Fizika - V. F. Dmitriyeva

Тангенціальне	і нормальне	прискорення
У загальному	випадку під час	криволінійного руху вектор

прискорення а напрямлений всередину траєкторії під деяким кутом відносно неї (рис. 1.22). Розкладемо за правилом паралелограма вектор а на дві складові. Одна складова (ат) буде напрямлена вздовж дотичної до траєкторії руху матеріальної точки, а інша (а/7) - вздовж нормалі до траєкторії, тобто перпендикулярно до дотичної в даній точці траєкторії.

Складова а,, вектора прискорення а, напрямлена вздовж нормалі до

траєкторії в даній точці, називається нормальним прискоренням. Нормальне прискорення характеризує зміну

вектора швидкості за напрямом у разі криволінійного руху.

		Складова ат вектора прискорення а,
		напрямлена вздовж дотичної до траєк-
	Рис. 1.22	торії в даній точці, називається танген-
		ціальним або	дотичним прискоренням.
		Тангенціальне	прискорення характери-

зує зміну вектора швидкості за модулем.

При прямолінійному русі швидкість тіла змінюється тільки за модулем, тобто ая = 0, тому а = а х. Визначимо напрям прискорення стартуючого гоночного автомобіля на прямолінійній ділянці траєкторії (рис. 1.23). Швидкість у більша за у0 , тобто автомобіль рухається прискорено. Тому вектор зміни швидкості Ду = у - у0 напрямлений вздовж напряму руху, отже, і вектор прискорення а = ат напрямлений вздовж напряму руху (напряму швидкості)*.

Визначимо напрям прискорення автомобіля під час гальмування на прямолінійній ділянці шляху (рис. 1.24). Швидкість у менша за у0 , тобто автомобіль рухається сповільнено, тому вектор зміни швидкості

ДУ = У-У0	напрямлений протилежно напряму руху, отже і вектор при-
скорення	а - а т напрямлений протилежно напряму руху (напряму швид-
кості).
Таким чином, вектори швидкості й прискорення - колінеарні		У разі
прямолінійного прискореного руху вектор швидкості V і вектор приско-
рення а мають однаковий напрям (рівнонапрямлені вектори):		у П а .

* Напрям руху визначає напрям вектора швидкості.

** Колінеарними називають вектори, що лежать на паралельних або одній і тій самій прямій.

40

а = а т

а

•			—	ч Я - о І .
У0				V	X
		Уо
Д у ^ V-Уо
				Рис. 1.23

а = ат

	УГУК			УГТ~К
^
				нЗ1 ^"О^
	0		у0			1
		УО
		Ау — у ~ Уд
			Рис. 1.24
V р а з і прямолінійного сповільненого руху вектор ШВИДКОСТІ V							і вектор
прискорення а мають протилежні напрямки: у 14- а .
Із рис. 1.22 видно, що			а = ат + ап , а модулі векторів |а| = а,				|ат |=ат ,
| и п | - сіп зв'язані між собою співвідношенням
			а =				(1.27)

§ 6. Рівнозмінний прямолінійний рух

Рівноприскорений прямолінійний рух

Частим випадком нерівномірного прямолінійного руху є рівно-

імінний рух.

Рівнозмінний рух - це рух, коли прискорення лишається сталим і за модулем, і за напрямом:

а = сопзї.

(1.28)

У разі рівнозмінного руху середнє прискорення < а > дорівнює миггєиому прискоренню а, тобто < а > = а . Напрямлено прискорення а вздовж іраєкторії руху матеріальної точки. Нормальне прискорення дорівнює нулю: а „ = 0 . Рівнозмінний рух може бути або рівноприскореним, або

рінносповільненим.

41

Рівноприскорений прямолінійний рух - це рух, коли прискорення є сталим за модулем і напрямом, а вектори швидкості та прискорення є рівнонапрямленими:

а = соп5І; V Т? а, | а | > 0 .
Одиниця прискорення - метр за секунду в квадраті (м/с2	або м • с"2).
Метр за секунду в квадраті дорівнює прискоренню тіла,	що рухається

прямолінійно і прискорено, коли за час 1 с швидкість точки змінюється на І м/с.

Враховуючи, що < а >= а , можна записати

АУ

а = — А/

де АУ = у - У0 , А і = і-10. Отже,

а =	(1.29)
	' - ' о

Якщо в момент початку відліку часу (/0 - 0 ) відомо початкову швидкість У0 , то можна визначити швидкість у у довільний момент часу /.

