Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

2.2. Аналитическая геометрия

2.2.1 Разновидности уравнения прямой на плоскости

Общее уравнение прямой

Ax By C 0 .

(1)

Уравнение прямой, проходящей

через заданную

точку

M0 (x0 , y0 ) перпендикулярно заданному вектору n ( A; B) .

A(x x0 ) B( y y0 ) 0 .

(2)

Если две прямые заданы общими уравнениями

A1x B1 y C1 0 и A2 x B2 y C2 0

тогда условие их параллельности имеет вид:

A1

B1

;

(3)

A2

B2

а условие их перпендикулярности:

A1 A2 B1B2

0 .

(4)

Косинус угла между прямыми находят по формуле

cos

A1 A2 B1B2

.

(5)

A

2 B

2

A 2 B 2

1

1

2

2

Расстояние d

от заданной

точки

M0 (x0 , y0 ) до прямой,

заданной общим уравнением, находят по формуле

d

| Ax0 By0 C |

.

(6)

A2 B2

Каноническое уравнение прямой, проходящей через задан-

ную точку M0 (x0 , y0 )

параллельно заданному вектору s (l; m) :

x x0

y y0

.

(7)

l

m

72

Уравнение вида (7) называют каноническим уравнением

прямой, а вектор s (l; m) — направляющим вектором прямой.

Если

направляющим

вектором прямой взять

вектор

M1M 2 (x2

x1; y2 y1 ) ,тогда получим уравнение прямой,

которая

проходит через две заданных точки M1(x1, y1) и M2 (x2 , y2 ) :

x x1

y y1

(8)

x

x

y

2

y

2

1

1

Из уравнения (8) легко получить уравнение прямой вида

x

y

1 ,

(9)

a

b

которое называют уравнением прямой в отрезках, поскольку прямая отсекает от координатных осей отрезки а и b.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k tg

y kx b ,

(10)

где – угол наклона прямой к оси Ох, b – отрезок, который отсекает прямая от оси Оу.

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентами k1 и k2

y k1x b1 и y k2 x b2 ,

тогда угол между этими прямыми находят по формуле:
tg	k1 k2		;	(11)
	1 k k
1		2
условие параллельности этих прямых имеет вид:
k1 k2 ;				(12)
а условие перпендикулярности выглядит так:

73

k k	2	1 или k	2	1 .	(13)
1				k1

2.2.2 Уравнения прямой и плоскости в пространстве

Расстояние между двумя точками A(x1, y1, z1) и B(x2 , y2 , z2 ) :

AB

x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2

.

(14)

Деление отрезка

A(x1, y1, z1) , B(x2 , y2 , z2 ) точкой С(x3 , y3 , z3 )

в заданном отношении

AC

:

CB

x

x1

x2

; y

y1 y2

; z

z1 z2

.

(15)

3

3

1

3

1

1

Уравнение

прямой,

которая

проходит

через точку

M0 (x0 , y0 ) в заданном направлении:

y y0 k(x x0 ) ,

(16)

где k – ее угловой коэффициент.

Если прямая

параллельна оси Ox (k 0) , то

ее

уравнение

y y0 , если прямая параллельная оси Oy , то ее уравнение

x x0 .

Уравнение прямой, которая проходит через

M1 (x1, y1 ) и M2 (x2 , y2 ) :

x x1		y y1	, (x x , y y				).
x2 x1		1		2	1	2
		y2 y1

Пересечение двух прямых находится по формуле:

A1x B1 y C 0;Ax2 B2 y C 0.

две точки

(17)

(18)

74

Система имеет единое решение, если

A1

B1

.

A2

B2

Если

A1

B1

C1

, то прямые параллельны.

(19)

A2

B2

C2

Если

A1

B1

C1

, то прямые совпадают. .

(20)

A2

B2

C2

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

	x x0		y y0		z z0	,
	m		n		p

где x0 , y0 , z0 – координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n, p – направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.

