Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

3.1.2 Четность, нечетность, периодичность функций

Пусть функция	y f (x) задана на промежутке [a; b] , который
симметричен относительно начала координат.
Определение	1.	Функция		y f (x) ,		определенная		на
промежутке [a; b] , называется четной, если для любого							x [a; b]
выполняются условия x [a; b] ;			f (x) f (x).
График четной функции симметричен относительно оси
ординат.
Определение	2.	Функция		y f (x) ,		определенная		на
промежутке [a; b] , называется нечетной, если для любого							x [a; b]
выполняются условия x [a; b] ;			f (x) f (x).
График нечетной функции симметричен относительно начала
координат.
Пример 1. Пусть f (x) sin x ,				где	x ( ; ) .		Согласно
известному свойству данной функции,
f (x) sin(x) sin x f (x).
Следовательно,	sin x является нечетной функцией.
Пример 2. Пусть		f (x) cos x , где x ( ; ) . Известно, что
		cos(x) cos(x).
Итак, cos x является четной функцией.
Определение 3.		Функция	y f (x) ,		определенная		на	всей

числовой оси, называется периодической, если существует число

T 0 такое, что для всех x ( ; ) выполняется тождество

f (x T ) f (x).

102

Число Т при этом называется периодом функции f (x) .

Если число		Т является периодом функции f (x) , то и число –Т
есть также периодом f (x) :
		f (x T ) f ((x T ) T ) f (x).
Если f (x)		— периодическая функция с периодом Т, то
функция	f (ax b) , где a 0 , есть периодической с периодом						T		.
								a
В частности, если рассмотреть функцию						y Asin( x ) , где
A, , — постоянные, то периодом этой функции есть число								2		.
Пример 3.		Найти период функции y tg2x .
Решение. Функция			tgx имеет период			, поэтому функция
tg2x имеет период T .
		2
3.1.3 Основные элементарные функции и их графики
Линейная функция:
	y kx b .					у
График функции –				прямая
(для построения достаточно две
точки,	желательно				точки	0
										х
пересечения с осями координат):
x 0; y b ;		y 0; x		b	.
				k

103

n 2k 1

Степенная функция:

y xn , ( 0) .

Если n N , функция

определена на всей числовой оси,

т.е. x R . Если n 2k — функция

четная, то	принимает	значение
y 0; .	Их графиками будут
параболы соответственно		второго,

четвертого и т.д. порядков. Если

— графики парабол третьего, пятого и т.д. порядков.

Показательная функция:

у

0

0

у

0 х

	y ax , a 0, a 1.			у
	Область	ее	определения	a<0<1
x R ,	область		значений	1
y (0; ) . Если a 1, функция ,				0
если 0 a 1, функция .
	Причем,	для	произвольного a : y(0) a0 1,

произвольной экспоненты проходит через точку (0;1) .

а>1

х

т.е. график

104

Логарифмическая функция: y loga x, a 0, a 1.

Эта	функция		обратная	к
показательной,		x (0; ) ,		y R ,
loga 1 0 .	Поэтому график произвольной

функции проходит через точку (1; 0) .

Тригонометрические функции:

у

0 х

	y sin x;	y cos x; y tgx; y ctgx .
Функции	sin x и	cos x определены для всех	x R и имеют
множество значений 1;1 .
Функция	tgx определена всюду, кроме x n , n N ,
и монотонно возрастает в каждом интервале области определения.
Функция	y ctgx	всюду определена, кроме	x n, n N , и

монотонно убывает в каждом интервале области определения. Множество значений tgx и ctgx — промежуток ( ; ) .

Функции	sin x , tgx ,	ctgx — нечетные,		их	графики
симметричны относительно начала координат,			cos x	— четная, ее
график симметричен относительно OY .
Функции	периодические.	Наименьший	период		синуса и

косинуса T 2 , tgx и ctgx — T .

105

у					у
	1				1
		cos x				sin x
	0		х		0	х
	-1				-1
	у	tgx		у
					сtg x
		0	х	0	/ 2	х

Тригонометрические функции в интервале монотонности

имеют обратные:
y arcsin x — обратная к			;			;
	y sin x на отрезке
		2		2
y arccosx — обратная к	y cosx на отрезке 0; ;
y arctgx — обратная к					;
	y tgx на промежутке						;
				2		2
y arcctgx — обратная к	y ctgx на промежутке		0; .

