1.8. Атом водорода в квантовой механике. Квантовые числа

Атом – наименьшая частица вещества, обладающая всеми химическими свойствами элемента. Простейшим атомом является атом водорода, состоящий из одного протона и одного электрона.

Рассмотрим движение электрона в кулоновском поле ядра с зарядом . ПриZ=1 такая система соответствует атому водорода, при иныхZ – водородоподобному иону. Водородоподобными ионами принято называть ионы, имеющие ядро с зарядоми один электрон.

Потенциальная энергия электрона зависит от его расстояния от ядра и определится формулой:

. (2.69)

Эта зависимость представлена графически на рис.2.13. Поэтому принято говорить, что электрон в водородоподобном атоме находится внутри гиперболической центрально-симметричной потенциальной ямы.

Запишем уравнение Шредингера для этого случая:

. (2.70)

Здесь - оператор Лапласа. Так как потенциальная яма имеет центрально- симметричную форму, то оператор Лапласа необходимо взять в сферической системе координат:, и волновые функции в общем случае будут зависеть от координат. Данная задача успешно решена в квантовой механике, но решение ее достаточно громоздкое, и мы его здесь не приводим. Рассмотрим лишь основные результаты, которые следуют из решения уравнения (2.70).

Уравнение (2.70) имеет решение в следующих случаях:

• при любых положительных значениях энергии электрона E>0. Этот случай соответствует свободному электрону, не связанному с атомом;

• при дискретных отрицательных значениях энергии:

, (n=1, 2, 3….). (2.71)

Значения называютсобственными значениями.

Собственные функции уравнения содержат 3целочисленных параметра. Их называютквантовыми числамии обозначаютn, l, m.

. (2.72)

Параметр nназываетсяглавнымквантовым числом. Оно определяетэнергию электрона в атомеи может принимать любые целочисленные значения.Энергия электрона в атоме квантуется.

Число lназываетсяорбитальнымквантовым числом. При данномnоно может принимать значения:l =0, 1, 2…. , n -1(всегоnзначений).

Орбитальное квантовое число lопределяет возможные значения момента импульса электронаL:

. (2.73)

Момент импульса электрона квантуется.

Различные значения орбитального квантового числа электрона служат для систематики электронных состояний в атомах и молекулах. Приняты следующие обозначения:

l=0 – s –состояние;

l =1 – p –состояние;

l =2 – d –состояние;

l =3 – f –состояние.

Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением квантового числа l. Возможны следующие состояния электрона:

1s,

2s, 2p,

3s, 3p, 3d,

4s, 4p, 4d, 4f и т.д.

Число mназываетсямагнитнымквантовым числом. При заданномlмагнитное квантовое число может принимать значения:

m_l=0, 1, 2, ….,l, (всего 2l +1 значение).

Магнитное квантовое число определяет возможные значения проекции орбитального момента импульса на направление внешнего магнитного поля. Это означает, что существует пространственное квантование: вектор момента импульса может иметь только вполне определенные дискретные ориентации в пространстве. Проекция момента импульса на направление Z может принимать значения

(1.8.6)

На рис.2.14 показано пространственное квантование вектора для электронов вp– и d– состояниях.

Различные состояния атома с одинаковой энергией называются вырожденными, а число состояний с одинаковой энергией называется кратностью вырождения.

Число различных состояний соответствующих данному n и различным l и m можно рассчитать по формуле

. (2.74)

Таким образом, каждый уровень энергии атома водорода имеет вырождение кратности n². В таблице 2.2 приведены состояния, соответствующие первым трем энергетическим уровням.

Таблица 2.2. Состояния электрона в атоме водорода

Уровень энергии	Волновая функция	Значение			Число состояний
		n	l	m
		1	0	0	1
		2	0	0	4
		2	1	0
		2	1	+1
		2	1	-1
		3	0	0	Всего 9
		3	1	0
		3	1	+1
		3	1	-1
	--------	------	------	------

2.9. 1s– состояние электрона в атоме водорода

Волновая функция электрона для 1s– состояния зависит только от расстоянияrэлектрона от ядра, т.е. является сферически симметричной. Ее выражение имеет вид

. (2.75)