Острый угол

между

прямой

x a

y b

z c

и

m

n

p

плоскостью Ax By Cz D 0 :

sin

Am Bn Cp

.

(21)

A2 B2 C 2 m2 n2 p2

Уравнение прямой, которая проходит через две данные

точки А (х1, b1, z1) и B (x2, y2, x2):

х х1

у у1

z z1

.

(22)

у

х

х

у

2

z

2

z

2

1

1

1

Условие параллельности прямой и плоскости:

Am Bn Cp 0.

(23)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

75

	A		B		C	.	(24)
	m		n		p
Общее уравнение плоскости:
Ax By Cz D 0 .							(25)

Вектор N ( A; B;C) , перпендикулярный плоскости, называется

нормальным вектором плоскости.

Уравнение плоскости, которая проходит через точку

M0 (x0 , y0 , z0 ) перпендикулярно вектору N ( A; B;C) :
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 .							(26)
Уравнение плоскости, проходящей через три							точки
M1(x1, y21, z1) , M2 (x2 , y2 , z2 ) , M3 (x3 , y3 , z3 ) :
	x x1	y y1	z z1
	x2 x1	y2 y1	z2 z1		0.		(27)
	x3 x1	y3 y1	z3 z1

Уравнение плоскости в отрезках на осях:

	x		y		z	1 ,	(28)
	a		b		c

где a, b, и с – величины отрезков, которые отсекает плоскость на

осях координат.
Уравнение связки плоскостей, проходящих	через точку
M0 (x0 , y0 , z0 ) :
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 .	(29)

Коэффициенты А, В, С определяют разные плоскости, которые проходят через данную точку.

76

Угол

между

плоскостями

A1x B1 y C1z D1

0

и

A2 x B2 y C2 z D2 0 :

A1 A2 B1B2 C1C2

cos

N 1 N 2

.

(30)

|

1

N

|| N 2 |

A12 B12 C12

A2

2 B2

2 C2

2

Условие параллельности плоскостей:

A1

B1

C1

.

(31)

A2

B2

C2

Условие перпендикулярности плоскостей:

A1 A2 B1B2 C1C2

0.

(32)

Расстояние

от

точки

M0 (x0 , y0 , z0 )

до

плоскости

Ax By Cz D 0 :

d

| Ax0 By0

Cz0

D |

.

(33)

A2 B2 C2

Пример 1. Составить уравнение прямой, которая проходит

через точки А (3; – 4) и В (4; 5).

Решение. За первую примем,

например,

точку

А,

тогда,

х1 = 3,

х2 = 4, b1 = – 4, b2 = 5.

Имеем

х 3

у ( 4)

;

х 3

у 4

; 9х 27 у 4 .

4 3

5 ( 4)

1

9

Общее уравнение прямой

9х у 31 0 .

Пример 2. Составить уравнение прямой, которая проходит

через точку А(3; –4) параллельно

прямой 2х 5у 7 0 ,

и

перпендикулярно ей.

77

	Решение. Угловой коэффициент данной прямой	k	2	.
			5

Соответственно условиям параллельности и перпендикулярности двух

прямых угловой

коэффициент

параллельной

прямой

2

, а

5

перпендикулярной

прямой

5

,

тогда

уравнения

искомых

прямых

2

имеют вид:

параллельной –

у ( 4)

2

(х 3);

2

х у 4

6

0;

2x 5 у 14 0 ,

5

5

5

перпендикулярной –

у ( 4)

5

(х 3);

5

х у

15

4 0;

5х 2 у 23 0 .

2

2

2

Пример 2. Определить расстояние от точки

М (1; 2) до прямой

20x 21y 58 0 .

Решение. Имеем

d

|201 21 1

58|

|20 42 58|

| 80|

2

22

.

400 441

29

29

29

Пример 3. Найти расстояние от точки

A(2,3, 1)

до плоскости

7x 6y 6z 42 0 .

