Fizika - V. F. Dmitriyeva

бачать предмет А, легко обчислити відстань до нього (рис. 8). Це роблять за допомогою тригонометрії.

Відстань до небесних світил від Землі дуже велика. Щоб помітити відмінність у напрямах, в яких видно світило, спостерігачі повинні бути на відстані багатьох тисяч кілометрів один від одного, інакше кут між напрямами буде такий малий, що його не можна виміряти.

В основі визначення відстаней до небесних світил лежить явище паралактичного зміщення.

Паралактичним зміщенням називається зміна напряму на предмет під час переміщення спостерігача.

Пояснимо це. Якщо дивитися на олівець, вертикально розміщений перед очима, по черзі закриваючи то одне, то інше око, буде видно "переміщення" олівця на фоні далеких предметів (стіни, вікна, двері). Чим далі від очей відсувати олівець, тим менше буде паралактичне зміщення. Чим далі одна від одної точки спостереження, тим більший базис, тим більше паралактичне зміщення. У нашому прикладі базисом є відстань між очима.

Для вимірювання відстаней до тіл Сонячної системи за базис беруть радіус Землі. Спостерігають положення світила, наприклад Місяця, на фоні далеких зір одночасно з двох обсерваторій. Відстань між ними по прямій (базис) має приблизно дорівнювати радіусу Землі і бути перпендикулярною до напряму на світило. Якби за базис взяли радіус Землі СА, а спостерігачі були в точках А і В, то зі світила £ радіус Землі було б видно під кутом р (рис. 9). Кут, під яким із світила видно радіус Землі, перпендикулярний до променя зору, називають горизонтальним паралаксом. Він дорівнює паралактичному зміщенню. На рис. 8 його зображено кутом при вершині С, а паралакс позначено кутом при вершині А. Вони дорівнюють один одному, як кути при паралельних прямих (СІ) || ВА за побудовою).

Відстань 8С = В = Я / зіп р, де і? - радіус Землі. Прийнявши Я за одиницю, можна визначити відстань до світила в земних радіусах. Паралакс

20

Місяця дорівнює 57'. Усі планети і Сонце значно далі від Землі, і їх паралакси становлять секунди. Паралакс Сонця ре =8,8".

Для визначення відстаней навіть до найближчих зір радіус Землі - дуже малий базис, щоб виміряти кут р. У цьому разі спостереження обраної зорі ведуть з інтервалом у півроку. За цей час Земля переносить спостерігача на відстань 300 млн км. Тільки тоді вдається виміряти паралактичне зміщення зорі.

Для зручності обчислень як базис беруть велику піввісь а земної орбіти:

сі -а!8іп р .

Кут р, під яким із зорі перпендикулярно до променя зору видно велику піввісь земної орбіти, називають річним паралаксом.

Відстані до зір дуже великі, і їх виражають не в кілометрах, а в парсе-

ках, або світлових роках.
Парсек - відстань,	якій відповідає річний		паралакс (паралакс - секун-
да), що дорівнює одній кутовій секунді дуги.			Оскільки віп 1" = 1/206 265,
то сі = а - 206 265/ р\	де а = 1	а. о. = 149 600	000 км.
Світловий рік - відстань,		яку електромагнітні хвилі проходять про-

тягом року у вільному просторі: 1 св. рік = 300 000 км/с - 365,25 • 86 400 с -

12

- 9,5 - 10 км. Порівнявши одиниці відстаней, дістаємо 1 пк = 3,26 св. року. Але навіть на такій величезній відстані немає жодної зорі.

Відстань до найближчої зорі а-Центавра 270 000 а. о., або 4/3 пк.

За допомогою річного паралакса можна надійно встановити відстані до зір не далі як 100 пк, або 300 світлових років. Тепер відстань до найближчих до нас небесних тіл найточніше визначають методами радіоастрономії.

