Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

3.4.7 Упражнения к разделу 3.4

ux

zx

Найти частные производные функции:

1.

u x2

2 y2

3xy 4x 2 y 5 . Найти

u

,

u

.

x

y

u

2x 3y 4,

y

4 y 3x 2

2.

u

x2

x

. Найти

u

,

u

.

u

2x

1

,

u

x

2x2

x

y

y

2

y

x

y

y

2

y

y

2

y

3

3.

z exy( x2 y 2 ) . Найти

z

,

z

.

x

y

2

y

2

z

2

y

2

e xy( x

) (3x2 y

y3 ),

exy( x

) (x3

3xy2 )

y

Найти полный дифференциал функции:

2

2

2(xdx ydy)

4.

z ln(x

y

) .

Найти

dz .

dz

x

2

y

2

y

2(xdy ydx)

dz

5.

z lntg

. Найти

dz

.

2 y

x

x

2

sin

x

6.

z sin( x2 y 2 ) .

Найти dz .

dz 2(xdx ydy) cos(x2

y 2 )

Вычислить приближенно:

7.ln(0,093 0,993 ) . 0,03

8.3 1,022 0,052 . 1,013

Найти частные производные первого и второго порядка

функций:

9. z exy .

202

z

ye xy , z xe xy , z

y 2e xy ,

z

x2exy , z

z

exy (1 xy)

x

y

xx

yy

xy

yx

x

10.

z x ln

.

y

z

ln x ln y 1, z

x

,

z

1

,

z

x

, z z

1

x

y

y

xx

x

yy

y 2

xy

yx y

11.

z sin(xy) .

z

y cos(xy), z

x cos(xy),

z y

2 sin(xy),

z

x2 sin( xy),

x

y

xx

yy

z

z cos(xy) xy sin(xy)

xy

yx

12.

z ex cos y .

z

e x cos y, z e x sin y,

z

,

z

ex cos y,

x

y

xx

yy

z

z ex sin y

xy

yx

Найти стационарные точки функций, и исследовать их

характер:

13.z x2 xy y2 . M (0,0) — стационарная точка и точка минимума, zmin z(0,0) 0

14.z x2 xy y2 . M (0,0) — стационарная точка, в точке

M (0, 0) экстремума нет

15.	z x2	2xy 2 y2 2x . M ( 2, 1) — стационарная точка,
M ( 2, 1)	— точка минимума, zmin z( 2, 1) 2
16.	z x2	xy y2 3x 6 y . M (0, 3) — стационарная точка.

M (0, 3) — точка минимума, zmin z(0, 3) 9

203

Найти производные

z

,

z

функции

x

y

u u(x, y), v v(x, y)

17.

z u 2

v2 ,

u x y,

v x y .

z

2u 2v, z 2u 2v

x

y

18.

z ln(u2

v2 ), u xy, v

x

.

y

z

2u

y

2u

1

, z

2u

x

2

2

2

2

2

2

x

u

v

u

v

y

y

u

v

19.

z ln(u v2 ),

u x2 y2 ,

v y .

z

1

2x,

z

1

2 y

2v

2

2

2

x

u v

y

u v

u v

Найти производные функций y f (x)

уравнениями.

1 y 2

20.

x y arctg y 0 .

y

y

2

z z(u, v) , где

.

		2u			x
u	2	v	2		y	2

, заданных неявно

												y cos x sin( x y)`
	21.	y sin x cos(x y)								0 .	y
												sin(x y) sin x
	Найти градиент функции u f (x, y, z)													в точке M .
	22.	u x ln(z 2 y2 ),							M (2, 1, 1) .			(1, 1, 1)
														55		5		2
			2				2
	23.	u x		y		xy z		,		M (1, 5, 2).					,		,
														6		6		3
												3, 1, 0
	24.	u x3			y2 z2 ,				M (1, 1, 0).
	25.	u ln(3 x2 ) xy2 z,								M (1, 3, 2).			17, 12, 9

204

26. u x2 y2 z ln(z 1) , M (1, 1, 2).

