Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

Определение 1. Последние две производные называют смешанными производными второго порядка.

Определение 2. Все эти производные являются частными производными второго порядка от функции f (x, y) .

Эти же производные можно записать и в другой форме:

	2 z	z	f	(x, y);
	x2
		xx	x2
	2 z	z	f	(x, y);
	y 2
		yy	y 2

2 z

x y2 z

y x

z f (x, y);

xy xy

z f (x, y).

yx yx

Новых правил для нахождения частных производных высших порядков не нужно: производные вычисляются последовательно одна за другой.

Пример 1. Найти частные производные второго порядка и убедиться в том, что:

2 z

2 z

для функции z x

5

y

4

2x 4 y .

x y

y x

Решение. В произвольной точке (x, y) :

z

5x4 y4 2,

z

4 y3 x5

4;

x

y

2 z

20x3 y4 ,

2 z

12y2 x5 ;

x2

y2

2 z

20x4 y3 ,

2 z

20y3 x4 .

x y

y x

Как видим:

2 z

2 z

.

x y

y x

192

	3.4.4 Экстремумы функции двух переменных. Наибольшее и
наименьшее значение функции
	Определение	1. Точка	M0 (x0 , y0 )		называется	точкой
максимума (минимума) функции				z f (x, y) , если существует
такая	–окрестность точки (х0 , у0 ) ,			что для всех точек		(x, y) из
этой	окрестности	выполняется	неравенство		f (x0 , y0 ) f (x, y) ;

f (x0 , y0 ) f (x, y) .

Определение 2. Значение функции в точке максимума

(минимума) называется максимумом (минимумом) функции.

Определение 3. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Введенные понятия носят локальный характер, так как в определении фигурируют лишь точки (x, y) довольно близкие к точке (х0 , у0 ) .

Установим необходимые условия существования экстремума.

Пусть z f (x, y) дифференцируема в точке (х0 , у0 ) и имеет в ней экстремум. Пересечем поверхность (x, y) плоскостью y y0 . Тогда функция z(x) f (x, y0 ) имеет экстремум при x x0 . Учитывая

необходимые условия экстремума в одномерном случае, получим:

Теорема 1. (Необходимые условия экстремума) Если в точке M0 (x0 , y0 ) дифференцируемая функция z f (x, y) имеет

экстремум, то ее частные производные в это точке равны нулю:

f x(x0 , y0 ) 0,

f y(x0 , y0 ) 0 .

Эти условия не являются достаточными.

193

Определение 3. Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называют стационарными.

Пример 1. Найти стационарные точки функции

z x2 2x y2 2 y 1 .

Решение. Найдем частные производные и решим систему

	уравнений:
					z		z	0.
					x
							y
		z		2x 2 0;					x 1;
		x
		z
				2 y 2 0;					y 1.
		y

Стационарная точка – M0 ( 1; 1) .

Рассмотрим достаточные условия.

Теорема 2. Пусть для функции z f (x, y) выполняются необходимые условия экстремума в некоторой точке M0 (x0 , y0 ) ,

т.е.

z

z

0.

x

y

Пусть функция z f (x, y) :

а)

определена в некоторой окрестности критической точки

(x0 , y0 ) ,

в которой

f x (x, y) 0 и

f y (x, y) 0 ;

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные

второго порядка A f

(x , y

0

);

B f (x

, y

0

);

C f

(x

, y

0

) .

xx

0

xy

0

yy

0

Тогда: если

AC B2

0 , то в точке (x , y

)

функция

0

0

z f (x, y) имеет

экстремум,

причем,

если

A 0

–

максимум,

194

если A 0	– минимум; если AC B2 0 ,	то	функция
z f (x, y) экстремума не имеет.
Если	AC B2 0 , то экстремум в точке	(x , y		) может
		0	0

быть, может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Схема исследования функции двух переменных на экстремум:

1. Найти частные производные z	и	z .
x		y
2. Решить систему уравнений		z	z	0	и найти
		x	y

стационарные точки.