Запитання для самоконтролю і повторення

1. Що таке небесна сфера? Для чого вводять це поняття? 2. Дайте означення основних точок і ліній небесної сфери: зеніту, полюса світу, небесного меридіана, небесного екватора, математичного горизонту. 3. Що таке екваторіальна система координат? 4. Що таке горизонтальна система координат? 5. Що називають кульмінацією? 6. Що називають екліптикою? 7. Як називають точки перетину небесного екватора з математичним горизонтом? 8. Яку з цих точок узято за початок відліку небесних координат? 9. Що називають орбітою Землі? 10. Назвіть планети, які входять до складу Сонячної системи. 11. Що являє собою Сонце? 12. Яка температура поверхні Сонця? 13. Сформулюйте закони Кеплера. 14, Яку точку орбіти планети назвали афелієм? перигелієм? 15. Що таке паралактичне зміщення? 16. Що таке горизонтальний паралакс? 17. Що таке річний паралакс?

21

6. На якій висоті в Москві (<р = 55°45') буває вер

(8 = +38°4Ґ) ?

7.У перигелії Меркурій підходить до Сонця на відстань 49,5 млн км, в

9.Період обертання Юпітера навколо Сонця дорівнює 12 рокам. Обчи-

ввісь його орбіти.

10. Мг

далі від Сонця, ніж Земля, в 1,5 раза. Яка тривалість року на

Р О З Д І Л І

М Е Х А Н І К А

Термін "механіка"* в науку ввів Арістотель (384-322 рр. до н. е.) і означив її так: "Під механікою розуміємо ми ту частину практичною мистецтва, яка допомагає нам розв'язувати важкі питання". Істотний внесок у розвиток механіки належить Архімедові (бл, 287-212 рр. до н. е.), який розробив теорію важеля, додавання паралельних сил, вчення про центр ваги, заклав основи гідростатики. Одним із перших, хто прагнув збагнути зміст законів механіки, був Леонардо да Вінчі (1452-1519), Він осягнув природу інерції, розумів, що дія дорівнює протидії і спрямована проти неї. Дослідив вільне падіння і рух тіла, що кинуте горизонтально, явище удару, тертя. Дослідження Леонардо да Вінчі багато в чому випередили свій час.

Великий вплив на розвиток механіки здійснило вчення польського астронома М. Коперника (1473-1543) про геліоцентричну систему світу та відкриття німецьким астрономом Й. Кеплером (1571-1630) законів руху планет. Ці закони пізніше стали підґрунтям для відкриття І. Ньютоном (1643-1727) закону всесвітнього тяжіння. Основоположником динаміки і одним із засновників точного природознавства є Г. Галілей (1564—1642).

Саме від Г. Галілея бере початок фізика як наука, Йому людство зобов'язане двома принципами механіки, котрі відіграли велику роль у розвиткові не тільки механіки, але й усієї фізики. Це принцип відносності та принцип сталості прискорення вільного падіння. Важливі для подальшого розвитку механіки дослідження руху точки по колу, коливань фізичного маятника, законів пружного удару тіл належать голландському фізику X. Гюйгенсу (36291659). Створення основ сучасного природознавства та класичної механіки завершується науковими працями видатного англійського вченого І. Ньютона. На підставі трьох законів Ньютона та закону всесвітнього тяжіння було створено механічну картину всесвіту, яка довгий час панувала в науці.

Механіка - наука, котра вивчає механічний рух і чинники, що спричиняють або змінюють цей рух. Класична механіка складається з трьох розділів: "Кінематика", "Динаміка", "Статика".

* Механіка (від грец. ^щуа ц - машина) - наука про машини, мистецтво побудови машин.

23

ГЛАВА 1 КІНЕМАТИКА

§ 1. Механічний рух

Описання механічного руху

Механіка - наука про механічний рух матеріальних тіл та взаємодії між ними, що відбуваються при цьому. Під механічним рухом розуміють зміну в часі взаємного положення тіч або їхніх частину просторі

Наприклад, у природі - це обертання Землі навколо власної осі, рух Землі й інших планет навколо Сонця, обертання Сонячної системи навколо ядра галактики, "розбіг" галактик, тобто розширення Всесвіту. В техніці - рух автомобілів, літаків, морських та космічних кораблів, частин двигунів машин і механізмів.

