3.6. Понятие о квантовой теории электропроводности металлов

Электрический ток в металлах – результат упорядоченного движения электронов. Электрическое сопротивление как в классической, так и в квантовой теории объясняется взаимодействием электронов проводимости с кристаллической решёткой, при котором электроны теряют часть своей энергии. Но характер взаимодействия в классической и квантовой теории рассматривается различным образом.

По классической теории:электроны сталкиваются с узлами кристаллической решетки и отдают ей часть своей энергии – этим обусловлено электрическое сопротивление металлов. Классическая теория принимает длину свободного пробега электронов<λ>равной параметру решеткиd(d 10^-10м).

По квантовой теории:электроны обладают волновыми свойствами, а их упорядоченное движение рассматривается как процесс распространения электронных волн де Бройля в периодической среде. Длина волны де Бройля определяется известной формулой:

. (3.27)

Электрическое сопротивление объясняется рассеиванием электронных волн.

Рассмотрим идеальную кристаллическую решётку металла, в узлах которой находятся неподвижные ионы, а примеси и дефекты отсутствуют. Так как длина волны де Бройля электронов больше периода решётки: , то такая решётка не рассеивает электронные волны, и электрическое сопротивление в этом случае должно быть равно нулю.

Рассеивание электронных волн происходит лишь на искажениях периодичности решётки. Такие искажения периодичности возникают в реальных кристаллах

• за счёт тепловых колебания узлов решётки около положения равновесия при T > 0;

• за счёт структурных дефектов: примесных атомов, вакансий, дислокаций и так далее.

Все эти неоднородности играют роль центров рассеивания электронных волн и являются причиной электрического сопротивления.

Теория электропроводности металлов, построенная на основе квантовой механики и квантовой статистики Ферми-Дирака, называется квантовой теорией электропроводности металла.

Расчет электропроводимости металлов в квантовой теории был произведен Зоммерфельдом. Был выведен закон Ома в дифференциальной форме

, (3.28)

где - удельная проводимость;- плотность тока в данной точке;- напряженность электрического поля.

Для удельной проводимости было получено следующее выражение:

. (3.29)

Здесь - средняя длина свободного пробега электрона, обладающего энергией Ферми,- скорость этого электрона,m - его масса.

Сравним (3.12) с выражением, полученным из классической электронной теории металлов:

. (3.30)

В этом выражении - средняя длина свободного пробега электрона,- средняя скорость его теплового движения.

Несмотря на то, что выражения (3.12) и (3.13) по внешнему виду похожи, их содержание различно. Средняя скорость теплового движения пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры, апрактически не зависит от температуры, так как с изменением температуры энергия Ферми, а следовательно, и скорость остаются практически неизменными.

Расчёт показывает, что средняя длина свободного пробега зависит от температуры по закону:

. (3.31)

Такие представления позволяют объяснить наблюдаемую экспериментально температурную зависимость удельной проводимостии удельного сопротивления:

,,

что хорошо согласуется с опытом в области не слишком низких температур.

На рис.3.6 изображена зависимость удельного электрического сопротивления металла от температуры. При Т=0удельное сопротивление металла равно не нулю, а остаточному сопротивлению_ост , обусловленному рассеиванием электронных волн на структурных дефектах решетки металла.