0. Понятие о туннельном эффекте

Туннельным эффектом называют прохождение микрочастиц сквозь потенциальный барьер за счёт их волновых свойств.

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U₀ и шириной l. По классическим представлениям частица беспрепятственно проходит над барьером, если ее энергия E больше высоты барьера (E>U₀). Если же энергия частицы меньше высоты барьера (E<U₀), то частица отражается от барьера и начинает двигаться в обратную сторону, сквозь барьер частица проникнуть не может.

В квантовой механике волновые свойства микрочастиц приводят к следующим результатам.

• При E>U₀ существует отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратном направлении.

• При E<U₀ существует отличная от нуля вероятность того, что частица пройдёт сквозь барьер.

Решим задачу о прохождении частицы сквозь потенциальный барьер для наиболее простого случая одномерного прямоугольного барьера (рис.2.6). Форма барьера задается функцией:

. (2.53)

Запишем уравнение Шредингера для каждой из областей: 1(x<0), 2(0<x<l) и 3(x>l):

; (2.54)

; (2.55)

. (2.56)

Обозначим

(2.57)

и

. (2.58)

Общие решения уравнений (2.54), (2.55), (2.56) для каждой из областей имеют вид:

; (2.59)

; (2.60)

. (2.61)

Решение вида соответствует волне, распространяющейся в направлении оси x, а  волне, распространяющейся в противоположном направлении. В области 1 слагаемое описывает волну, падающую на барьер, а слагаемое  волну, отраженную от барьера. В области 3 (справа от барьера) имеется только волна, распространяющаяся в направлении x, поэтому .

Волновая функция должна удовлетворять условию непрерывности, поэтому решения (2.59), (2.60), (2.61) на границах потенциального барьера необходимо «сшить». Для этого приравниваем волновые функции и их производные при x=0 и x = l:

; ;

; . (2.62)

Используя (2.59) - (2.62), получимчетыре уравнения для определения пяти коэффициентовА₁ , А₂, А₃, В₁ и В₂:

А₁+В₁=А₂+В₂ ;

А₂еxp( l) + В₂еxp(- l)= А₃еxp(ikl) ;

ik(А₁– В₁) = (А₂–В₂) ;(2.63)

(А₂еxp(l)–В₂еxp(-l) = ik А₃еxp(ikl).

Чтобы получить пятое уравнение, введем понятия коэффициентов отражения и прозрачности барьера.

Коэффициентом отраженияназовем отношение

, (2.64)

которое определяет вероятность отражения частицы от барьера.

Коэффициент прозрачности

(2.65)

дает вероятность того, что частица пройдет через барьер. Так как частица либо отразится, либо пройдет через барьер, то сумма этих вероятностей равна единице. Тогда

R+D =1;(2.66)

или

. (2.66)

Выражение (2.66) являетсяпятым уравнением, замыкающим систему (2.63), из которой находятся все пять коэффициентов.

Наибольший интерес представляет коэффициент прозрачности D. Решение системы уравнений позволяет получить для коэффициента прозрачности выражение:

, (2.67)

где D₀ – величина, близкая к единице.

Из формулы (2.67) видно, что прозрачность барьера сильно зависит от его ширины l, от того, насколько высота барьераU₀превышает энергию частицыE, а также от массы частицыm.

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при E<U₀ противоречит закону сохранения энергии. Дело в том, что если классическая частица находилась бы в какой-то точке в области барьера (область 2 на рис. 1.7), то ее полная энергия оказалась бы меньше потенциальной энергии (а кинетическая – отрицательной!?). С квантовой точки зрения такого противоречия нет. Если частица движется к барьеру, то до столкновения с ним она имеет вполне определенную энергию. Пусть взаимодействие с барьером длится время t. Тогда, согласно соотношению неопределенностей, энергия частицы уже не будет определенной; неопределенность энергии . Когда эта неопределенность оказывается порядка высоты барьера, он перестает быть для частицы непреодолимым препятствием, и частица пройдет сквозь него.

Прозрачность барьера резко убывает с его шириной (см. табл. 1.1.). Поэтому частицы могут проходить за счет туннельного механизма лишь очень узкие потенциальные барьеры.

Таблица 2.1

Значения коэффициента прозрачности для электрона при (U₀ – E) = 5 эВ

l, нм	0,10	0,15	0,20	0,50	1,00
D	0,1	0,03	0,008	5^.10^-7	1,4^.10^-12

Если потенциальный барьер имеет произвольную форму (рис.2.7), коэффициент прозрачности определится формулой:

. (2.68)

Туннельный эффект проявляется в ряде физических явлений и имеет важные практические приложения. Приведем некоторые примеры.