Виникнення поняття "механічного руху" як просторового переміщення пов'язане з ім'ям Арістотеля. Трактат Арістотеля "Фізика" цілком присвячений вченню про рух. У ньому Арістотель писав: "Оскільки природа є початок руху і змінення, а предметом нашого дослідження є природа, то не можна залишати нез'ясованим, що таке рух: адже ж незнання руху необхідно спричиняє незнання природи".

Розділ механіки, який вивчає способи описання рухів і зв'язок між величинами, що характеризують ці рухи, називають кінематикою. Кінематика вивчає рухи тіл без урахування чинників, що їх спричиняють.

У процесі вивчення руху матеріальних тіл для спрощення розв'язання деяких задач у механіці вводять низку абстрактних понять - фізичних моделей, які відображують ті чи інші властивості реальних тіл або систем. Ними є наступні поняття.

Матеріальна точка - тіло, що має масу, розмірами якого в даній задачі можна знехтувати .

Положення матеріальної точки в просторі визначається як положення геометричної точки. Матеріальною точкою, наприклад, вважають Землю, розглядаючи її рух навколо Сонця. В подальшому, вживаючи термін "тіло", матимемо на увазі матеріальну точку.

Абсолютно тверде тіло - система матеріальних точок, відстань між якими в часі не змінюється. Розміри і форма абсолютно твердого тіла при різноманітних зовнішніх діях не змінюються.

Механічний рух відбувається в просторі та часі. В класичній механіці простір однорідний та ізотропний, час - однорідний.

* Тіло можна вважати матеріальною точкою в тому разі, коли воно рухається поступально або коли обертальну частину його руху в умовах даної задачі можна не враховувати.

24

Однорідність простору означає рівноправність усіх його точок. Ізотропність простору означає рівноправність усіх напрямків у просторі. Однорідність часу - рівноправність усіх моментів часу.

Для описання механічного руху потрібно вказати тіло, відносно якого розглядається рух. Відносно Сонця розглядається рух планет, відносно яких-небудь пунктів на поверхні Землі - рух літаків, потягів, автомобілів. І Іричому вважають, що в першому прикладі - Сонце, в другому - Земля нерухомі і є тілом відліку.

Тіло відліку - довільно вибране тіло, відносно якого визначається положення рухомої матеріальної точки.

І Іоложення рухомої матеріальної точки в даний момент часу можна визначити, якщо вибрано систему відліку.

Система відліку - сукупність тіла відліку та пов'язаних з ним систем координат і годинника (рис. 1.1).

Механічний рух відбувається в часі, тому система відліку повинна мамі годинник, який відлічує проміжки часу від довільно вибраного початкового моменту часу.

На рис. 1.1 тіло відліку О знаходиться		Vі			И м
на початку координат. Описуючи рух,
найчастіше використовують прямокутну				7/	***Я" о , !
або декартову систему координат. Поло-
ження матеріальної точки Му декартовій	0			у
системі координат визначається трьома					у>4х'
координатами х, у, 2 або радіусом-
					і/ ^
вектором г.				Рис. 1.1
Радіус-вектор г - вектор, проведений
з початку системи координат до даної
точки. Довжина радіуса-вектора г, тобто	його		модуль		г = г, визначає

відстань, на якій точка М знаходиться від початку координат, а стрілка показує напрямок на цю точку.

У разі руху матеріальної точки М кінець радіуса-вектора описує в просторі деяку лінію - траєкторію.

Траєкторія* - неперервна лінія, що її описує точка під час свого руху.

