1 Тема: Матрицы и определители

Таблицу вида

называют прямоугольной матрицей размера . Элементыназыаются элементами матрицы. m – число строк, n- число столбцов. Матрица размера называется квадратной матрицей.

Операции над матрицами определяются с помощью операции над их элементами.

1. Две матрицы А и В размера равны, если равны их элементы.

2. Суммой матриц А и В размера есть матрица размера, каждый ее элемент равен сумме соответствующих элементов.

3. Произведение матрицы А размера на число есть матрица размера, каждый элемент которой равен произведениюна число.

4. Произведение матрицы А размера на матрицу В размераесть матрица С размера.

Матрицей обратной для А называется матрица , для которой.

Квадратная матрица называется невырожденной, если она имеет обратную матрицу.

Число линейно независимых строк(или столбцов) матрицы называют ее рангом.

Определителем квадратной матрицы А n-го порядка называют число

(2)

Минором элемента в определителе n-го порядка (2) есть определитель

(n—1)-го порядка, получающийся из определителя (2), если из него вычеркнуть i-строку и j-й столбец.

Алгебраическое дополнение элемента есть коэффициент прив разложении определителя или. Определитель можно выразить через элементы его строки или столбца и их алгебраические дополнения следующим образом:(разложение Лапласа).

Определитель второго порядка .

Определитель третьего порядка .

Свойства определителей

1. Определитель не меняется при транспонировании

2. При перемене местами двух строк(столбцов) определитель меняет знак.

3. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столца), то ее определитель равен нулю.

4. Если все элементы какой –либо строки (столбца) определителя умножить на число с, то на это число умножится и сам определитель.

5. Если элементы любой строки(столбца) представлены в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы отмеченной строки равны первым слагаемым, во втором –вторым.

6. Определитель не меняется при строчном (столбцевом) перобразовании

7. Сумма произведении элементов любой строки(столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки(столбца) равна нулю.

Если все элементы определителя n-го порядка расположенные выше (или ниже) главной диагонали равны 0, то определитель равен произведению элементов расположенных на главной диагонали.

2 Тема: Система линейных уравнений.

Система n линейных уравнений c n неизвестными имеет вид:

(1)

Решением системы уравнений называется всякая совокупность чисел a_1, a_2, a_n, которая, будучи поставлена в систему на место неизвестных X _1,X _{2 ,…,}X _n, обращает все уравнения системы в тождество.

Система уравнений называется совместной, если она имеет одно единственное решение, и несовместной, если не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет, по крайней мере, два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Определителем системы называется определитель, составленный из коэффициентов a_ij.

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю.

Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в неё уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель её равен нулю.

Для нахождения решения системы линейных уравнений применяют метод Гаусса и правило Крамера.

Метод Гаусса решения системы заключается в последовательном исключении переменных.

Теорема: Для того, чтобы система линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу её основной матрицы.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Тогда:

1. если r = R =0, т.е. если все коэффициенты a₁ ,a ₂, b₁ ,b ₂, c _1, c₂ равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы.

2. если r =0, R =1, т.е. a₁ =a ₂=b₁ =b ₂=0 и c + c≠0, то система не имеет решений.

3. если r =1, R =1, то система имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение.

4. если r =1, R =2, то система не имеет решений.

5. если r =2, R =2, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Формулы Крамера имеют вид: .