Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

	x2		y2	1,	(3)
	a2		b2

где а – большая, b – малая полуоси эллипса.

у

b

			x
а	F1	O	а
			F2

b

Если 2с – фокусное расстояние (расстояние между фокусами

F1 и F2 ), то между а, b и с существует соотношение:

a2 b2 c2.

Определение 4. Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине его большей оси

ac .

Уэллипса < 1, так как с < a, а его фокусы лежат на большой оси.

Определение 5. Гиперболой называется совокупность точек,

абсолютная величина разности расстояний которых до двух заданных точек, (фокусов), равна постоянной величине 2а.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

	x2		y2	1,	(4)
	a2		b2

где а – вещественная, b – мнимая полуоси.

82

	y
		b
a		a
F1	O	x
		F2

b

Если 2с – фокусное расстояние (расстояние между фокусами F1

и F2 гиперболы), то между а, b и с существует соотношение:

a2 b2 c2 .

При b = a гипербола называется равносторонней.

Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид: x2 y2 a2 .

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

Определение 5. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси:

ac .

Асимптоты гиперболы – две прямые, определяемые

уравнениями:

y ba x .

83

Определение 6. Параболой называется совокупность точек,

равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной

прямой, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы:

y2 2 px ,

(5)

где р - параметр, равен расстоянию от директрисы до фокуса, р > 0.

Координаты фокуса
		p
F			;0		.
		2
Уравнение директрисы
x				p	.
			2
Эксцентриситет параболы
1.

			y	M
	A				AM MF
	p		O	F	x
	2

Виды уравнений параболы:

84

у		у		у
0	x	0	x	0	x
y2 2 px		x2 2 py		x2 2 py

Пример 1. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса

										4x2 9 y2												16 .
Решение.	Разделив обе части уравнения на 16, получим
	x2					9y2			1		или									x2						y 2			1 , откуда
	4																	4							16
							16
																										9
a2 4 , b	2	16						, a 2 , b											4		,		c2 a2 b2 4														16							20	,
				9														3																			9							9
								c		2 5				,									c					5				.
											3												a					3
Таким образом, имеем:
				4
											2 5																	2 5											5
a 2 , b								, F1									, 0					, F2													, 0	,								.
				3							3																	3											3

Пример 2. Построить линию, определяемую уравнением

2x2 16y2 36x 64y 44 0 .

Решение. Вынося за скобки коэффициенты при квадратах координат и выделяя полные квадраты, получаем

9(x2 4x 4) 16( y2 4 y 4) 36 64 44 0 ,

85

т. е.

9(x 2)

2

16( y

2)

2

144

(x 2)2

( y 2)2

или

1 ,

16

9

где a2

16, a 4

и b2

9, b 3 .

Переходя

к

новым

координатам

по

формулам

x' x 2, y' y 2 , последнее уравнение примет вид

x'2

y'2

1.

16

9

Таким образом, это уравнение является уравнением эллипса с

полуосями

a 4, b 3

и

центром в

точке

x' 0, y' 0 , т.е.

x 2 0, y 2 0 , откуда x 2, y 2 .

y'

3 у

-4		O	2	4
’				x'
	-2			х
		-3

Начало новой системы координат находится в точке O1( 2, 2) .

Замечание. Если уравнение линии второго порядка содержит произведение текущих координат, то путем поворота осей и надлежащим выбором угла поворота следует добиться того, чтобы в преобразованном уравнении отсутствовало произведение текущих

86

координат.

Пример 3. Определить вид и расположение на плоскости линии

4x2 9 y2 8x 36y 68 0 .

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, выделяя полные

квадраты:

4(x2 2x 1) 9( y2 4 y 4) 4 36 68 0 ,

4(x 1)2 9( y 2)2 36 0 .

Разделим обе части уравнения на 36:

(x 1)2

( y 2)2

1 .

9

4

Введем новые координаты

X x 1,

Y y 2 .

Уравнение

примет вид

X 2

Y 2

1 .

9

4

Оно определяет гиперболу с центром

в

точке

O1(1, 2) и

полуосями a 3 , b 2 .