За формою траєкторії механічні рухи класифікують на прямолінійні й

криволінійні.
Прямолінійний - це рух,	траєкторія котрого у вибраній системі відліку
< прямою лінією.
Криволінійний - це рух,	траєкторія котрого у вибраній системі відліку

сдеякою кривою лінією.

*Траєкторія (від лаг. Ігаіесїогіиз) - СТОСОВНИЙ ДО переміщення.

25

Місяць у повні

Орбіта

Місяця

відносно

Сонця

а

б

Рис. 1.2

Форма траєкторії залежить від того, в якій системі відліку розглядається рух, На рис, 1,2, а зображено траєкторію руху Місяця - супутника Землі - в геоцентричній системі (відносно Землі), а на рис. 1.2, б - у геліоцентричній системі (відносно Сонця).

Способи задання руху

Рух точки може бути заданий одним із трьох способів: векторним, координатним (або аналітичним) і натуральним.

За векторним способом положення точки відносно системи відліку визначається радіусом-вектором г; закон руху^задається рівнянням г = г(/).

Траєкторією точки є годограф* вектора г.

За координатним способом положення' точки відносно системи відліку визначається трьома координатами х, у\ я, а закон руху задається трьома рівняннями л* = /ї (0, у = /і (/), г = /з (/). Вилучивши з цих рівнянь час (, можна знайти траєкторію точки,

Якщо точка рухається вздовж прямої лінії, що збігається з віссю X, то закон руху мас: вигляд * = /{І) або х = х(і) (рис. 1.3).

Якщо розглядається рух на площині, то закон руху задається двома рівняннями: /(і), >-=/(/) (рис. 1.4).

Натуральний спосіб застосовується в тому випадку, коли є відомою траєкторія точки відносно вибраної системи відліку. Положення точки М визначається відстанню 8~Ох М від вибраного на траєкторії початку

* Годограф (від грец. 68оа шлях, рух, напрямок і уршроо - пишу) - у механіці крива, ідо є геометричним місцем кінців змінного в часі радіуса-вектора, значення котрого в різні моменти часу відкладені від спільного початку.

26

	е		\ в		в/		В
			і'			!	'
			і
м
	X		А		/ ч
О
Рис. 1.3	Рис. 1.4		Рис. 1.5
нідліку 01, виміряною вздовж траєкторії й
взятою за відповідним законом (" + " або " -
див. рис. 1.1). Закон руху задається рівнян-
ням £ = / ( / ) ,	яке описує залежність £ від і.
Залежність 5	від І може бути заданою:
графіком руху, на якому у вибраному
масштабі вздовж осі абсцис відкладено час /,
л вздовж осі ординат - відстань 5;
таблицею, де в одному стовпчику наво-
дяться значення /, а в іншому - відповідні
до них значення
Способи задання руху твердого тіла за-
лежать від форми його руху. Найпростіши-
ми є поступальний і обертальний рухи твер-			Рис. 1.6

дого тіла.

Поступальний - це такий рух твердого тіла, коли пряма, що з'єднує дві будь-які точки тіла, переміщується, залишаючись паралельною своєму початковому положенню (рис. 1.5).

У разі поступального руху твердого тіла всі точки тіла описують однакові траєкторії. Його рух задається й вивчається так само, як і рух однієї ҐОЧКИ. Поступально рухаються ящики письмового стола, вагони метро - слектропотяги, кабіни "колеса огляду".

Обертальний рух навколо нерухомої осі - це такий рух твердого тіла, коли всі його точки описують кола, центри яких лежать на одній прямій - осі обертання, що перпендикулярна до площин цих кіл*.

На рис. 1.6 наведено вісь обертання 00\ У разі обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі його

положення задається кутом повороту ф (див. рис. 1.6), а закон руху - рівнянням ф = /(/), яке описує залежність кута повороту від часу.

' І Ірикладами обертального руху можуть бути обертання колес велосипеда, пропелерів літаки, малів двигунів і генераторів.

