

наклонная асимптота;

3)

lim

x3 4

,

таким образом, горизонтальной асимптоты

x2

x

нет.

164

3.3.5 Правило Лопиталя

Правило Лопиталя-Бернулли является эффективным средством нахождения пределов функции при раскрытии

неопределенностей.

0

Раскрытие неопределенностей типа

или

.

0

Если функции f (x) и g(x) :

1) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 ,

за исключением, возможно,

самой точки x0 ,

причем g (x) 0 в этой

окрестности;

2) функции f (x) и

g(x)

есть одновременно или бесконечно

малыми, или бесконечно большими при x x0 ;

3) существует конечный предел

lim

f (x)

, тогда:

g (x)

x x0

lim

f (x)

lim

f (x)

.

x x0

g(x)

x x0

g (x)

Раскрытие неопределенностей типа:

0 , , 1 , 00 , 0 .

1) Неопределенность 0

( lim f (x) g(x),

когда lim f (x) 0,

x x0

x x0

lim g(x) ) сводится к

неопределенности

0

или

таким

0

x x0

образом:

f (x) g(x)

f (x)

0

g(x)

или

.

1

0

1

g(x)

f (x)

165

2)

Неопределенность

( lim ( f (x) g(x)),

когда

x x0

lim

f (x) 0, lim g(x) ) сводится к неопределенности

0

или .

x x0

x x0

0

Так,

например, преобразив разность функций f (x) и

g(x) в

1

1

f (x) g(x)

0

виде

g(x)

f (x)

, имеем неопределенность

.

1

0

f(x) g(x)

3)Неопределенности типа 1 , , 00 сводятся к виду 00 , с

помощью логарифмирования	функции вида f (x) g ( x) или
представляя функцию f (x) g ( x)	в виде eg ( x) ln f ( x) .

Пример 1. Вычислить lim xsin x .

x 0

Решение. Если x 0, то имеем неопределенность 00 .

Прологарифмируем:

ln xsin x sin ln x .

Если x 0, то sin x 0 , а ln x . Тогда:

sin x

0

(sin x)

cos x

ln

(ln x)

1

lim

1

lim

2

1

0

x 0

x 0

(ln x)

(ln x)

x

ln2 x

2 ln x

1

lim

lim

x

2 lim

ln x

1

1

1

x 0

x 0

x 0

x

x2

x

166

		1
lim			x
		1
x 0
			x2

2 lim x 0 .

x 0

Тогда lim xsin x e0 1.

x 0

Пример 2. Вычислить предел lim

ln x

.

x 1

x 1

Решение. Проверим выполнение условий теоремы Лопиталя.

Пусть

f (x) ln(x), g(x) x 1.

Будем

рассматривать

полуинтервал (1, b] , где b > 1 — произвольное число. Тогда

lim f (x) lim g(x) 0 .

x 1

x 1

Находим

производные:

f (x)

1

, g (x) 1 0

для любого

x

x (1;b] , поэтому

1

f (x)

lim

lim

x

1.

g (x)

1

x 1

x 1

Выполняются все три условия теоремы Лопиталя. Поэтому

1

f (x)

lim

lim

x

1.

g (x)

1

x 1

x 1

3.3.6 Общая схема исследования функции и построение графиков

Прежде чем построить график функции, необходимо провести исследования функции, а именно:

1. Найти область существования функции.

167

2. Найти точки пересечения графика с координатными осями,

интервалы знакопостоянства функции.

3.Исследовать функцию на периодичность, четность и нечетность.

4.Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.

5.Исследовать функцию с помощью первой производной

(экстремумы функции и интервалы монотонности).

6. Исследовать функцию с помощью второй производной

(точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости).

7.Найти асимптоты графика функции.

8.На основе проведенного исследования заполнить таблицу

(не обязательно) и построить график функции.

Пример 1. Исследовать и построить график функции

y x3 . x2 1

Решение

1. Область определения функции

Заданная функция дробно-рациональная, поэтому она не

существует в точках, где знаменатель равняется нулю, x2 1 0 ,

откуда x 1.

Итак, область существования функции есть объединение множеств

( ; 1) ( 1; 1) (1; ).

2. Точки пересечения графика с осями координат

а) Пусть у = 0 , тогда х = 0.

168

б) Пусть х = 0 , тогда у = 0.

Итак, график пересекает координатные оси в точке (0; 0), т.е.

график проходит через начало координат.

3. Периодичность функции

Функция непериодическая.

4. Четность, нечетность функции

	(x)3		x3
y(x)				y(x) ,
	(x)2 1		x2 1

функция нечетная, т.е. график симметричен началу координат.

5. Точки разрыва функции, характер их разрыва

Точками разрыва являются точки х = 1, х = –1. Исследуем их характер, найдем односторонние пределы:

lim f (x) lim

x3

;

lim f (x) lim

x3

;

x2 1

2 1

x 1 0

x 1 0

x 1 0

x 1 0 x

lim f (x)

lim

x3

;

lim

f (x) lim

x3

.

x2 1

x2 1

x 1 0

x 1 0

x 1 0

x 1 0

Итак, x 1 — есть точки разрыва второго рода.

Прямые x 1 — являются вертикальными асимптотами.

6. Исследование функции с помощью первой производной

а) Найдем y :
y	(x2	1) 3x2 x3 2x		x2	(x2		3)		.
		(x2 2)2		(x2		1)		2

б) Найдем точки экстремума, решив уравнение:

169

	y 0,			x2 (x2 3)				0 .
				(x2	1)2
Итак, x1 0 ,	x2 3 , x3					3 – стационарные точки.

б) Найдем интервалы возрастания, убывания функции, решив неравенство y 0, y 0 .

Разложив на множители и использовав метод интервалов,

имеем:

x2 (x	3) (x		3) (x 1)2 (x 1)2		0;
x2 (x	3) (x		3) (x 1)2 (x 1)2		0.

Итак, при x ( ; 3) (3; ) функция возрастает.

+

–

–

–

–

+

–1

3

3

При x (

3; 1) ( 1; 0) (0;1) (1; 3) функция убывает.

3

3

.

x

3 — точка max, y

max

3

1

2

3

.

3

x

2

3 — точка min, y

min

3

2

7. Исследование функции с помощью второй производной.

а) Найдем y :

y

(x2

1)2

(4x3 6x) (x4

3x

2 ) 2 (x2 1) 2x

2x(x2 3)

.

(x2 1)4

(x2 1)3

б) Решим неравенство y 0;

y 0.

170

	2x(x2 3)		0;	2x(x2 3)	0.
	(x2 1)	3		(x2 1)3

Сократив на положительный множитель, получим:

x(x 1)3 (x 1)3 0; x(x 1)3 (x 1)3 0.

С помощью метода интервалов имеем:

–	+				–		+
-1			0			1
Итак, при x ( ; 1) (0;1)				кривая выпуклая.
При x ( 1;0) (1; ) кривая вогнутая.
в) Находим точки перегиба.
Решим уравнение		2x(x2 3)		0;	x 0	– точка перегиба, т.к.
		(x2 1)3

при прохождении через точку х = 0 производная

y меняет знак с +

на –.

8. Находим наклонную асимптоту y kx b

Вычисляем:

k lim

f (x)

lim

x3

lim

1

1;

k 1.

1)x

x

x

x (x2

x

1

1

x2

b lim ( f (x)

x

x3

x

kx)

lim

x

lim

0;

b 0.

2

2

1

x 1

x

x x

Уравнение наклонной асимптоты: у х .

171