_ ,				V - І'п
	У - УП		^
Із формули (1.29) випливає, що а = ~ /			або а -	/	; звідси
у = У0 + а/	або V = і/0 + д/.				(1.30)

Якщо напрям руху сумістити з віссю А\ то рівнянню (1.30) відповіда-

тиме формула для проекції швидкості на цю координатну вісь
У разі рівноприскореного	прямолінійного руху залежність	швидкості
руху матеріальної точки від	часу є лінійною. Якщо початкова швидкість
руху дорівнює нулю ( у0 = 0), то рівняння (1.30) має вигляд
	ух = а (	(1.31)

і відповідно

V = аі.

Швидкість тіла, що рухається рівноприскорено прямолінійно, зростає в часі.

Графіком залежності швидкості від часу (1.31) є пряма, що проходить через початок координат (/0 = 0, У0 - 0). Кут нахилу прямої залежить від прискорення руху тіла: чим більше прискорення, тим більший кут нахилу (рис. 1.25):

а2 > ах і а2 > а,.

42

»\ м/с.

Щ

аг = Юм/с2

?0

V, М / С

15

10

							Рис. 1.26
Враховуючи, що модуль					різниці	координат	рухомого тіла | х - х 0 | -
\	т0	чисельно	дорівнює		площі	під графіком залежності швидкості
руху	тіла	від часу	(див. рис. 1.17),			визначимо	різницю координат або
пі них за умови, що в початковий момент часу							(/0 =0) початкова швид-
• к гь дорівнює нулю:				~0. Різниця координат			Ах рухомого тіла в мо-

мент часу і (рис. 1.26) чисельно дорівнює площі прямокутного трикутни- і .\()ЛВ, катетами якого є час руху / і швидкість у цей момент часу у - а і .

	11 чоща цього трикутника дорівнює		АВ	ОВ	аі2	•. Отже, різниця коорди-
	на і Лі' у момент часу і дорівнюватиме			.	аґ
	аі		^
	« <	2	або	Ах =—		(1.32)
	2
					2

Враховуючи, що під час прямолінійного руху зміна координати рухома о тіла Ах = х-х0 дорівнює шляхові х - х 0 = 5 , маємо

аг	(1.33)

Якщо початкова координата рухомого тіла х0 ~~0 , то координата тіла п момент часу і, згідно з (1.32),

аіл

(1.34)

І рафіком функції х аГ є права частина параболи з вершиною в точ- (К віссю параболи є вісь ординат (рис. 1.27). Гілки параболи напрямле-

43

ні вверх, оскільки а > 0 . Парабола має дві гілки, проте ліва гілка параболи не має фізичного змісту, тому що рух тіла почався в момент часу і{) =0, при цьому х0 = 0 і У0 = 0. У початковий момент часу і0 = 0 тіло перебувало в стані спокою, оскільки початкова швидкість дорівнювала нулю.

Якщо початкова швидкість руху відмінна від нуля, тобто У0 ^0, то залежність швидкості від часу визначається рівнянням (1.30), а графіком цієї залежності є пряма лінія, котра починається на осі ординат (/0 = 0) з точки у0 (рис. 1.28).

На рис. 1.28 початкова швидкість рівноприскореного руху т>0 = 4 м/с. Вико-

	ристовуючи формулу а •	о : соші, визначимо прискорення рухомого тіла.
	о, м/с	За графіком визначимо швидкість для
		будь-якого моменту часу, наприклад для
		і- 3 с, V = 10 м/с, тоді а - 10-4	: 2 м/с2
		З
		Різниця координат Ах рухомого тіла в
		момент часу і (наприклад, і = 3 є) (див.
		рис. 1.28) чисельно дорівнює площі тра-
		пеції ОАВО. Площа трапеції ОАВВ до-
		рівнює сумі площ прямокутника О АС О і
		прямокутного трикутника АВС, Сторона-
		ми прямокутника є О А =	та ОО -1,
		його площа дорівнює О А • ОО = г>0і.
		Катетами прямокутного трикутника є
	Рис. 1.28	ВС = аі та АС = і., його площа дорівнює

44

ВС-АС	аі2
2	2
() і же, площа трапеції або Ах дорівнює
Ах = У0І +	аіл
	2
І враховуючи, що Ах = х-х0 , отримаємо
	аі2	(1.35)
* = *0+і/0* + —.
Формула (1.35) виражає закон рівноприскореного		прямолінійного руху.