27

§ 2. Переміщення. Шлях

Вектор переміщення

Положення матеріальної точки (тіла) у вибраній системі відліку в даний момент часу визначається радіусом-вектором г. Нехай точка переміщується на площині і в початковий момент часу (0 знаходиться в положенні А, а в момент часу і - в положенні В. Ці положення точки в системі координатХО У визначаються відповідно радіусами-векторами г0 і г (рис. 1.7). Вектор Аг, проведений з кінця радіуса-вектора г0 (з точки А) до кінця радіуса-вектора г (точка В), є переміщенням точки за проміжок часу А/1 = і -і0:

Аг = г - г0 .

(1.1)

Переміщення Аг - вектор, який з'єднує положення рухомої точки на початку і в кінці деякого проміжку часу*.

Вектор переміщення напрямлений вздовж хорди траєкторії точки. Для описання руху потрібно знати радіус-вектор точки в будь-який

момент часу. З рис. 1.7 бачимо, що коли є відомим радіус-вектор у почат-

ковий момент часу (0,	тобто г0, і є відомим переміщенням Аг, то можна
знайти радіус-вектор г	у будь-який наступний момент часу І
	г = г 0 +Аг .	(1.2)
Векторному рівнянню (1.2) для руху точки		на площині відповідають

два рівняння в координатній формі. Опустивши перпендикуляри з почат-

ку і кінця вектора переміщення Аг	на осі координат X	і У,	можна знай-
ти його проекції на ці осі.
Проекції вектора переміщення -	це зміна координат	Ах	і Ау рухо-

мої точки (рис. 1.8). Зміна координат під час руху матеріальної точки може бути як додатною, так і від'ємною. З рис. 1.8 бачимо, що у разі руху матеріальної точки з А до В координата вздовж осі X зростає (х>х0 ), тому зміна координати є додатною (Ах = х - х 0 > 0). Вздовж

осі У координата зменшується (Ау< у0), зміна координати є від'ємною (Ау = у-у0 <0).

Знаючи, що проекції вектора переміщення дорівнюють змінам коор-

динат, маємо
X = х0 + Ах; у = у0 + Ау.	(1.3)

* Грецька буква "дельта" ( А ) означає в формулах зміну, приріст, проміжок, відрізок.

28

		У	А(хо,уо,іо)
	А(іо)	Уо
		>4
	В(1)	<3
		У
О	X	о	Хо Ах х X
	Рис. 1.7		Рис. 1.8

Векторному рівнянню (1.2) для руху матеріальної точки в просторі

відповідають три рівняння в координатній	формі:
х = х0 + Ах; у - у0 + Ау;	2 = 20 4- Аг.	(1.4)

Отже, щоб знайти положення точки в просторі у будь-який момент часу (координати х, у, треба знати її початкове положення (координати х0, у0,

0) і вміти обчислювати зміни координат точки Ах, А у, Аг у процесі її руху.

Векторний і координатний способи описання руху взаємопов }язані та еквівалентні.

Модуль і напрям переміщення повністю визначаються його проекціями на осі ординат. Використовуючи рис. 1.8, за теоремою Піфагора визначаємо модуль вектора переміщення:

(1.5)

Напрям вектора Аг можна задати кутом а між вектором і додатним напрямом осіХ Із рис. 1.8 видно, що

(1.6)

(Нарис. 1.8 Ах>0; Ду<0.)

Додавання переміщень

Переміщення - векторна величина, тому дії з векторами перем і і день виконуються за правилами векторної алгебри*.

Пояснимо це на прикладі. Поперек річки переправляється човен (рис. 1.9). Якби вода в річці була нерухомою, то човен, рухаючись вздовж осі К, через деякий час опинився б у точці А. Переміщення вздовж осі У- вектор а. Насправді ж вода в річці тече вздовж осі X і "зносить" човен

іечігю за той самий час у точку В. Переміщення вздовж осі X- вектор Ь.

*Некторна алгебра - вчення про дії над векторами - додавання, віднімання, множення.

29