Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

9. Для наглядности заполняем таблицу:

х	( ; 3) -			3		( 3;1)
	+			0		–
f (x)

f (x)		3	3
		2
				–
f (x) –
				)

-1

не сущ. не сущ.

(-1;0)

–

+

(

0

0

0

т перегиба.

(0;1)

–

–

)

1

не .сущ

не .сущ

(1; 3)

3 ( 3; )

– 0 +

	3		3
		2
+				+
(				(

10. С помощью таблицы строим график функции

у

– 3

–1

1 3

х

172

3.3.7 Примеры использования дифференциального исчисления в экономических задачах

Максимизация прибыли

Максимизация прибыли является одним из главных критериев деятельности производственных и коммерческих структур. Известно,

что прибыль Q является некоторой функцией от объема реализации х

Q f (x)

Пример 1. Фирме известно соотношение между еженедельной продажей продукции х и еженедельной прибылью Q (в экю), в виде функции

Q 0,005x2 30x 600 .

Фирма стремится получить максимальную прибыль. Найдем эту

прибыль.

Решение. Нетрудно видеть, что задача получения максимальной прибыли сводится к нахождению максимума функции Q f (x) . Для

этого найдем производную Q по переменной х

Q 0,01x 30

В точке максимума Q 0 , следовательно

0,01x 30 0;

x 3000.

Проверим, что при еженедельной продаже продукции x 3000

еженедельная прибыль Q будет максимальной. Действительно, найдем вторую производную от функции Q (1)

Q 0,01 0 ,

а это и есть условия максимума.

Следовательно, точка x 3000 является точкой локального

173

максимума. Теперь найдем максимальную прибыль

Q 0,005 30002 30 3000 600 44400 .

Итак, для максимизации прибыли фирма должна еженедельно реализовывать 3000 единиц изготовленной продукции. При этом ее

еженедельная прибыль будет максимальной и составит 44400 экю.

Прибыль Q, как известно, – это разность между доходом D

(общая сумма денег, полученная от продажи выпускаемой продукции)

и затратами (издержками) Е (общая стоимость затрат, связанных с

производством и реализацией продукции):
Q(x) D(x) E(x) ,	(1)

где х – количество произведенной и реализованной продукции.

Следовательно, все эти величины являются функциями от объема продукции х. При этом

D(x) P x ,

где P Dx – цена за единицу продукции х.

Заметим, что P P(x) – рыночная цена, которая монотонно уменьшается по мере увеличения объема выпускаемой продукции х,

ведущего к насыщению рынка.

Наряду с величинами общей прибыли Q, общего дохода D и

общих затрат (издержек производства) Е вводятся еще маргинальные

(предельные) величины:

dQdx – маргинальная прибыль;

dDdx – маргинальный доход;

174

dEdx – маргинальные затраты (издержки).

Тогда условие максимума прибыли эквивалентно условию равенства маргинального дохода и маргинальных затрат.

Действительно, из равенства (1) имеем

dQ		D		dE	.	(2)
dx		dx		dx

В точках максимума dQdx 0 . Тогда из (2) имеем

dDdx dEdx 0 .

Откуда

dDdx dEdx .

Кроме того, в точках максимума должно выполняться условие

	d 2Q	0 .	(3)
	dx2

Из равенства (2) получим

	d 2Q			d 2 D				d 2 E		0 ,
	dx2			dx2				dx2
			d 2 D				d 2 E		.	(4)
			dx2				dx2

Пример 2. Известны общие затраты Е производства продукции и функция спроса на продукцию P f (x) (рыночная цена как функция объема спроса):

E 0,02x3 0,2x2 20x 600 , Р 100 0,1х .

175

Найти точку равновесия (Р*, х*), максимизирующую общую прибыль.

Решение. Найдем общий доход D(x)

D(x) Px 100x 0,1x2 .

Тогда маргинальный доход равен

D (x) 100 0,2x .

Найдем маргинальные затраты

E (x) 0,06x2 0,4x 20 .

Маргинальные затраты и маргинальный доход в точке

максимума равны между собой, следовательно, имеем

100 0,2x 0,06x2 0,4x 20 ,

откуда
0,06x2 0,2x 80 0 ;	x 38,2 ;

(значение х = –34 отбрасываем, т.к. оно не соответствует экономическому смыслу – объем продукции всегда положителен).

Проверим условие максимума (4) при х = 38,2.

D (38,2) 0,2; E (38,2) 0,12x 0,4 4,184 .

Условие (4) выполняется.

Следовательно, х = 38,2 дает максимум прибыли.

Цена продукции

P 100 0,1x 100 0,138,2 96,18.

Прибыль

D E 10038,2 0,138,22

(0,02 38,23 0,2 38,22 20 38,2 600) 1487 .

176

Эластичность спроса относительно цены

Функциональная зависимость между спросом на данный товар и его ценой (при условии, что цена других товаров, доходы потребителя и структура потребностей – постоянные величины) позволяет цену поставить в соответствие спросу, надлежащим образом определенному Однако во многих экономических исследованиях необходимо определить не величину спроса, а изменение спроса, вызываемое определенным изменением цены. Иначе говоря, определяется эластичность спроса относительно цены.