Решение. Подставив в формулу расстояния от точки до плоскости значения А = 7; В = – 6; Z = – 6; х1 = 2; b1 = 3; z1 = –1,

имеем:

d	7 2 ( 6) 3 ( 6) ( 1) 42					14 18 6 42		4.
						11
		72 ( 6)2 ( 6)2

78

Пример 4. Уравнение плоскости 2x 3y 4z 24 0

преобразовать в формулу отрезков на осях.

Решение. Перенесем свободный член 24 в правую часть уравнения и получим 2x 3y 4z 24 .

Разделив обе части на – 24, получим:

x		y		z	1.
12		6
			6

Пример 3. Найти острый угол между плоскостями:

5x 3y 4z 4 0; 3x 4 y 2z 5 0.

Решение. По формуле угла между плоскостями получим, если

учесть, что
А1= 5;					В1 = – 3; Z1 = 4; и								А2 =3; В2 = – 4; Z2 = –2:
cos		15 12 8							; cos	19			; cos 0,4990; 60O04 .
			50		29					5 58

В формуле следует взять абсолютную величину правой части,

так как надо найти острый угол между плоскостями и, значит, cos 0 .

Пример 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами A1(2, 3, 1) ,

A2 (4, 1, 2) ,	A3 (6, 3, 7) и A4 ( 5, 4, 8) , и его высоту, опущенную из
вершины A4	на грань A1 A2 A3 .

Решение. Из вершины A1 проведем векторы A1 A2 {2, 2, 3} ,

A1 A3 {4, 0, 6} и A1 A4 { 7, 7, 7} .

В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения

79

V						1		|( A A A A A A )| .
		T	6							1			2			1		3	1	4
С другой стороны,
						V						1			S			h ,
																A1A2 A3
								T		3
где соответственно геометрическому смыслу векторного
произведения
		S										1			|[ A A , A A ]| .
			A1A2 A3
										2						1 2			1 3
Тогда
h			3VT								|( A1 A2 A1 A3 A1 A4 )|										.
	S A1A2 A3															|[ A1 A2 A1 A3 ]|
Вычисляем смешанное произведение:
			2				2					3
( A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 )			4						0					6		2 42 2 70 ( 3) ( 28) 308
		7					7						7
и находим объем тетраэдра
V				1	308										154		(ед. длины)3.
T			6													3
Вычисляем координаты векторного произведения:
i				j					k
|[ A1 A2 , A1 A3 ]| 2			2					3				12i 24 j 8k ( 12, 24, 8)

4 0 6

и его модуль

|[A1 A2 , A1 A3 ]| ( 12)2 ( 24)2 82 28 .

Находим высоту:

80

h	|( A1 A2 A1 A3 A1 A4 )|				308		11 (ед. длины).
		|[ A1 A2 A1 A3 ]|			28
Итак, V		154	(ед. длины)3,	h 11 (ед. длины).
T	3

2.2.3 Кривые линии второго порядка

Определение 1. Кривой второго порядка называется линия,

определяемая уравнением второй степени относительно текущих

декартовых координат. В общем случае это уравнение имеет вид

Ax2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 ,

(1)

где коэффициенты действительные числа и хотя бы одно из

чисел А, В или С отлично от нуля.

К кривым второго порядка относятся линии: окружность,

эллипс, гипербола, парабола.

Определение 2. Окружностью называется совокупность точек,

равноудаленных от одной и той же фиксированной точки – центра

окружности.

Уравнение окружности имеет вид:

x x0 2 y y0 2 R2 ,	(2)
где x0 ; y0 – координаты центра окружности, а	R – радиус

окружности.

Определение 3. Эллипсом называется совокупность точек,

сумма расстояний которых до двух заданных точек (фокусов), равна постоянной величине 2а.

Уравнение эллипса имеет вид:

81