Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

Интегрирование четных степеней синусов и косинусов

sin 2n x cos2m x dx .

Здесь следует применять формулы понижения степени

		cos2	1 cos 2			; sin 2			1 cos 2	; sin 2 2 sin cos .
				2					2
		Пример 5.
sin	2	5x dx	1 cos10x				1	dx cos10x dx			1		1
						dx						x			sin 10x	C.
			2				2				2		10

Пример 6.

cos4 2x dx

=14 (x 2sin

		2			x			2				1 cos x											2	1							2
cos									dx														dx		(1 2 cos x cos							x dx)
					2											2								4
	1					1 cos 2x										1										1		1
x)												dx						(x			2sin x)						x		sin 2x	C
	4							2								4										8		2
						=			3	x	1		sin x						1			sin 2x C.
								8			2								16

Пример 7.

sin 4 x cos2 x dx (sin x cos x)2 sin x dx 14 sin 2 2x 12 (1 cos 2x) dx

18 sin 2 2x dx 18 sin 2 2x cos2x dx

18 12 (1 cos4x)dx 161 sin 2 2x d(sin 2x)

161 x 641 sin 4x 481 sin 3 2x C .

232

Интегрирование нечетных степеней синусов и косинусов

Интегрирование

	sin n x cosm x dx ,
где хотя бы один из показателей т и п – нечетный, (например,
n 2k 1 ) учитывая, что cos2 x 1 sin 2 x , имеем:
sin m x cosn x sin m x cos2k x cos x sin m x(1 sin 2 x)k cos x ,
где целесообразной будет подстановка sin x u .
Пример 8.	Вычислить интеграл sin 3 x dx .
Решение.
sin 3	x dx sin 2 xsin xdx (1 cos2 x)sin x dx .
Применяя подстановку cos x u , имеем:
(1 u2 ) du u		u3	C cos x		cos3x	C.
	3			3
Пример 9. Вычислить интеграл cos5 x dx .
Решение.
cos5 x dx cos4 x cos x dx (1 sin 2				x)2 cos x dx

(1 2sin 2 x sin 4 x) cos x dx. .

Применяя подстановки
sin x u ,				cos x dx du ,
имеем
(11u2 u4 )du u	2u3		u5		C sin x	2sin	3 x		sin 5 x	C.
3		5				3		5

233

Интегрирование целых степеней тангенса и котангенса

Для интегрирования целых степеней тангенса и котангенса

применяются формулы:

tg 2 x

1

1;

ctg2 x

1

1.

cos2

sin 2 x

x

Пример 10.

Вычислить интеграл tg5 x dx .

Решение.

5

3

2

3

1

tg x dx

=

tg x tg x

= tg x

1 dx =

2

x

cos

=

tg3 x

dx tg3 x dx

=

tg4 x

tg2 x tgx dx =

cos2

x

4

tg4 x

1

tg4 x

dx

=

1

tgx dx =

tgx

tgx dx =

4

2

x

4

cos

2

cos

x

=

tg4 x

tg2 x

ln | cos x | C .

4

2

4.1.8 Интегрирование иррациональных функций

При интегрировании выражений, которые содержат дробные степени переменной интегрирования (т.е.

иррациональности), методом подстановки сводят подинтегральную функцию к рациональной дроби. Рассмотрим несколько случаев.

Интегрирование иррациональных выражений методом подстановки

Подинтегральная функция является рациональной дробью

относительно x , где – дробное число. В этом случае вводят новую

234

1

переменную t x q , где q – общий знаменатель дробных показателей степени переменной х.