3.Найти частные производные второго порядка и вычислить значение в каждой точке, сделать вывод о существовании экстремума.

4.Найти экстремум функции.

Пример 2. Найти экстремум функции z 2xy 4x 2y .

Решение.

	1. Найдем частные производные:	z	2 y 4;	z	2x 2 .
		x		y

2. Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:

2 y 4 0;		y 2;	— стационарная точка	(1; 2) .
2x 2	0;	x 1

3. Найдем частные производные 2-го порядка:

	A	2 z	0;	B	2 z	2;	C	2 z	0;
		x2			y x			y 2

AC B2 4 0.

Вточке (1; 2) экстремума нет.

195

Пример 3.			Найти экстремум функции z x3 y3 3xy .
Решение.
1.	z	3x2	3y;	z	3y2 3x.
				y
	x

2. Найдем стационарные точки:

3x2 3y 0;

3y 2 3x 0.

y1 0; y2x1 0; x2

y x2 ;		y y 4	;	y(1 y3 ) 0;
	x;				y 2
y 2		x y 2	;	x		;

1;

1. – две стационарные точки O(0;0); M (1;1) .

3. Найдем A	2 z	6x; B		2 z		3;	C	2 z	6 y :
	x2							y2
				y x
а) найдем A, B,C,			для точки О (0;0)
A 0; B 3; C 0; AC B2							9 0 ,
значит, экстремума в точке (0;0)					не нет.
б) найдем A, B,C,			для точки М (1;1)

A 6; B 3; C 6; AC B2 36 9 27 0;

A 0 . Функция имеет минимум в точке (1;1) .

4. zmin 1 1 3 1 .

196

3.4.5 Производная сложной и неявной функции
Пусть z f (x, y) – функция двух переменных х и	у , каждая
из которых является функцией независимой переменной	t : x x(t) ,

y y(t) . В этом случае функция z(t) f x(t), y(t) является сложной

функцией одной независимой переменной t ; переменные			х	и у –
промежуточные переменные.
Теорема 1. Если	z f (x, y)	дифференцируемая	в	точке
M (x, y) D функция и	x x(t) ,	y y(t) – дифференцируемые

функции независимой переменной t , то производная сложной функции z(t) f x(t), y(t) вычисляется по формуле

dz z dx z dy . dt x dt y dt

Пример 1. Найти dzdt , если

z cos2 x sin y, x t 2 t 1, y t 3 2t .

Решение. Функция z cos2 x sin y , как функция переменных

х, у, дифференцирована во всей плоскости Оху, поскольку имеет частные производные

	z	2 cos x sin x sin 2x,	z	cos y,
	x
			y
непрерывные в произвольной точке (x, y) .
Функции		x t 2 t 1, y t 3 2t дифференцированы на всей

числовой прямой ( ; ) , так как производные

197

dx

2t 1,

dy

3t 2 2

dt

dt

существуют для любого t ( ; ) .

Таким образом, для функции

z x(t), y(t)

выполняются

все

условия теоремы. Поэтому для

произвольного

t ( ; )

по

формуле имеем:

dz

(2t 1)sin 2x (3t 2

2) cos y

dt

(2t 1) sin 2(t 2

t 1) (3t 2

2) cos(t 3

2t) .

Если функция

задана

неявно

уравнением F(x, y) 0 ,

то

производную неявной функции вычисляют по формуле

y

Fx

. F 0

Fy

x

y

Если функция

z f (x, y)

задана

уравнением

F(x, y, z) 0 ,

неразрешенным относительно z , то

z

F

z

Fy

x

;

.

Fz

x

Fz

y

Пример 2. Найти частные производные функции

z , заданной

уравнением ez z x2 y 1 0 .