І Іехай £ під час рівноприскореного прямолінійного руху дорівнює різ-

ниці координат 5 = Ах = х-х0 і тому, як випливає з (1.35),
$ = щ і +	а і2	(1.36)

Інколи, розв'язуючи задачу, потрібно виразити шлях через початкову і мнцсву різницю, виключивши з розгляду час. Для цього розв'яжемо рівііиііня (1.30) і> = У0 +аі відносно часу/:

і--	о
	а
Підставимо і у рівняння (1.36) і дістанемо
	-У	2а
	2 \ а )
о І же,
	2а	(1.37)
		^
РІВНОСПОВІЛЬНЄНИЙ	прямолінійний	рух

Рівносповільнений прямолінійний рух - це рух, коли прискорення є сталим за модулем і напрямом, а вектори швидкості і приско- 1>сння протилежно напрямлені:

а= соп5І; у Ті а , | а |< 0 .

Уразі рівносповільненого руху, як і рівноприскореного гірямолінійно11» руху, середнє прискорення дорівнює миттєвому: < а > = а .

45

Зверніть увагу, що під час рівносповільненого руху прискорення є від'ємним, тому що вектори швидкості та прискорення протилежно напрямлені. За додатний напрям беруть напрям руху, тобто напрям швидкості. Коли розглядають рух вздовж осі X, то додатний напрям осі X і напрям швидкості збігаються.

Векторне рівняння (1.30) у проекції на вісь Xматиме вигляд

у = у0-а1.

(1.38)

Швидкість тіла під час рівносповільненого руху в часі лінійно зменшується.

Рівносповільнений рух триває до зупинення (V = 0). Із рівняння (1.38)

можна визначити час цього руху: 0 ~У0~аі, звідки	У
	і =—.
	а

Отже, під час рівносповільненого прямолінійного руху швидкість у початковий момент часу (/ = 0) дорівнює початковій швидкості: у = У0, а

У

в момент часу і = — швидкість тіла У = 0.

а

Графіком залежності швидкості від часу (1.38) є пряма, що проходить

через координати	(0,т^0) та	, 0 ^ . На рис. 1.29 зображено графік рів-
носповільненого	прямолінійного руху, початкова		швидкість якого
у^ =10 м/с , час руху 5 с, модуль прискорення а = — =			= 2 м/с2 .

За графіком, наведеним на рис. 1.29, можна знайти різницю координат або шлях, який пройде тіло до зупинення. Для цього визначимо площу прямокутного трикутника ОАВ:

ОА - ОВ ___ у\

2 2а

Отже,

5 = =	= 25 м .
2 а	2 - 2

На рис. 1.30 зображено графіки прямолінійних рівносповільнених рухів з різними прискореннями. З рисунку видно, що тіла, які мають однакову швидкість, рухатимуться до зупинення різний час. Чим більшим є модуль прискорення під час рівносповільненого руху, тим швидше зміниться швидкість і тим раніше тіло зупиниться. Через 1 с після початку руху перше тіло матиме швидкість 5 м/с, друге - 8 м/с. Перше тіло зупиниться через 2 с, друге - через 5 с.

46

Закон прямолінійного рівносповільненого руху можна отримати з вира іу (1.35), враховуючи, що під час цього руху прискорення від'ємне:

	2
х =	(1.39)
	•і*

1 Іілях, який проходить тіло під час рівносповільненого руху, дорівнює

5 =

- ~ ~ .

(1.40)

§ У, Вільне падіння

Досліди Га лілея

Вивчення вільного падіння тіл видатним італійським фізиком і астрономом, одним із засновників точного природознавства Г. Галілеєм (1564~ 1642) стало початком фізики як експериментальної науки.

11 ід час падіння будь-якого тіла на Землю зі стану спокою його швидкість збільшується, тобто тіло рухається прискорено. Із спостереження за палінням різних тіл (наприклад, пташиного пера і каменю) можна зробиін висновок, що чим легшим е тіло, тим менше його прискорення. Дійсно. перо падає в повітрі значно повільніше, ніж камінь. Але Г. Галілей нисуває гіпотезу про те, що вільнопадаючі тіла (або ті, що скочуються по похилій площині) одержуватимуть рівні прирості швидкості в рівні проміж-ки часу, тобто рухатимуться з постійним для всіх тіл прискоренням. Іншими < іонами, якби не було опору повітря, всі тіла на Землю падали б однаково.

