Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

Т. Н. Сукач

КРАТКИЙ КУРС

ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

(для студентов экономических специальностей)

y f (x)

y

S

0

a

b

x

Учебное пособие

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие………………………………………………………………..8

Глава 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ………………………... 10

1.1Определители и их свойства……………………………..….. 10

1.2Матрицы и действия над ними……………………………….14

1.3Системы линейных алгебраических уравнений……………. 21

1.3.1Основные понятия……………………………………….. 21

1.3.2Теорема Кронекера-Капелли……………………………. 22

1.3.3Матричный способ решения системы………………….. 25

1.3.4Правило Крамера………………………………………… 27

1.3.5Метод Гаусса……………………………………………... 29

1.3.6Решение систем однородных уравнений………………. 31

1.4Примеры использования линейной алгебры в задачах экономического содержания………………………………… 39

1.5Упражнения к главе 1……………………………………….. 44

1.6Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к главе 1…………………………………………… 49

Глава 2 ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ…………………………………………………… 53

2.1Векторная алгебра…………………………………………… 53

2.1.1Векторы и действия над ними…………………………… 53

2.1.2Скалярное произведение векторов……………………... 57

2.1.3. Векторное произведение векторов………………………59

2.1.4Смешанное произведение векторов…………………….. 62

2.1.5Разложение вектора по базису………………………….. 65

2.1.6Упражнения к разделу 2.1……………………………….. 68

2.2.Аналитическая геометрия………………………………….. 72

3

2.2.1Разновидности уравнения прямой на плоскости………. 72

2.2.2Уравнения прямой и плоскости в пространстве……….. 74

2.2.3Кривые линии второго порядка…………………………. 81

2.2.4Полярная система координат…………………………… 87

2.2.5Примеры использования элементов аналитической геометрии в задачах экономического характера………. 89

2.2.6Упражнения к разделу 2.2……………………………….. 92

2.3Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к главе 2………………………………………….. 95

Глава 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ…………………101

3.1Функция, предел, непрерывность функций……………… 101

3.1.1Функция, основные понятия…………………………...101

3.1.2Четность, нечетность, периодичность функций……...102

3.1.3Основные элементарные функции и их графики……. 103

3.1.4Предел функции………………………………………... 107

3.1.5Непрерывность функции. Исследование функции на непрерывность…………………………………………. 116

3.1.6Упражнения к разделу 3.1……………………………...119

3.1.7Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделу 3.1………………………………… 122

3.2Дифференциальное исчисление функции одной переменной…………………………………………………..130

3.2.1 Производная функции в точке…………………………130

3.2.2Производная сложной и обратной функции………….. 133

3.2.3Дифференцирование показательно-степенной функции…………………………………………………. 134

3.2.4Дифференцирование неявной функции и функции,

4

заданной параметрически…………………………….. 135

3.2.5Логарифмическое дифференцирование……………… 136

3.2.6Геометрический и физический смысл производной…137 3.2.7 Дифференциал функции………………………………..140

3.2.8Производные и дифференциалы высших порядков… 143

3.2.9Упражнения к разделу 3.2……………………………...147

3.2.10Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделу 3.2………………………………... 151

3.3Исследование функций с помощью производных………... 156

3.3.1Монотонность функции. Экстремумы функции…….. 156

3.3.2Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке…………………………………….. 160

3.3.3Интервалы выпуклости и вогнутости кривой, точки перегиба…………………………………………………. 161

3.3.4Асимптоты……………………………………………… 163

3.3.5Правило Лопиталя……………………………………... 165

3.3.6Общая схема исследования функции и построение графиков………………………………………………… 167

3.3.7Примеры использования дифференциального исчисления в экономических задачах…………………. 173

3.3.8Упражнения к разделу 3.3…………………………….. 179

3.3.9Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделу 3.3………………………………… 183

3.4Дифференциальное исчисление функции нескольких

переменных………………………………………………….. 187 3.4.1 Основные понятия. Область определения функции... 187

3.4.2 Приращение функции z f (x, y) . Частные

5

производные и полный дифференциал функции…… 188

3.4.3Частные производные и дифференциалы высших порядков…………………………………………………. 191

3.4.4Экстремумы функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции……………………… 193

3.4.5Производная сложной и неявной функции………….. 197

3.4.6Использование частных производных в геометрии….199

3.4.7Упражнения к разделу 3.4…………………………….. 202

3.4.8Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделу 3.4………………………………… 206

Глава 4 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ………………………….. 212

4.1Неопределенный интеграл…………………………………. 212

4.1.1Первообразная и неопределенный интеграл…………. 212

4.1.2Основные свойства неопределенного интеграла……... 213

4.1.3Основные правила интегрирования…………………...214

4.1.4Таблица основных интегралов………………………... 214 4.1.5 Основные методы интегрирования функций…………. 216

4.1.6Интегрирование рациональных дробей………………. 221

4.1.7Интегрирование тригонометрических функций……. 228

4.1.8Интегрирование иррациональных функций…………... 234

4.1.9Упражнения к разделу 4.1……………………………… 238

4.1.10Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделу 4.1……………………………….. 242