2.2.4 Полярная система координат

Полярная система координат

определяется

некоторой точкой

О, являющейся полюсом, лучом, исходящим из этой точки,

называемого полярной осью, и масштабом для измерения длины.

Полярными координатами произвольной точки М называются числа OM – полярный радиус, и ΑΟΜ – полярный угол.

Обычно положительным считается поворот против часовой стрелки.

Исходя из определения, полярный радиус 0 , а полярный угол

87

имеет бесконечно много возможных значений.

M ( ;

ρ

φ

Связь между декартовыми и полярными координатами

определяется формулами:

x cos ; y sin ;

				tg	y	.
	x2 y2 ;
					x

При этом предполагается, что полярная ось совпадает с положительным направлением оси абсцисс, начало координат - с

полюсом, и все три оси имеют общую единицу масштаба.

ρ

y

φ

x

Пример 1. Построить точку

,l
М с координатами 3,	в

88

полярной системе координат.
Решение. Проведем через полюс О ось OP	под углом		к
1

полярной оси ОР (положительное направление указано стрелкой) и

отложим

от

полюса

в

положительном

направлении

оси

OP отрезок ОМ, равным

1

трем

единицам

масштаба.

Конец М этого отрезка и будет

искомой точкой.

Пример 2.

Найти прямоугольные координаты точки, полярные

5

координаты которой A 3,

.

5

Решение.

x cos

x 3cos

;

x

3 2

.

2

5

y sin ;

y 3sin

;

y

3 2

.

2

2.2.5 Примеры использования элементов аналитической геометрии в задачах экономического характера

Определение рентабельности транспортных поставок

Транспортные затраты перевозки единицы груза у железнодорожным и автомобильным транспортом на расстояние х определяются формулами:

y 12 x 10 и у х 5 ,

где х измеряется в десятках км.

89

Построим графики транспортных затрат перевозок:
25
				y x 5
20
15				y x / 2 10
10
5
	5		10	15	20
Графики	пересекаются	в	точке	N(10, 15) . Для проверки
координат точки N найдем точку пересечения аналитически:

	1		x 2y 20
		x y 10
	2			y 15; x 10 .
x y 5			x y 5

Графики затрат позволяют сделать вывод:

а) если x [0,10] , т.е. x 100 км, транспортные затраты у перевозок автотранспортом ниже затрат перевозок железнодорожным транспортом;

б) если x [10, ] , т.е. x 100 км, более рентабельным будет

железнодорожный транспорт.

Равновесие дохода и затрат

Компания изготовляет изделия А и продает их по 2 доллара каждый. Руководство компании определило, что сумма YB общих еженедельных затрат (в долларах) на изготовление изделия А в

количестве х (тысяч единиц) имеет такую закономерность

90

					Y	12001200x 100x2 .
					З
		Определить еженедельное количество изготовления и продажи
изделий А, которое обеспечивает равновесие затрат и дохода.
		Решение. Доход от продажи х тысяч изделий А стоимостью 2
доллара каждый будет:
						У Д 2000х .
		Для равновесия дохода и затрат необходимо, что бы
выполнялось равенство:
У	З	У	Д		1200 1200х 100х2 2000х			х2 800х 1200 0
					х2 8х 12 0; х 2; х			2	6 .
						1
		Таким			образом,	эта задача имеет	две точки равновесия.

Компания может производить 2000 ( х 2 ) изделий А с доходом и затратами 4000 долларов, или 6000 ( х 6 ) изделий с доходом и затратами 10000 долларов.

Рассмотрим на этом примере возможности компании.

Обозначим еженедельный доход Д, тогда:

Д У	Д	У	З	2000х (1200 1200х 100х2 )
1000х2 800х 1200 100(х 6)(х 2)
Из последнего выражения следует, что при х 2						или х 6
имеем Р 0 , т.е. эти значения х будут точками равновесия.
Когда 2 x 6 ,			тогда		х 2 0, x 6 0 и имеем	Д 0 , т.е.
компания получит		прибыль.			При других значениях х,	т.е. когда
х [2, 6] , будем иметь				Д 0 – компания понесет убытки.

91