Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

3.arcsin(x) ~ (x).

4.e ( x) 1 ~ (x).

6. a ( x) 1 ~ (x) ln a.

3. arctg(x) ~ (x).

5. ln[1 (x)] ~ (x).

7. 1 cos x x2 .

2

Раскрытие неопределенностей

Вычисление пределов сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Если при этом

получаем неопределенности вида 0 , , 00 , 0 , 1 , 00 , , то

нахождение пределов в этих случаях называется раскрытием неопределенности.

Для раскрытия неопределенности, прежде чем перейти к пределу, необходимо преобразовать данное выражение.

Неопределенность вида

Чтобы раскрыть неопределенность вида , надо числитель

и знаменатель дроби поделить почленно на высшую степень

переменной.
Пример 1. Найти предел:
											1							6								1
		x4		6x2		1																												1
																	x2								x4
а)	lim									lim																									.
			2x4 2
	x									x								2																2
														2
																						x4
			3		2								1							2								2
		x		2x		2
												x		2								x	3						x		5
б)									lim																									0 .
	lim
		x5 4x				8
	x									x								4 8
													1
																			x4								x5

112

			x6 2
в)	lim						lim
	x x5			4х			x
г)	lim			5x3 4x			lim
				10x2 100
	x x3						x

Неопределенность вида

1					2
						x6					.
1							1
		x					x5
					5					4
											x2					5.
1					10							100
							x					x3
		0
		0

Если числитель и знаменатель дроби полином, который

превращается в нуль при x x0 ,

для раскрытия неопределенности

числитель и знаменатель надо поделить на (x x0 ) .

Пример 2. Вычислить:

x2

2x 1

0

(x 1)2

x 1

0

а)

lim

lim

lim

0 .

x2 1

(x 1)(x

x 1

x 1

0

x 1

1)

x 1

2

x3 8

0

(x 2)(x2

2x 4)

б)

lim

lim

x2

5x 6

(x 2)(x 3)

x 2

0

x 2

lim	x2	2x 4					4 4 4			12.
		x 3					2	3
x 2
Пример 3. Вычислить предел:
		lim		x2		4			;
						5x
		x 2 x2						6

Решение. Непосредственная подстановка числа x 2 под знак

предела приводит к неопределенности 0/0. Преобразуем выражение,

разложив числитель и знаменатель на множители и сократив на

(x 2) :

113

lim

x2 4

lim

(x 2)(x 2)

lim

x 2

4.

x2

5x

6

(x 2)(x 3)

x

3

x 2

x 2

x 2

Неопределенность вида

Неопределенность вида преобразованиями приводится к

0

виду

и .

0

Пример 4.

2

1

2

1

x

x x

x

2

1

lim

а)

lim

x

x

x

x

x2 1

x

2

1

1

1

x

1 x

x

lim

lim

x

2

.

x2 1

1

1

1

x

x

x2

x4

x3

1

x

2

1

x2

б)

lim

lim

3

2

x

(x 1)(x

x

x 1 x 1

1

x 1 x 1

1)

lim

x2 x 1 x2

.

(x 1)(x2

x 1)

x 1

Неопределенность вида 1

Неопределенность вида 1 раскрывается с помощью второго

замечательного предела.

Пример 5.

x2			2x 4	x			x2 2x 4			x
а) lim					1	lim 1				1
		2	3x 2				x	2	3x 2
x x						x

			x2 2x 4 x2 3x 2			x
lim	1
				2
x			x		3x 2

114

x 2

x2 3x 2

x 2

x

( x 2)x

x 2

x2 3x 2

lim 1

lim

x

x2 3x 2

x x2

3x 2

x2 2x

1

2

lim

lim

x

1.

x x2 3x 2

x

3

2

1

x

x2

x 1

x

x 1

x

б)

lim

1 lim 1

1

x 1

x x 1

x

2

x

x 1 x 1

x

x 1

x 1

2

2

e 2 .

lim 1

lim

1

x 1

x

x

x

1

x 3

x

1

x 3

x

в)

lim

lim 1

1

x x 2

x

x

2

5

x

x 2

x 2

5 x

5

5

lim

5

lim

1

ex x 2

e

.

x

x 2

Примеры вычисления пределов с помощью эквивалентных

бесконечно малых:

1 cos x

0

1

x2

x2

1

1

а)

lim

lim

2

lim

.

1 cos3x

1

x2

x 0

0

x 0

(3x)

2

9 x 0

9

2

esin3x

1

0

sin 3x

3x

3

б)

lim

lim

lim

.

ln(1

x 0

4x)

0

x 0

4x

x 0

4x

4

115

3.1.5 Непрерывность функции. Исследование функции на

непрерывность

Определение 1. Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 (a; b) , если существует предел функции в этой точке и он

равен значению функции в точке x0 :

lim f (x) f (x0 )

(1)

x x0

Равенство (1) означает выполнение трех условий:

1)функция f (x) определена в точке x0 и ее окрестности;

2)функция f (x) имеет предел при х x0 ;

3)предел функции в точке x0 равен значению функции в этой

точке, т.е.

lim f (x) f (x0 ).

x x0

На практике при исследовании функций на непрерывность пользуются признаками, которые непосредственно вытекают из соотношение (1), а именно:

для того, чтобы функция f (x) была непрерывной в точке x0 ,

необходимо:

1)f (x) была определена в окрестности точки x0 ;

2)существовала левосторонний предел функции в точке, т.е.