47

Для перевірки свого припущення Гал і лей проводить серію дослідів. Найбільш відомими є досліди зі спостереження падіння куль з Пізанської башти (рис. 1.31). Скинуті з похилої Пізанської башти чавунна та дерев'яна кулі однакових розмірів упали на землю майже одночасно. Г. Галілей пояснив різницю в часі падіння куль опором повітря. Він повторював і варіював досліди, вивчав падіння тіл і в лабораторних умовах, по похилому жолобу. Оскільки Галілей мав потребу в годиннику для вимірювання малих інтервалів часу, він винайшов для цього водяний годинник. За його допомогою він міг порівнювати різні часові інтервали з точністю 0,1 с. Вивчаючи рух дерев'яних та зроблених зі слонової кістки куль по похилому жолобу, кут нахилу якого можна було змінювати,

Г. Галілей установив, що відстань, котру проходить куля по жолобу, пропорційна квадрату часу руху: х~12. Більше того, він показав, що це слушно для всіх кутів нахилу жолоба, для яких він зміг виконати виміри, отже,

ідля кута 90°. На підставі дослідів він робить висновок, що вільнопадаюче тіло підлягає законові .г ~ Iі . Вивчаючи й описуючи ці досліди, Г. Галілей вводить у фізику нове поняття - прискорення. Г. Галілей - один із основоположників класичної механіки - перший звернувся до фізичного досліду

інадав йому правильні математичні описи.

Пізніше було створено вакуумні насоси, і досліди Галілея багаторазово повторювалися. Щоб виключити дію сили опору повітря зі скляної трубки, в якій розміщували різні предмети, відкачували повітря. Тоді предмети, що в ній були, наприклад пушинка та дробинка, падали в одному темпі, тобто синхронно. Сучасна техніка дозволяє перевірити гіпотезу Галілея з більшою точністю, використовуючи, наприклад, стробоскопічне освітлення.

Із рис. 1.32 (шкала наведена в сантиметрах) видно, що дві кульки різної маси падають синхронно. Ця стробоскопічна фотографія отримана при відчиненому затворі камери і спалахах світла, що періодично повторювалися з часовим інтервалом 1/40 с.

Із вимірювань, зроблених за допомогою такої апаратури, випливає, що тіла падають з прискоренням 980 см/с2.

Прискорення вільного падіння (- це прискорення, з яким падають всі тіла на Землю незалежно від їхньої маси за відсутності сил опору повітря.

* Стробоскопічний ефект ~ зорова ілюзія, котра виникає, якщо спостереження будь-якого предмета здійснюється не неперервно, а протягом окремих малих інтервалів часу, що періодично йдуть один за одним (окремі кадри). На цьому ефекті засноване сприйняття руху в кінематографі та телебаченні.

48

Якщо тіло вільно падає з невеликої висоти її від поверхні Землі

(// • •	Ііл, де Я3 - радіус Землі), воно рухається зі сталим прискоренням
| ц |	9,8 м/су, напрямленим вертикально вниз.

Прискорення вільного падіння залежить від широти місцевості ф та висоти над рівнем моря. Розв'язуючи задачі, для простоти обчислень іно-

п вважають, що £ = 10 м/с2.

Вільне падіння

Вільне падіння тіла з висоти к є аналогічним рівноприскореному руху вздовж осі У, додатний напрям якої збігається з напрямом вектора І Іраховуючи, що £ = сошї, рівняння руху матиме вигляд [див. вираз (1.35)]

	У = Уо+гио' +			(1.41)
Швидкість вільнопадаючого тіла змінюється
іа законом [див. формулу (1.30)]
		У = У 0 + £ / .		(1.42)
Якщо в момент часу /0 = 0 напрями векторів
у() і £ збігалися, то в проекції на вісь У
	у у = у 0 у + § 1 .			(1.42а)
Вільне	падіння	без	початкової	швидкості
( г>0 = 0) є аналогічним рівноприскореному руху,
що відбувається вздовж осі У, додатний напрям
якої збігається з напрямом вектора				а початок
відліку О	(10=0; у0	- 0 )	знаходиться	у верхній
точці траєкторії вільнопадаючого тіла. Закон
руху вздовж осі У у такому разі має вигляд
		У	Л	(1.43)
а залежність швидкості руху тіла вздовж осі У
від часу		у =		(1.44)

або

(1.44 а)	Рис. 132

49