- •Учреждение «Университет «Туран»
- •Содержание
- •5В071900 - Радиотехника, электроника и телекоммуникации
- •Математика 1 Пояснительная записка
- •2 Примерный перечень практических занятий
- •Учреждение «Университет «Туран»
- •Рабочая программа по дисциплине: «Математика 1»
- •Пояснительная записка
- •Общие данные по рабочей программе.
- •Общее описание рабочей программы
- •Иметь представление о роли аналитической геометрии и линейной алгебры в прикладных исследованиях;
- •Основная часть тематика лекционных занятий
- •Тематика практических занятий
- •Тематика самостоятельной работы
- •Тематика срсп
- •Список рекомендуемой литературы
- •Учреждение «Университет «Туран»
- •Силлабус по дисциплине: «Математика 1»
- •Описание изучаемой дисциплины (пояснительная записка)
- •Общие данные по рабочей программе.
- •Общее описание рабочей программы
- •Иметь представление о роли аналитической геометрии и линейной алгебры в прикладных исследованиях;
- •Темы и продолжительность их изучения
- •Тематика практических занятий
- •Задания самостоятельной работы
- •Рубежный контроль
- •Критерии оценки знаний обучающихся (обобщенные)
- •Определение итоговой оценки по вск
- •Итоговая оценка
- •Вопросы для проведения контроля
- •Требования преподавателя
- •Правила поведения на аудиторных занятиях
- •Методические указания
- •График выполнения и сдачи заданий по дисциплине
- •Учреждение «Университет «Туран»
- •1 Тема: Матрицы и определители
- •2 Тема: Система линейных уравнений.
- •3 Тема: Элементы векторной алгебры.
- •4 Тема: Аналитическая геометрия на плоскости
- •1. Различные уравнения прямой
- •1.2 Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •1.3 Нормальное уравнение прямой
- •5 Тема: кривые второго порядка
- •6 Тема: Аналитическая геометрия в пространстве
- •7 Тема: Поверхности второго порядка
- •Глоссарий
- •Глоссарий
- •12 Тема. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •13 Тема. Дифференциал функции
- •Глоссарий
- •План практических занятий
- •Методические рекомендации по изучению дисциплины
- •«Математика 1»
- •(По работе с учебно-методическим комплексом)
- •Основания, целевая аудитория и ориентированность учебно-методического комплекса
- •Структура, содержание и образовательные возможности учебно-методического комплекса
- •Рекомендуемый порядок работы с учебно-методическим комплексом
- •Материалы для самостоятельной работы обучающегося по дисциплине «Математика 1»
- •Тема 1. Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Материалы по контролю и оценке учебных достижений обучающихся
- •Карта обеспеченности дисциплины учебной и учебно-методической литературой
Глоссарий
№ п/п |
Новые понятия |
Содержание |
1 |
Производная функции в точке |
Предел отношения приращения функции к приращению аргументапри:. |
2. |
Основные правила дифференцирования |
|
3. |
Производные основных элементарных функций |
6. 7.
|
4. |
Производная сложной функции |
Если гдетогда |
5. |
Производная обратной функции |
Если , а- обратная функция, то
|
6. |
Производная функции, заданной параметрическими уравнениями |
Если то |
7. |
Дифференциал функции |
где |
8. |
Экономический смысл производной |
Производная выражаетпредельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. |
9. |
Формула Лагранжа |
, где a<c<b |
10. |
Правило Лопиталя |
если и илии |
12 Тема. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
Неявно заданная функция
Если функция задана уравнением у =f (х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).
Под неявнъм заданием функции понимают задание функции в виде
уравнения F(х; у) = 0, не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у=f(х) можно записать как неявно
заданную уравнением f(х) - у = 0, но не наоборот.
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относи-
тельно у (например, у + 2х + соsy- 1 = 0 или — х + у = 0).
Если неявная функция задана уравнением F(х; у) = 0, то для нахо-
ждения производной от-у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение
по х, рассматривая прп этом у как функцию х, и полученное затем
уравнение разрешить относительно у’.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функ-
цию .
Пример 21.1. Найти производную функции у, заданную уравнением
x3 + у3 — 3ху=0.
Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство
х3 + у3 — 3ху=0.
Из полученного соотношения
3х2+3у2у’—3(1у+ху)=0
следует, что у2у — ху = у — х, т. е. у=
Функция, заданная параметрически
Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений
(21.1)
где — вспомогательная переменная, называемая параметром.
Найдем производную , считая, что функции (21.1) имеют производ-
ные и что функция х = х( t). По правилу дифференцирования обратной функции
(21.2)
Функцию у = f(х), определяемую параметрическими уравнениями
(21.1), можно рассматривать как сложную функцию у = у(t), где t=
По правилу дифференцярования сложной функции имеем;
С учетом равенства (21.2) получаем
Полученная формула позволяет находить производнуюот функции
заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.
Пример 21.2. Пусть Найти .
Решение: Имеем . Следовательно, т. е.
В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.
Действительно, t= Тогда у= Отсюда т. е. у=.
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продиффернцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.
Пример 22.1. Найти производную функции y=
Решение: Можно найти с помощью правил и формул дифференци- рования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим логарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:
.
Дифференцируем это равенство по х:
Выражаем :
т. е.
Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показатаельная функция y=, где u= u(х) и (х)
— заданные дифференцируемые функции от х. Найдем производную этой функции:
т. е.
или .
Сформулируем правило запоминания формулы (22.1):производная
степенно-показательной функции равна сумме производной показательной функции, при условии u= соnst, и производной степенной при условии =
Пример 22.2. Найти производную функции у =.
Решение: Пользуясь формулой (22.1), получаем:
.
Отметим, что запоминать формулу (22.1) необязательно, легче запомнить суть логарифмического дифференцирования.
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Производные высших порядков явно заданной функции
Производная (х) функции у = f(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.
Если функция ‚(х) дифференцируема, то ее производная называется
производной второго порядка и обозначается (илих),
Итак .
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у” (или ‚“(х),
Итак, ,
Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n— 1) порядка:
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках ( или — производная пятого порядка).
.
Механический смысл производной второго порядка
Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону
S= f(t). Как уже известно, производная равна скорости точки в дан-
ный момент времени: .
Покажем, что вторая пронзводная от пути по времекп есть величина
ускореня прямолинейного движения точки, т. е. = а.
Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t+-
скорость равна V+ , т. е. за промежуток времени . скорость измени-
лась на величину .
Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время . Предел этого отношения при называется ускорением точки М
в данный момент t и обозначается буквой а: .
Но V=. Поэтому а= (), т. е. а = ‘
.Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
Пусть функция у = f(х) задана параметрическими уравнениями
Как известно, первая производная у находится по формуле
(23.1)
Найдем вторую производную от функции заданной параметрически.
Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что
, т.е.
Аналогично получаем
,…
Пример 23.3. Найти вторую производную функции
Решение: По формуле (23.1)
.
Тогда по формуле (23.2)
.
Заметим, что найти можно по преобразованной формуле (23.2):
запоминать которую вряд ли стоит.