Предположим, что спрос q зависит от цены р: q f ( p) .

Пусть	p – приращение цены,		a q	–	соответствующее
приращение	спроса. Относительное	изменение		цены		есть	p , а
							p
относительное изменение спроса есть		q	. Частное		q :	p выражает
		q			q	p

относительное изменение спроса, если цена товара возрастает на 1%.

Эластичностью спроса относительно цены называется предел

q

p

p

q

p

q

E

p

(q) E

p

lim

:

lim

lim

q

q p 0 p

p 0

p

p 0 q

p

следовательно,

E

p dq

.

(1)

p	q dp

Определение 1. Эластичность спроса относительно цены

приблизительно определяет, как изменится спрос на данный товар,

если цена возрастет на 1%.

177

В большинстве случаев функция спроса есть понижающаяся функция, так как с повышением цены на товар спрос на него понижается.

Следовательно, в таких случаях:

dqdp 0 .

Чтобы избежать отрицательных чисел, при изучении эластичного спроса принимается, что

E			p dq	.
	p
			q dp

Если E p 1, т.е. если повышению цены на 1% соответствует снижение спроса более чем на 1%, говорят, что спрос эластичен.

Если E p 1, т.е. если повышению цены на 1% соответствует понижение спроса на 1%, говорят, что спрос нейтрален.

Если 0 E p 1, т.е. если повышению цены на 1% соответствует понижение спроса менее чем на 1%, говорят, что спрос неэластичен.

Пример 1. Рассчитать эластичность функции y 8x 5 .

Решение. По определению эластичности имеем:

E

( y)

x

(8x 5)

8x

8x 5 5

1

5

.

x

y

8x 5

8x 5

8x 5

Если, например, x 3 , то эластичность функции равняется

24

.

19

Пример 2. Функция спроса имеет вид

q 8 p . Рассчитать

эластичность спроса.

Решение. Эластичность спроса:

178

E		(q)	p		dq			p	( 1)	p	.
	p
			q		dp		8 p			8 p
Если, например, цена единицы продукции равняется 6 грн., то
			Ep (q)				6		3 .
								8 6

Это означает, что спрос является эластичным. При цене 6

грн. ее увеличение на 1% приведет к снижению спроса на 3%.

3.3.8 Упражнения к разделу 3.3

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1.y x2 4x 4 . при x ( ; 2); при x (2; )

2.y 6 3x2 x3 .

при x ( ; 2) (0; ); при x ( 2; 0)

3.y x4 2x2 .

при x ( ; 1) (0; 1); при x ( 1; 0) (1; )

Найти интервалы возрастания, убывания и экстремумы

функции:

4. y x3 3x 4 .

x ( ; 1) (1; ), x ( 1; 1), ymin f (1) 2, ymax f ( 1) 6

Исследовать функцию на экстремум:

5. y x3 6x2 9x 2 .

min f (x) f ( 1) f (1) 0; max f (x) f ( 3) 2

179

6. y x2 8 . ( 2; 4e2 ) минимум; (4;8e 4 ) максимум ex

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y f (x)

на отрезке [a;b] :

7. y 3 x2 2x , 0; 2 .

min y(x) y(0) y(2) 1; max y(x) y(1) 2 .

8. y 2x 3 3 x2 , 1; 1 .

min y(x) y( 1) 5; max y(x) y(0) 0 .

9. y x2 (x 2)2 , 0; 2 .

min y(x) y(0) y(2) 0; max y(x) y(1) 1 .

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

[a;b] :

10.

y

x 6

,

5; 5 .

min y

1

;

max y

1

2

x

13

5; 5 38

5; 5

2

11.

y

x 5

,

3; 7 .

min y 0,4;

max y

1

2

x

11

3; 7

3; 7

30

Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба

графика функции y f (x) :

12.

y 5x2 20x 9 .

точек перегиба нет,

вогнутая при

x ;

13.

y 6x2 8x 11.

точек перегиба нет,

выпуклая при

x ;

180

14.

y x3 .

точка

перегиба

0; 0 ,

при x ; 0

–

выпуклая, при x 0;

– вогнутая

Найти асимптоты графика функции:

15.

y

x

.

горизонтальная:

y 0

x2 1

16.

y

x3

.

вертикальные: y 2 ; наклонная: y x

x2 4

17.

y

x2

6x 3

.

вертикальная:

х 3 ; наклонная:

x 3

y x 3

Найти пределы функций:

1) Неопределенность 00 .

18.	lim			x3 3x2 2							.		3
				x	3	4x	2		3
	x 1												5
19.	lim			ex		e x			.	[2]
				ln(1 x)
	x 0
20.	lim	e3x 3x 1								. 0,18
	x 0				sin 2 5x
2) Неопределенность													.
					tg x
21.	lim					2		.
	x 1			ln(1 x)
22.	lim		ln(x 1)					.		0
	x 1			ctgx

181