существовало число

lim f (x) ;

x x0 0

3) существовал правосторонний предел функции - число

lim f (x) ;

x x0 0

116

4) левосторонний и правосторонний пределы были бы равны

	lim f (x) =		lim	f (x) ;
	x x0 0	x x0 0
5) левосторонний и правосторонний пределы в точке x0 равны
значению функции в этой точке, т.е.
lim f (x) =		lim	f (x) = f (x0 )
x x0	0	x x0 0
Определение 2.	Если хотя		бы	одно из этих условий не

выполняется в точке, которая является внутренней точкой промежутка, в котором определена функция, то функция в этой точке называется разрывной.

Определение 3. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Определение 4. Точка x0 является точкой разрыва первого рода функции f (x) , если в этой точке существуют конечные

пределы функции слева и справа (односторонние), т.е. lim f (x) А1

x x0 0

и lim А2 . При этом:

x x0 0

а) если А1 А2 , то точка х0 называется точкой устранимого

разрыва;

б) если А1 А2 , то точка х0 называется точкой конечного

разрыва.

Определение 5. Величину | A1 A2 | называют скачком

функции в точке разрыва первого рода.

Определение 6. Точка x0 является точкой разрыва второго рода функции y f (x) , если по крайней мере один из

односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

117

Пример 1. Исследовать точки разрыва функции y

x 4

.

| x 4 |

Решение.

В точке

x 4 функция не определена. Найдем при

x 4

предел

данной

функции

слева и справа:

у

lim

x 4

lim

x 4

1,

(x 4)

x 4 0

| x 4 |

x 4 0

lim

x 4

lim

x 4

1.

| x 4 |

1

x 4 0

x 4 0

x 4

Поскольку односторонние

0

4

х

пределы конечны, но

-1

lim f (x) lim

f (x) ,

x 4 0

x 4 0

то x 4 является точкой разрыва первого рода.

Скачок в данном случае в точке x 4 равняется 2.

Пример 2. Определить характер разрыва функции

f (x)

3

.

у

(x 1)

3

Решение.

Функция

в

точке x 1 не определена.

0

При x 1 имеем

1

х

-3

f (x) 0 , при x 1

f (x) 0 .

Итак,

lim f (x) , lim

f (x) ,

x 1 0

x 1 0

поэтому точка x 1 является точкой разрыва второго рода.

118

3.1.6 Упражнения к разделу 3.1

Найти область определения функции y f (x) :

1). y x2 7x 6 lg( x 2). ( 2;1] [6; )

2). y x2 5x 6 (1 x) lg( x). ( ; 3] [ 2; 0)

								3
			2
	3). y	16 x		3 2x 3 .
									; 4
								2

4). y 4 x2 1x . [ 2; 0) (0; 2)

Исследовать на четность или нечетность функции:

5).	f (x) x4			x2				.		[четная]
			2
6).	f (x) x4		2x2 .							[четная]
7).	f (x)	x3	1			.			[ни четная, ни не четная]
		x2	4
	f (x) x2
8).			3 x 2sin x . [нечетная]

Найти период функций:

9).

10).

11).

y 2ctg		x			1.
	3
					7x
y 2sin
					3
y tg	x		3.
	3

3

		6
	.
	2		7

3

Построить графики функций:

119

	y (x 2)2
12).											3 .												13).		y					x 3 2 .
14).	y							x 2 1 .															15).		y sin 3x 1.
16).											2x							1 .					17).
	y 2cos																								y 3tg 2x												1.
															3																			3
Найти пределы функций:
18).	lim(4x2 6x 3) .																		7				19).		lim			3x2 4x 7								.			2
	x 2																								x 1			2x2 5x 6
20).	lim(2x2 7x 6) .																		3				21).		lim		x2 6x 8							.				2
	x 3																								x 4					x 4
22).	lim				2x4 5x3 7x2													8x 9				.		0
					3x5 6x3 4x2
	x																	2x 11
23).	lim					x7 8x6 5x4 3x2															12		.
										7x5 6x3 4x 17
	x 10x6
24).	lim				3x2 x 2										.				5
							2		5x 1
	x 1 4x																		3
25).	lim					6x2 5x 4										.			2				26).		lim				7x2 6x 3									.		0
	x 3x2									7x 2															x 9x3						8x2			2
27).	lim		x2 4x 4										.				0						28).		lim	x2 7x 6									.					5
							x		3	8																				36 x			2
	x 2																								x 6														12
Построить график функции, определить характер точек
разрыва:
					x 4,если												x 0,
29).	y
					tg x, если 0 x / 4,
					1,					если							x / 4.
[в точке						x 0						разрыв							1		рода,			в	точке						x / 4							функция
непрерывна]

120

		cos x, если			x 0,
30).	y	x	,	если 0	x 3,
		e
		1,		если	x 3.
[в точке		x 0		функция непрерывна,		в точке	x 3 разрыв 1
рода]
		cos x, если			x 0,
31).	y			если 0	x 3,
		1,
					x 3.
		x 2, если
[в точке		x 0		функция непрерывна,		в точке	x 3 разрыв 1
рода]
		sin x,если			x 0,
32).	y
		tg x, если 0 x / 2,
				если	x / 2.
		2,

[в точке x 0 функция непрерывна, в точке	x		разрыв 2
		2
рода]

121