4, 4, 0

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к

поверхности в точке М :

27.	z x2 y2 ,								M (1; 2; 5) .
						x 1										y 2						z 5
2x 4 y z 5			0,
						2											4
																							1
28.	x2			y2			z 2			0,								M (4; 3; 4) .
	16		9			8
								x 4										y 3						z 4
3x 4 y 6z 5 0,
									3								4							6

		x2 y 2		z 2 16 0,
	29.															M (2; 2; 2 2 ) .
							x 2								y 2				z 2 2
	y	2 z 8
x				0,
									1						1
																					2
	30.	2x2 3y2 4z 2										9,				M 1; 1; 1 .
									x 1						y 1				z 1
2x 3y 4z 9 0,
										2					3				4
	31.	x2 y2		z 2					0,				M 3; 4; 5 .
					x 3							y 4						z 5
3x 4 y 5z 0,
						3							4
																			5

205

3.4.8 Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделу 3.4

	1. а) найти dz ;
	б) найти приближенное значение функции Z									в точке P ;
	в) написать уравнение касательной плоскости и нормали к
	поверхности Z в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) , если P0 (x0 , y0 ) задано:
	1).	Z x2 y4 x3 y3 x4 y2 ,							P(1,1; 2,03),	P (1; 2)
										0
	2).	Z	(x2	y 2 )		,			P(2,1; 1,07),	P (2; 1) .
			(x2	y 2 )
										0
				5y
	3).	Z x					5 x y ,		P(1,01; 3,01),	P (1; 3)
				x						0

4).

5).

6).

7).

8).

9).

10).

11).

12).

13).

Z 12 ln(x2 y 2 ) ,

Z sin x tg y ,

Z x2 y2 ,

Z x y ,

Z arcsin xy ,

Z y2 x ,

Z x3 y3 ,

Z x y , x y

Z 5 x 3 y ,

Z X Y ,

P(2,1; 3,03), P0 (2; 3), ln13 2,565

P(1,03; 0,9), P0 (1; 1)

P(1,02; 0,97),	P0	(1; 1) .
P(1,04; 2,02),	P0	(1; 2) .
P(0,2; 1,1), P0 (0; 1) .
P(1,01; 0,99),	P0 (1; 1) .
P(1,02; 1,97),	P0 (1; 2) .
P(2,04; 3,05),	P0 (2; 3) .
P(1,002; 7,995),		P0 (1; 8) .
P(0,97; 1,05),	P0 (1; 1) .

206

14). Z arcsin		x	,	P(1,01; 1,02), P0 (1; 1) .
		y2
2

15). Z

x2 y2

,

P(1,98; 0,01),

P (2; 0) .

0

16). Z y x ,

P(3,97; 1,05),

P (4; 1) .

0

17). Z 5x2

xy 3y 2 5x 2 y 1,

P(1,01; 2,02), P (1; 2) .

0

18). Z

3 y x2

,

P(1,01; 0,03),

P (1; 0) .

0

19). Z x2 y3 ,

P(2,003; 3,998),

P (2; 4) .

0

20). Z

ln 2 0,693

ln(xy) ,

P(1,01; 2,01),

P0 (1; 2),

21). Z x y

x2

y2 ,

P(1,01; 0,02),

P (1; 0) .

0

22). Z ex y ,

P(0,01; 3,02),

P (0; 3) .

0

23). Z

xy

,

P(1,98; 1,01),

P0 (2; 1) .

x2 y 2

24). Z

x 3y

,

P(2,05; 3,95),

P (2; 4) .

y 3x

0

25). Z

x

2

,

P(1,03; 0,98),

P (1; 1) .

3

y

0

26). Z xy y3 ,

P(1,002; 2,003),

P (1; 2) .

0

27). Z ln(x2

y3 ) ,

P(0,01; 1,03),

P (0; 1) .

0

28). Z x4 y2

x3 y3

x2 y4 ,

P(1,01; 2,02),

P (1; 2) .

