Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

Глава 4 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

4.1 Неопределенный интеграл

4.1.1 Первообразная и неопределенный интеграл

Определение 1. Функция

F

называется

первообразной

функции f (х)

на некотором промежутке

Х,

если для любого x X

функция F(x)

дифференцируема и выполняется равенство:

F (x) f (x)

(1)

Например,

функция F(x)

1

x5

2

есть

первообразной

5

1

функции f (x) x

4

5

2

x

4

на R , т.к.

x

5

Определение 2. Совокупность всех первообразных функций

для функции	f (x)	на промежутке Х называется неопределенным
интегралом от функции f (x) на этом промежутке и обозначается
		f (x)dx , т.е.	f (x)dx F(x) C ,	(2)
где F	–	какая-нибудь	первообразная функции f	на

промежутке, который рассматривается; С – произвольная постоянная.

В выражениях (2) и (3) функция f называется подинтег-

ральной функцией, f (x)dx – подинтегральным выражением.

Операция нахождения неопределенного интеграла функции называется ее интегрированием. Переменная х называется

переменной интегрирования.

212

	Например,	x4dx	1	x5			C ,			поскольку для произвольного
			5
			1
								5			4
	фиксированного С	имеем					x		C	x		.
			5

Если F — какая-нибудь первообразная функции f на промежутке Х, и согласно формуле (3) под знаком интеграла является дифференциалом функции F: dF(x) F (x)dx f (x)dx . Будем считать по определению, что этот дифференциал под знаком интеграла можно

записывать в любом из указанных видов, т.е.
f (x)dx F (x)dx dF(x) .	(3)

Если построить кривую – график одной первообразной функции

F(x) , то все другие кривые (графики других первообразных для одной функции) получают путем смещения этой кривой по оси 0Y на величину, которая равняется значению постоянной С.

y F(x) С1 y F(x) С0 y F(x)

0

4.1.2 Основные свойства неопределенного интеграла

Для сокращения соответствующих записей будем считать, что все рассматриваемые здесь функции определены на некотором фиксированном промежутке Х. Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые вытекают непосредственно из его определения.

213

1	Дифференциал неопределенного интеграла равняется
подинтегральному выражению, т.е.
	d f (x)dx f (x) dx .	(1)
2	Неопределенный интеграл от дифференциала функции
равняется сумме функции и произвольной постоянной, т.е.
	dF(x) F(x) C .	(2)

4.1.3 Основные правила интегрирования

Теорема1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равняется сумме неопределенных интегралов от этих функций:

f1(x) f2 (x) dx f1(x) dx f2 (x) dx .

Теорема 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если C const , то

Cf (x) dx C f (x) dx .

4.1.4Таблица основных интегралов

В соответствии с определением неопределенного интеграла,

если dF(u) f (u) du , то f (u) du F(u) C . Поэтому, используя

таблицу дифференциалов основных элементарных функций, получим таблицу интегралов.

Каждая формула из таблицы производных дает соответствующую формулу для неопределенного интеграла.

214

1. du u c

3. duu 2u C

5. duu ln | u | C

7. eu du eu C

9. sin u du cosu C

11.

tgu du ln | cosu | C

du

13.

tgu C

cos2 u

15.

du

arcsin

u

C

a2 u2

a

du

1

u a

17.

ln

C

u2 a2

2a

u a

18.

du

ln

u u2

a2

u2 a2

du

u

19.

ln

tg

C

sin u

2

	2.	uпdu					uп 1			C	(п 1)
							п 1
			du				1
	4.							C
			u 2				u
	6.		du		loga | u | C
		u ln a
	8.	au du					au		C		(0 a 1)
							ln a

10. cosu du sin u C

12. ctgu du ln | sin u | C

14.			du	ctgu C
			sin 2 u
16.			du			1	arctg	u	C
			a2 u 2			a		a

C

20.	du	ln	u				C
			tg
	cosu			2		4

Приведенные выше интегралы принято называть табличными.

215

4.1.5 Основные методы интегрирования функций

Метод непосредственного интегрирования

Этот метод базируется на равенстве dx 1a d (ax b) , где а и b –

постоянные и применяется в тех случаях, когда подинтегральная функция f имеет вид одной из подинтегральных функций табличных интегралов, но ее аргумент отличается от переменной интегрирования постоянным слагаемым или постоянным множителем, или постоянным множителем и постоянным слагаемым.

Пример 1. Найти интеграл (5x
	x 3ex 7 cos x)dx .

Решение. Используя линейность интеграла и приведенные

формулы, находим

3

(5xx 3ex 7 cos x)dx 5 x 2 dx 3 ex dx 7 cos xdx

5

x 2

5

3ex

7 sin x C 2x2

x 3ex 7 sin x C .

5

2

Пример 2.

cos2 x sin 2x

2 cos x

dx cos x dx 2 sin x dx

dx

2

cos x

sin x 2 cos x

2x C .

Пример 3.

4 x

3

5

5

e

sin 7x 7x

6 x

dx

7

sin

2

x

1

e4x

3

sin 7x

7x

5ctg x 6x

x6

C .