Пример 1.											Найти интеграл																						x dx														.
																												3
																																x4 4									x5
																																										1
																					x dx																		x 2 dx
Решение.											Имеем:																																							.
																3										4														4								5
																			x	4							x	5
																																				x 3 x 4
Общий знаменатель дробных показателей степеней																																																						1		,		4	,		5
																																																						2			3			4
																																																												1
переменной х равняется 12. Поэтому сделаем подстановку																																																									t x12 ,
x t12 ,		dx 12t11dt и получим:
														6																										2												2	1 1
				x dx									t																	12								t				dt					12				t
																			12t11 dt																																				dt
	3						4					t	16			15																						t 1
		x	4					x	5
													t																																								t 1
			12 (t 1) dt 12																dt						12				(t 1)2											12ln | t 1| C
																		t 1												2
															1								2												1
											6 x				12		1									12ln							x12 1											C .

Интегрирование выражений, содержащих дробные степени линейного двучлена

Подинтегральное выражение содержит дробные степени линейного двучлена (ax b) . В этом случае целесообразно сделать

1

подстановку t (ax b) q , где q – общий знаменатель дробных показателей степеней двучлена.

235

Пример 2. Найти интеграл

dx

.

3

1

(x 1) 2 (x 1) 2

1

Решение.

Пусть t (x 1) 2

,

x 1 t 2 ,

x t 2 1, dx 2t dt .

Поэтому

dx

2t dt

2

dt

2arctg

x 1 C .

3

1

t3 t

t 2 t

(x 1) 2 (x 1) 2

Интегрирование выражений вида

a

2

x

2

2

x

2

x

2

a

2

R x,

, R x, a

и

R x,

,

где R — рациональная функция

В

этом

случае

следует

использовать

тригонометрические

подстановки соответственно x a sin t,

x a tgt,

x

a

.

cost

После замены переменной имеем интеграл вида

R1 sin t, cost dt ,

который вычисляется с помощью подстановок или методом понижения степени с последующим возвращением к переменной х.

				x2
Пример 3.	Вычислить интеграл					dx .
				9 x2
Решение.	Сделаем подстановку x 3sint .

Тогда dx 3cost и 9 x2 3cost . После замены переменной

имеем:

236

x2

dx

9sin 2 t 3cos

t

dt 9 sin 2t dt .

9 x2

9 9sin 2 t

Применим понижение степени:

9 sin 2 t dt

9

(1 cos 2t) dt

9

t

9

cos 2t dt

9

t

9

sin 2t C .

2

2

2

2

4

x

Возвращаемся к переменной х,

подставляя

t arcsin

:

3

x2

9

x

9

x

dx

arcsin

2 arcsin

C .

9 x2

2

3

4

3

Интегрирование иррациональных выражений,

содержащих квадратичный трехчлен

	1) Интеграла вида			dx		сводятся к табличным после
				ax2 bx c

выделения полного квадрата в знаменателе подинтегральной функции.

Пример 4. Найти интеграл

dx

.

x2 2x 10

Решение.

dx

d (x 1)

C .

ln

x 1

x2 2x 10

x2 2x 10

(x 1)2 9

2) Интеграла вида

( Ax 1)dx

после преобразований

ax2 bx c

подинтегральной функции сводятся к выше рассмотренным. Для этого надо в числителе выделить дифференциал трехчлена, который стоит в знаменателе и разложить интеграл в сумму двух интегралов.

237

Пример 5.

Найти интеграл

(x 7) dx

x2 2x 10

Решение.

(x 7) dx

1

2x 2 12

2

x2 2x 10

x2 2x 10

1

2x 2

dx 6

dx

2

x2 2x 10

(x 1)2 9

x2 2x 10 6 ln x 1 x2 2x 10 C .

4.1.9 Упражнения к разделу 4.1

Вычислить неопределенный интеграл:

.

dx .

			1		1			2		arctgx ctg x 2 ln | x | C
1).									dx
			1 x2		sin 2
						x		x

				2x
2). 2x	2 cos x 2 dx
						2 sin x 2x C
			ln 2

																																							x4
3).		x3 cos2 x																5x cos2 x																															5x
																																	dx													tg x				C
													cos						2			x																				4							ln 5
									1																5 5 x6										5			5 x4
4).		5			x											dx																													C
									5			x														6												4
5).		1							1									1														1
																								dx													ln | x | tg x C
					2					x						cos				2			x										x
		x
6).													x													3		3		x		7						2x				2
		x3					x											dx																											C
														x3														7												x		2
		x2ex							x3 x												2								x								x2
7).																							dx					e											x C
										x		2																									2

238

8).	x4	3x3 4x2 6x 8			x3			3		2		8
				dx					x		4x 6 ln x		C
		x	2			3		2				x

Вычислить неопределенный интеграл методом подстановки:

9).

