4 Тема: Аналитическая геометрия на плоскости

1. Различные уравнения прямой

Уравнение

называется уравнением прямой,проходящей через данную точку в данном направлении (направление определяется углом а между прямой и осью Ох).

При выводе уравнения (1.1) мы исключили случай, когда прямая 1 перпендикулярна к оси Ох. Поэтому это уравнение задает только прямые, которые не перпендикулярны к оси Ох. Если же прямая / перпендикулярна к оси Ох, то, как легко установить, ее уравнение имеет вид х = а, где а — величина отрезка, отсекаемого этой прямой на оси Ох от начала координат.

Если, в частности, прямая 1 проходит через точку В, лежащую на оси Оу, и отсекает на этой оси отрезок величиной Ь, т. е.

если прямая проходит через точку В ( О, Ь), то уравнение (1.1) принимает вид у — Ь = 1х или у = 1х — Ь. Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Числа 1 и Ь называются соответственно угловым коэффициентом прямой и начальной ординатой.

1.2 Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой в отрезках

Как известно, две точки определяют единственную прямую, проходящую через эти точки. Поэтому, зная координаты двух произвольных точек прямой, можно составить ее уравнение.

1.3 Нормальное уравнение прямой

X cos + y sin - p = 0

2. Угол между двумя прямыми.

Определение: Если в прямоугольной системе координат на плоскости заданы две прямые 1 и 2 , то углом от прямой 1, до прямой 2 называется угол, на который надо повернуть прямую 2 вокруг какой-нибудь точки, леж щей на этой прямой, чтобы она стала параллельной или совпала бы с прямой 1,

Этот угол мы будем считать положительным, если поворот произведен против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Из определения угла от одной прямой до другой следует, что определенный таким образом угол имеет бесконечное множество значений. Если В — одно из значений этого угла, то все значения его содержатся в выражении В + 1 где 1’ любое целое число. Значение

этого угла, удовлетворяющее условию О Во < УТ будем называть главным значением.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

A₁ x + B₁y + C₁ = 0;

A₂ x +B₂ y + C₂ = 0.

Угол между нормальными векторами п =(А_1,B₁) и n₂ = (А₂,B₂) прямых (2.1) равен одному из углов между этими прямыми .

Отсюда следует, что необходимое и достаточное условие взаимной перпендикулярности двух прямых имеет вид

Если прямые заданы урвнениями с угловым коэффициентом, то условие перпендикулярности имеет вид .

5 Тема: кривые второго порядка

Общее уравнение линии второго порядка.

Теперь рассмотрим уравнение второй степени с двумя переменными, т.е. уравнение.

а₁₁x² + 2а₁₂ xy+ а₂₂ y²+ 2а₁₃ x+ 2а₂₃ y+ а₃₃ =О

где хотя бы одно из чисел а₁₁ ,а₁₂ ,а₂₂ отлично от нуля, и предположить, что оно задано относительно декартовой прямоугольной системы координат О Все коэффициенты в левой части этого уравнения мы обозначили одной буквой а, снабженной двумя индексами, причем индексы 1 и 2 указывают, какая координата и сколько раз входит множителем в соответствующий член (например, а — коэффициент при квадрате второй координаты, 2а₁₂ — коэффициент при произведении первой и второй координат), а индекс З указывает, что коэффициент свободен от переменной. Некоторые коэффициенты взяты с множителем 2 для симметрии с последующими формулами. Кроме того, будем считать, что все коэффициенты симметричны относительно своих индексов, т.е. a _{i j} = a_{ji .}

Лиаметром линии второго порядка назыается прямая, являющаяся геометрическим местом середин паралельных хорд.

Линии второго порядка классифицируюся на центральные и нецентральные.

К центральным линиям относятся:

-эллипс,

-гипербола,

-парабола.

К нецентральным относятся:

-точка,

-пара пересекающихся рпямых

-пара паралельных прямых

- пара совпадающих прямых.

Координаты центра линии второго порядка определяются из уравнений:

Уравнение касательной к линии в точкеимеет вид

Уравнения линий второго порядка в полярных координатах

Используя свойство линий второго порядка, выведем уравнение линии второго порядка в полярной системе координат.

Окружность и ее уравнение

В прямоугольной системе координат окружность радиусом R с центром в точке С

(а, Ь) задается уравнением

( x - a)² +( y - b)² = R² (1)

где х, у — координаты произвольной точки М окружности.

Эллипс и его каноническое уравнение

Определение Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

Постоянную величину, входящую в определение эллипса, обозначим через 2а (а>О), а расстояние между фокусами —2с

Свойство 1. Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии.

Свойство 2. Эллипс пересекает координатные оси в точках Аi(-а, 0),А2(а, 0), Ъ) и В2(0, —Ь).

Свойство 3. Координаты к и у любой точки эллипса удовлетворяют условиям: —а ≤х ≤а, −b ≤ y ≤ b.

Свойство 4. для точек эллипса, расположенных в первой координатной четверти, с возрастанием их абсциссы х от О до а ордината у убывает от b до О.

Оси координат называются осями симметрии, а начало координат — центром эллипса.

Эксцентриситет эллипса

Определение. Отношение фокусного расстояния к длине большой оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет

обозначим буквой е. По определению ,

ε = =

Гипербола и ее каноническое уравнение

Определение 11.3. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами). Таким образом, если М — произвольная точка гиперболы, а Л и Е2 — ее фокусы, то по определению

/ F₁M- F₂M / = const

Свойство 1. Координатные оси являются осями симметрии, а начало координат — центром симметрии гиперболы.

Свойство 2. Гипербола пересекает ось абсцисс в точках Аi (—а, 0) и А_j,{а, 0) и не пересекает ось ординат.

Свойство 3. Координаты х и у любой точки гиперболы могут изменяться в пределах \х\ ≥ а, - ∞ < y <+ ∞.

Определение. Прямые, проходящие через начало координат и имеющие угловые коэффициенты Ь/а и — Ь/а, называются асимптотами гиперболы, заданной уравнением .

Определение Гипербола, полуоси которой равны между собой, называется равносторонней.

Определение Отношение фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы

Как и в случае эллипса, эксцентриситет гиперболы обозначим буквой е. По определению для гиперболы

ε==

Парабола и ее каноническое уравнение

Определение. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой директрисой.

Свойство 1. Абсцисса любой точки параболы больше нуля.

Свойство 2. Парабола проходит через начало координат.

Свойство 3. Парабола симметрична относительно оси абсцисс.

Свойство 4. При неограниченном возрастании абсциссы х ордината у возрастает

Теорема Отношение расстояния от любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы, есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса (гиперболы).