106

		y arcsin x											y arccosx
			2
–1						1							2
		–										–1	1
2
		ОДЗ: 1; 1											ОДЗ: 1; 1
				;									Е (у): 0;
		Е (у):
			2		2
		y arctgx											y arcctgx
2
													2
			–
					2
								;			ОДЗ: ; ; Е (у): 0; .
ОДЗ: ; ; Е (у):										.
							2		2

3.1.4 Предел функции

Пусть функция y f (x) определена в некоторой окрестности

точки х0 , кроме, может быть, самой точки х0 .
Определение 1. Число А называется пределом функции		f (x)
в точке х0 при x х0 , если для	любого положительного	0
найдется число ( ) 0 такое,	что при всех х х0 , | x х0 |
107

выполняется неравенство | f (x) A | . При этом пишут

lim f (x) A .

x х0

Определение		2.	Число А называется пределом функции
y f (x) при	x ,		если для произвольного 0 существует
число M M ( ) 0		такое, что при | x | M выполняется неравенство

| f (x) A | . При этом пишут lim f (x) A .
	x
Определение 3. Функция (x) называется бесконечно малой
при x х0 , если lim (x) 0 .
x х0
Определение	4. Функция	(x) называется бесконечно
большой при x х0	, если lim (x) .
	x х0
Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно
большие величины при x .
Очевидно, что всякая б.б.ф.		в окрестности точки х0 является
неограниченной в этой окрестности.
Однако, если	lim f (x) A ,	где А const , то функция f (x)
	x х0

ограничена в окрестности точки х0 .

Бесконечно большие величины находятся в тесной связи с бесконечно малыми: если при данном предельном переходе функция

(x) есть бесконечно большой, то функция ( (x)) 1 при этом самом

предельном переходе будет бесконечно малой и наоборот.

Свойства бесконечно малых функций

	1. Если lim (x) 0 , то	lim	1	.
			(x)
	x х0	x х0

108

2.Алгебраическая сумма конечного числа б.м.ф. есть бесконечно малая функция.

3.Произведение б.м.ф. на ограниченную функцию есть бесконечно малая функция.

4.Произведение двух б.м.ф. есть бесконечно малая функция.

5.Произведение б.м.ф на число есть бесконечно малая

функция.

6.Частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть бесконечно малая функция.

7.Если функция f (x) имеет предел, равный А, то ее можно

представить как сумму числа А и б.м.ф. (x) , т.е. если

lim f (x) A , то	f (x) A (x) .
x х0

При вычислении пределов необходимо знать такие теоремы:

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

lim( f (x) (x)) lim		f (x) lim (x) .
x х0	x х0	x х0
Теорема 2. Предел произведения двух функций равен
произведению их пределов:
lim( f (x) (x)) lim f (x) lim (x) .
x х0	x х0	x х0

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак

предела:

lim c f (x) c lim f (x).

x х0 x х0

Следствие 2. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела

109

			lim ( f (x)п ) ( lim f (x))п .
			x х0			x х0
	Сравнение двух бесконечно малых функций одного и того
самого		аргумента	х	при x х0		характеризуется			следующими
определениями и теоремами.
	Определение		5.	Бесконечно		малые функции (x) и				(x)
называются бесконечно малыми одного порядка при									x х0 ,	если
lim	(x)	А (А R) .
x х0	(x)
	Определение		6.	Если	lim	(x) 0 , то		(x)	называется
					x х0	(x)
бесконечно малой более высокого порядка, чем (x) .
	Определение		7.	Если	то	lim	(x) 1 ,	то (x) и		(x)
						x х0	(x)

называются эквивалентными бесконечно малыми, и записываются

(x) ~ (x) .

Определение	8.	Если	lim		(x) , то		(x)	называется
			x х0		(x)
бесконечно малой более низкого порядка, чем (x) .
Определение	9.	Если	lim			не существует,		то	и
			x х0

называется несравнимыми бесконечно малыми.

Теоремы об эквивалентных бесконечно малых Теорема 1. Предел отношения двух бесконечно малых

функций не изменится, если каждую из них (или одну) заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

110

Теорема 2. Чтобы две бесконечно малые функции были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малой более высокого порядка в сравнении с каждой из них.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют пределы:

lim	sin х				1		– первый замечательный предел;
х 0		х
			1			х			1
							e ;	lim(1 х) х		e – второй замечательный
lim 1
x			х					х 0

предел,

где е — иррациональное число, е = 2,718281...

Следствия из замечательных пределов

1.

lim

sin kх

k .

2.

lim

tgkх

k .

х 0

х

х 0

х

3.

lim

arcsin kх

k .

4.

lim

arctgkх

k .

х 0

х

х 0

х

1

k х

5. lim(1 kх) х e

k

e

k

.

6.

lim 1

.

х 0

х

х

Если

(x) 0 при

x 0 ,

то

справедливы такие

эквивалентности:

1. sin (x) ~ (x).

2. tg(x) ~ (x).

111