Решение. Имеем:

F (x, y, z) ez z x2 y 1, F 2xy, F x2 , F

e z 1 .

x

y

z

Итак, по формуле

z

2xy

,

z

x

2

.

x

ez

y

ez

1

1

198

Пример 3. Найти

dy

, если неявная функция

y f (x) задана

dx

уравнением y3 2 y 2x .

Решение.

F (x; y) y3

2 y 2x,

F 2,

F 3y 2

2.

x

y

y

2

,

dy

2

.

x

3y2 2

dx 3y2 2

3.4.6 Использование частных производных в геометрии

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть задана поверхность f (x, y, z) 0 , точка					M0 (x0 , y0 , z0 )
принадлежит	этой	поверхности	и	функция	f (x, y, z)

дифференцирована в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) .

Уравнение касательной плоскости к заданной поверхности в

точке M0 (x0 , y0 , z0 ) имеет вид

f x

M0 (x x0 ) f y

M

( y y0 ) f z

M0 (z z0 ) 0 ,

(1)

0

уравнение нормали –

x x0

y

y0

z

z0

.

(2)

f x

f

f z

M

0

y

M

0

M

0

Порядок нахождения уравнений касательной плоскости и

нормали к поверхности:

1. вычисляем частные

производные f x , f y ,

f z

в точке

M (x0 , y0 , z0 ) ;

2. подставляем найденные значения у уравнения (1), (2).

199

Если задано только значение x0 и	y0 , то координата z0 точки
M определяется из условия, что точка	М принадлежит заданной
поверхности, т.е. f (x0 , y0 , z0 ) 0 .

Если поверхность задана уравнением z f (x, y) , то уравнение

нормали и касательной плоскости имеют вид:

x x0

y

y0

z z0

;

(3)

f x

f y

M

M

1

f x

M (x x0 ) f y

M ( y y0 ) (z z0 ) 0 .

(4)

Пример 1. Найти уравнение касательной плоскости и нормали

к поверхности z xy в точке M (1, 1) .

Решение.

Запишем уравнение поверхности в виде xy z 0 , т.е.

f

xy z .

Координаты

точки

М:

x0 1 ,

y0 1 . Координата

z0

определяется из

условия,

что точка

М принадлежит заданной

поверхности, т.е. f (1, 1, z0 ) 0 . Имеем z0 1.

Вычислим частные производные f x ,

f y , f z

в точке M (1, 1, 1) :

f x

(1, 1, 1) y

(1, 1, 1) 1,

f y

(1, 1, 1) x

(1, 1, 1)

1,

f z

(1, 1, 1) 1 .

Воспользуемся уравнением (1) и (2). Имеем уравнение касательной плоскости

1(x 1) 1( y 1) 1(z 1) 0 ;

x y z 1 0 .

Уравнение нормали

200

	x 1		y 1			z 1		;
	1		1			1
	x 1 y 1 1 z .
Определение 1. Градиент					функции f (x, y, z) в точке

M (x, y, z) — это вектор, координатами которого являются значения

частных производных функции

f (x, y, z) в точке M (x, y, z) :

grad f

f

f

f

f

,

f

,

f

i

j

k

,

x

y

z

x

y

z

где i ,

j, k — единичные векторы (орты).

Пример 2. Найти градиент функции

f

x2 arctg(y z) в

точке M (2, 1, 1) .

Решение.

Найдем

частные

производные

функции

f x2 arctg(y z) :

f

2x,

f

1

,

f

1

.

x

( y z)2

( y z)2

y

1

z

1

Вычислим частные производные функции

f x2

arctg(y z)

в точке M (2, 1, 1) :

f (2, 1, 1) 4, f				(2, 1, 1)	1	,	f	(2, 1, 1)		1		.
	x		y	5				z		5
Вычислим		градиент		функции		f	x2 arctg(y z)								в		точке
M (2, 1, 1) :
										1					1
grad f		f x (2, 1, 1),		f y (2, 1, 1),		f z (2, 1, 1) 4,							,				.
										5					5
	(2, 1, 1)

201