4.2Определенные и несобственные интегралы……………... 253

4.2.1Определение и свойства определенного интеграла….. 253

4.2.2Формула Ньютона – Лейбница………………………... 257

4.2.3Методы интегрирования в определенном интеграле…259

6

4.2.4Несобственные интегралы…………………………….. 261

4.3Применение определенных интегралов…………………… 264

4.3.1Вычисление площадей плоских фигур…………………264

4.3.2Вычисление длины дуги кривой……………………….. 268

4.3.3. Вычисление объемов тел вращения………………….. 271

4.3.4Примеры использования интегрального исчисления в задачах экономического характера……………………. 274

4.3.5Упражнения к разделам 4.2 и 4.3……………………… 281

4.3.6Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделам 4.2 и 4.3…………………………. 285

Глава 5 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ…………………… 292

5.1Основные понятия………………………………………….. 292

5.2Уравнения с разделяющимися переменными……………. 294

5.3Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли…………………………….. 296

5.4Однородные дифференциальные уравнения первого порядка………………………………………………………. 300

5.5Дифференциальные уравнения второго порядка,

допускающие понижение порядка………………………… 302

5.6Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами……………………………………………. 305

5.7Пример использования дифференциальных уравнений в экономических задачах…………………………………….. 307

5.8Упражнения к главе 5………………………………………. 308

5.9Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к главе 5…………………………………………. 310

ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………….. 313

7

Предисловие

Современное математическое образование специалистов экономических направлений требует не только знание таких математических дисциплин, как «Высшая математика», «Математическое программирование», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Эконометрия», но и навыков решения практических задач соответствующего профиля с использованием математического аппарата, вычислительной техники.

Вусловиях перехода к Болонской образовательной системе в вузах резко сокращено аудиторное время на изучение разделов высшей математики, значительно увеличена роль самостоятельной работы студентов по овладению дисциплиной, усилена роль прикладной направленности предмета.

Вкниге кратко изложены необходимые основы математического аппарата и приведены примеры его использования в современных экономических приложениях: элементы линейной и векторной алгебры, аналитической геометрии, дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных, интегральное исчисление, дифференциальные уравнения.

Именно такой объем знаний актуален сегодня для лиц,

получающих образование по экономическим специальностям (в том числе и второе образование), и соответствует требованиям государственных образовательных стандартов по экономическим дисциплинам.

Материал представлен в краткой форме (на уровне понятий,

теорем, свойств), основной упор сделан на приобретение навыков использования математического аппарата.

8

Каждый раздел сопровождается решением достаточного количества типовых упражнений; представлены задания для самостоятельного решения, а также задания для индивидуальной семестровой работы студентов.

В каждом разделе приведены примеры использования конкретного математического аппарата к решению задач экономического содержания, что, по мнению автора, повысит познавательный интерес студентов к учебным занятиям по математике.

9

Глава 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1 Определители и их свойства

Определение

1.

Определителем

второго

порядка,

a1 1

a1 2

соответствующего таблице

элементов

,

называется число,

a2 1

a2 2

определяемое равенством

| A|

a11 a12

a a

22

a

a

.

a21 a22

11

21

12

Определение

2.

Определителем

третьего

порядка,

a11

а12

а13

соответствующего

таблице

элементов

а21

а22

а23

,

называется

a31 а32 а33

число, определяемое равенством

| A|

a11

a12

a13

a

a22

a23

a

a21

a23

a

a21

a22

a

a

a

.

21

22

23

11

a32

a33

12

a31

a33

13

a31

a32

a31 a32

a33

(метод разложения по теореме Лапласа),

a1 1

a1 2

a1 3

| A|

a2 1 a2 2

a2 3

a1 1 a2 2 a3 3 a1 2 a2 3 a3 1 a1 3 a2 1 a3 2

a3 1 a3 2 a3 3

(a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32)

(правило Сариуса - правило «треугольников»).

10

Определение 3. Минором M ij элемента aij определителя п-го порядка называется определитель (п-1) порядка, который получается из определителя | A | путем вычеркивания і-го строки и j-го столбца,

на пересечении которых находится элемент aij .

Определение 4. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij

определителя называют минор этого элемента, умноженный на ( 1)i j ,

где i – номер строки, а j – номер столбца данного элемента , т.е.

Ai, j ( 1)i j M i, j .

Правило: Определитель п-го порядка равняется сумме

произведений всех элементов любой строки ( или столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

Свойства определителей

1)Определитель при транспонировании не изменяется.

2)Если в определителе поменять местами любые две строки

(столбца), то определитель изменит знак на противоположный.

3) Если определитель имеет два одинаковых столбца (строки),

то он равен нулю.

4) Если в определителе все элементы одного столбца (строки)

умножить на одинаковое действительное число k, то определитель возрастет также в k раз.

Следствие 1. Общий множитель всех элементов любой строки

(столбца) определителя можно вынести за знак определителя.

Следствие 2. Если все элементы любой строки (столбца)

определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

11