10).

			1			3
	2x 3 dx				(2x 3) 2		C
				3

	x			2
			dx				x 4 (х 8) C
	x 4
				3

11). sin 3 x cos x dx	sin 4		x
				C
		4

sin x 12). cos2 x dx

13). sin 5 x dx cos4 x

14).			cos x dx
			sin 2 x
15).			sin x dx
			cos3 x

				1
							C
cos x
				1								2
					3			x			cos x
			3cos
				1
								C
				sin x
				1
										C
					2		x
2 cos

cos x C

Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по

частям:
9). (4x 5) sin 3x dx			1			4
				cos3x(4x 5)				sin 3x C
			3			9
10). (3x 2) cos5x dx		1			3
			sin 5x(3x 2)				cos5x C
		5			25

11). x ln x dx		1		2		1
			x		ln x			C
		2				2
12). x sin x dx	sin x x cos x C

239

13).

14).

x arctgx dx	1		(x2	1) arctgx x C
	2
ln(x2 1) dx	x ln(x2				1) 2x 2 arctgx C

Найти неопределенный интеграл:

					dx															1
15).																														C
	(2x 3)						3							4(2x									3)					2
16).					dx										1												x 3
																	arctg																		C
			x	2	6x 18										3															3
17).					2x 5						dx					ln(x							2		2x 2) 3 arctg(x 1) C
			x2		2x 2
18).					3x 2											3													2																1				x 1
											dx										ln(x									2x								5)									arctg				C
			x	2	2x					5																																			2				2
																2
19).			x3		3x2 5x 7																				x2															7
																dx																	3x										5 ln х С
						x		2																					2											х
20).			x3		2x2 3x 1																			x						2																2
																dx																			2x ln(x												1) arctgx C
					x	2	1																						2
Вычислить интегралы:
					dx																			2
21).																																	C
	2sin x cos x																						x
																				tg								1
																							2
																																	1 2 tg								x
					dx																2																				2
22).																									artg																			C
	3			sin x cos x
																					7															7
23). cos3x cos x dx																	1			1																1
																									sin 2x													sin 4x										C
																	2			2																4

240

24). sin 8x cos2x dx																																													1												1																				1
																																																															cos10x																	cos6x					C
																																													2								10																								6
25). sin 5x sin 3x dx																																									sin 2x																						sin 8x
																																																																										C
																																																	4															16
26). sin							4																				3x															sin 2x																				sin 4x
											x dx																																																															C
																											8																			4																32
27). cos								4																							1							3																											1
												x dx																														x sin 2x																												sin 4x C
																															4							2																											8
28). sin							2																4																						1													1																			1						3
											x cos														x dx																										x													sin 4x																	sin			2x C
																																										16																64																			48
29). sin 7 x cos6 x dx
	1					7												1											9												3										11														1								13
		cos						x														cos											x													cos												x												cos								x C
	7																	3																					11																									13
Вычислить интеграл:
																																	x						2
30). (x																																															2x										x
														x )dx																																																	C
																																						2													3
31).						3													x					x																																						1								2
																																																					x																						x C
																						4						dx																	6																						x
							x																																																							10
				1														4																																								1							8
32).																															2 dx																																											2x C
							2
																x							x																																			x											x
			x
																																	4
33).									x																																4																				4
																																																	3																			3
																				dx																										x						ln														x						1					C
			4		x3							1																					3
												6 x 1																																									6											12
34). 6.																																	dx																																								2 ln x 24ln 12 x 1 C
				6 x7 4 x5																																																6 x												12 x

241