0

29). Z

x2 y 2

,

P(2,05; 1,03),

P (2; 1) .

x2 y 2

0

30). Z arcsin

x

,

P(0,02; 1,03),

P (0; 1) .

y

0

207

2.

Задана

дифференцированная функция Z f (x, y) , где

x φ(t) ,

y (t)

. Найти производную

dZ

.

dt

1).

Z x

y ,

x 2 t , y sin 2 t .

2). Z

xy x, x ln t, y e t .

x

1

y

Z

, x

t , y ln t .

3).

3

4).

Z x3 y y3 x, x e t , y

et

.

et

1

5).

Z

x

y

,

x ctgt,

y cost .

y

x

6).

Z ln(x2 y2 ),

x tgt,

y

1

.

sin t

7).

Z (1 x)2 y ,

x ln sin t,

y

1

.

cost

8).

Z ex 2 y ,

x sin t,

y t 3 .

9).

Z sin( xy),

x t 2 ,

y e t .

x 2t 3 ,

10). Z x y 1,

y ln t .

11). Z

x2

y2

,

x t 3 ,

y 22 tg t .

y

x

12). Z arcsin

x

,

x 3 t

,

y t 3 .

y

13). Z ex2 y ,

x ln t, y

1

.

t 3

208

14).

15).

16).

17).

18).

19).

20).

21).

22).

23).

24).

25).

26).

x

Z 2 y ,

x arctgt,

y

t .

Z

x2

,

x cost,

y

1

.

y

sin t

1

1

Z arctg

,

x

3 t ,

y t

3 .

xy

x

Z arcsin

,

x

sin 2 t,

y t 4 .

y

Z ex 2 y , x

3

, y

5

.

t

t 3

Z

x

,

x cost,

y sin t 2 .

x2 y 2

Z xy2 ,

x

3

,

y ln(t 2

1) .

t3

Z x y ,

x sin t,

y cost 2 .

1

Z ln cos

x

,

x t 3 ,

y et .

y

x

3t

3

Z sin

, x e

,

y

3t

.

y

Z

x2

, x ln t,

y sin t .

ln y

Z

x

,

x sin t,

y ln(t 2

1) .

y2

Z xy ln(x y),

x t 2

t,

y

1

.

t3

209

27). Z arccos(x y),						x	3	,	y	2	.
							t 2
										t3
					x 2 t ,
28). Z y		x ,				y sin 2 t .
29). Z x4 y2					y3 x, x e t ,			y cost .
30). Z					y, x ln(t 2		1),		y e 2t .
	xy

3. Исследовать на экстремум функцию Z f (x, y) : 1). Z x2 y3 (6 x y) .

2). Z x3 y2 (6 x y) . 3). Z x3 y3 9xy 27 . 4). Z xy(1 x y) .

5). Z x3 y3 3xy . 6). Z x2 y2 xy x .

7). Z x3 2y2 x y . 3

8). Z x4 y 4 2x2 4xy 2 y2 ; 9). Z x2 xy y2 2x 3y . 10). Z x3 xy2 3xy .

11). Z x3 xy y2 3x 6 y . 12). Z y2 2xy 3x2 x .

13). Z x2 xy y2 1x 1y .

210

14). Z x3 y2 12xy . 15). Z x2 y 2 2x 4 y .

16). Z x2 2xy y2 2x 2 y . 17). Z xy x2 y xy2 .

18). Z 2x3 xy 5x2 y2 . 19). Z 6x3 y2 x4 y2 x3 y3 .

20). Z 2x2 6xy 5y2 x 4 y 5 . 21). Z x4 y 4 2x2 2xy 2 y2 . 22). Z 2x3 2 y3 18xy 4 .

23). Z (1 x y)xy .

24). Z x4 y4 2x2 y2 8x 8y . 25). Z xy2 (1 x y) .

26). Z 2 y2 4xy 6x2 2x . 27). Z 2x3 2 y3 6xy .

28). Z 2x3 2 y 2 24xy .

29). Z 2xy 2x2 y 2xy2 . 30). Z x4 y4 2x2 y2 .

211