Здесь и совпадает с формулой радиуса первой боровской орбиты; численное значение этого параметра равно;a – множитель, который можно определить из условия нормировки волновой функции:

. (2.76)

Исходя из сферической симметрии задачи, выберем элемент объема в виде тонкого сферического слоя радиусаrтолщиной dr (рис.2.15)

. (2.77)

Подставим выражения (2.75) и (2.77) в условие нормировки (2.76), получим

или . (2.78)

Интеграл в выражении (2.78) можно взять по частям. Он будет равен:

. (2.79)

Для нормировочного множителя получим выражение:

. (2.80)

Окончательно, нормированная волновая функция электрона в 1s– состоянии имеет вид:

. (2.81)

Вероятность обнаружить электрон в элементе объема равна:

. (2.82)

Найдем наиболее вероятное расстояние электрона от ядра. Для этого введем функцию

. (2.83)

Функцияопределяет плотность вероятности обнаружения электрона на расстоянииrот ядра, она определится выражением:

. (2.81)

График этой функции представлен на рис.2.16.

Наиболее вероятное расстояние электрона от ядра соответствует максимуму функции . Для нахождения положения максимума необходимо приравнять нулю производную, или

. (2.82)

Расчет приводит к результату:

r_m=a .(2.83)

Таким образом, наиболее вероятное расстояние электрона от ядра равно радиусу первой боровской орбиты.

2.10. Спин электрона. Принцип Паули

В настоящее время доказано, что, кроме орбитального механического момента, электрон обладает собственным моментом импульса. Собственный момент импульса называетсяспином. Собственный момент импульса электрона был обнаруженв опытах Штерна и Герлаха.

Целью опытов являлось измерение магнитных моментов атомов. Сущность опыта заключалась в следующем. Узкий пучок атомов пропускался через неоднородное магнитное поле. Для атомов с одним валентным электроном в s– состоянии собственный орбитальный механический и магнитный моменты раны нулю, следовательно, такой пучок атомов не должен испытывать отклонения в неоднородном магнитном поле. Но в опытах наблюдалось расщепление пучка на два, обусловленное пространственным квантованием спинового магнитного момента.

Спиновый момент импульса электрона определяется формулой:

. (2.84)

Здесь s–спиновое квантовое число. Спиновое квантовое число имеет только одно значение:

. (2.85)

Проекция спина на направление внешнего магнитного поля может принимать значения:

, (2.86)

где - магнитное спиновое число. Так как существует всего 2 ориентации спинового момента на направление внешнего поля, то .

В связи с существованием спина электрона к квантовым числам n, l, m нужно добавить еще и квантовое число . Таким образом,состояние каждого электрона в атоме характеризуется набором четырех квантовых чисел:

• главным квантовым числом n (n=1,2,3………);

• орбитальным квантовым числом l (l =0,1,2…….n-1);

• магнитным квантовым числом m (m =0, 1,… l);

• магнитным спиновым квантовым числом m_S ().

В 1925 г. Паули установил квантовомеханический закон, называемый принципом Паули,или принципом исключения.

Простейшая формулировка принципа Паули заключается в следующем. В любой системе, содержащей множество электронов, не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел n, l, m, m_S:

или 1 .

Принцип Паули справедлив для всех частиц, для которых . Эти частицы называютфермионами.