4

7

ln 7

6

216

Интегрирование подстановкой (заменой переменной)

Замена переменной интегрирования является одним из самых эффективных приемов сведения неопределенного интеграла к табличному.

Теорема 1. Если функция			f (x) имеет на промежутке			Х
первообразную F(x) , и,
		f (x)dx F(x) C ,				(1)
а функция (t) дифференцируема на промежутке Т, причем
на этом	промежутке	определена	сложная функция f ( (t)) ,			то
функция	f ( (t)) (t)	имеет на	промежутке Т первообразную
F( (t)) и
		f ( (t)) (t)dt f (x)dx			x (t ) .	(2)

Пример 4. Найти интеграл xx 3 dx .

			x 3 t 2 x 3 t 2 ,
Решение. Пусть	x 3 t , тогда

dx 2t dt .

xx 3 dx (t 2 3) t 2t dt 2 (t 4 3t 2 ) dt

2 t 4 dt 6 t 2 dt 52 t 5 63 t3 C 52 (x 3)5 2(x 3)3 C .

Пример 5. Найти интеграл ex2 xdx .

Решение. Выполним подстановку u x2 , тогда u 2x , и,

согласно формуле (2), имеем

217

ud u du .

e

x2

1

e

x2

2

1

e

u

1

x2

1

x 2

xdx

d (x

)

d (u)

u x2

e

C

e

C

2

2

2

2

Найти интеграл

cos xdx .

Пример 6.

sin x

Решение.

Сделаем подстановку t sin x ; тогда dt cos xdx .

3

1

2t 2

3

cos xdx

dt t

dt

C

2

sin

x C .

sin x

t

2

2

3

3

Метод интегрирования по частям

В основе этого метода лежит такая теорема.

Теорема 2. Если функции u(x) и (x) определены и

дифференцируемы на промежутке Х и на этом промежутке существует первообразная функции (x)u (x) , тогда на промежутке Х существует также первообразная функции u(x) (x)

и выполняется равенство

u(x) (x)dx u(x)(x) (x)u (x)dx .		(3)
Формула (3) называется формулой интегрирования по частям
в неопределенном интеграле.
Поскольку (x)dx d	и u (x) dx du , ее можно	записать
также в виде

(4)

Эта формула дает возможность свести нахождение интеграла

ud к нахождению интеграла du , который может оказаться более простым, чем исходный.

218

	Пример 7. Для нахождения		интеграла x sin x dx положим
u x ,	d sin x dx ,	тогда du dx ,	sin x dx cos x , и, согласно
формуле (4) имеем

x sin x dx xd cos x (x cos x cos x dx)

(x cos x sin x) C x cos x sin x C .

Классы функций, которые интегрируются по частям

І. В интегралах вида
P(x) ekx dx ,	P(x) аkx dx ,	P(x) sin kx dx , P(x) cos kx dx ,
где P(x) –	многочлен, k	– число, целесообразно обозначить

u P(x) , а оставшуюся часть подинтегрального выражения – d .

P(x)	ekx dx
P(x)	sin kx dx
P(x)	cos kx dx
P(x)	akx dx

		u	d
	Пример 8.
		u 2x 3;		du 2dx
	(2x 3) sin 4x dx				1
		d	sin 4x dx;			cos 4x
					4

14 (2x 3) cos 4x 12 cos 4x dx 14 (2x 3) cos 4x 18 sin 4x C

219

Пример 9.

u x;

du dx

7 x 1

dx

1

x 3

d 37 x 1 dx;

37 x 1

7 ln 3

1

x 37 x 1

1

37 x 1 dx

1

x 37 x 1

1

37 x 1

C .

7 ln 3

7 ln 3

7 ln 3

49ln2 3

ІІ. В интегралах вида

P(x) ln x dx ,

P(x) arcsin x dx ,

P(x) arccos x dx

, P(x) arctg x dx ,

P(x) arcctg x dx

целесообразно обозначить

d =

P(x) dx ,

а оставшуюся часть

подинтегрального выражения – u .

P(x) arcsin x dx

P(x) arccos x dx

P(x) arctg x dx

P(x) arcctg x dx

P(x)

ln x

dx

u

d

Пример 10.

1

u ln x;

du

dx

x

6

1

x5 ln x dx

6 x

ln x

x6 C .

x

6

36

5

d x

dx;

6

220

Пример 4.

2

u arcsin 2x; du

dx

arcsin 2x dx

1 4x2

x

d dx;

x arcsin 2x

2x

1

dx x arcsin 2x

1 4x2

C .

2

1

4x2

ІІІ. В интегралах вида

eax sin bx dx ,

eax cosbx dx

,

где а и b — числа, за

u

принимается функция

eax .

eax sin bx dx

eax cosbx dx

u d

4.1.6Интегрирование рациональных дробей

Определение 1. Дробно-рациональной функцией или

рациональной дробью называется частное двух многочленов

Qm (x)

,

Pn (x)

где Q (x) g

0

g x

и

g

m

xm , P (x) p

0

p x p

xn

–

m

1

n

1

n

многочлены степени т и п, причем n 0 .

Определение

2.

Рациональная дробь

Qm (x)

называется

Pn (x)

правильной, если высший показатель степени числителя т меньше соответствующей степени п знаменателя (m n) .

221