2.17. Линейный гаpмонический осциллятоp

Гаpмоническим осциллятоpом называют частицу, совершающую колебательное движение под действием квазиупругой силы.

Циклическая частота собственных колебаний гаpмонического осциллятоpа и его потенциальная энергия определяются выражениеми:

, . (2.107)

Здесь - масса частицы,- циклическая частота колебаний.

Зависимость потенциальной энергии частицы от координаты приведена на рис.2.23, она имеет вид параболической потенциальной ямы.

По классическим представлениям амплитуда колебаний гармонического осциллятора определяется запасом его полной энергии . На рис.2.25 она изобразится отрезкамиОА. За пределы области (-А, А) классическая частица выйти не может; никаких ограничений на значения энергии частицы не накладывается.

Рассмотрим квантовый гаpмо-нический осциллятоp. Для этого необходимо решить уравнение Шредингера для частицы в параболической потенциальной яме. Оно имеет вид:

.(2 .108)

Решением уравнения (2.104) являются собственные функции:

, (2.109)

где ;;- полином Чебышева-Эрмитаn-го порядка. Им соответствуют собственные значения энергии:

, (2.110)

или . (2.111)

В этих выражениях называется колебательным квантовым числом; оно может принимать значения: 0, 1, 2, 3 ……….

На рис. (2.26) приведена схема энергетических уровней квантового осциллятора. Из формул (2.110), (2.111) и рис. (2.26) следует:

1. энергия квантового осциллятоpа может иметь только дискретные значения;

2. уровни энергии квантового осциллятоpа расположены на одинаковых расстояниях друг от друга, и его энергия может изменяться только порциями ;

3. существует минимальное значение полной энергии гармонического осциллятора, равное:

. (2.112)

Это значение называется нулевой энергией. Нулевая энергия осциллятора определяется только его собственной частотой, её нельзя отнять ни при каком охлаждении (вплоть до абсолютного нуля температуры).

Существование нулевой энергии (или нулевых колебаний) подтверждено экспериментами по изучению рассеяния света кристаллами при сверхнизких температурах. Рассеяние света происходит на тепловых колебаниях, которые совершают атомы (молекулы или ионы) в узлах кристаллической решётки. По мере понижения температуры приинтенсивность рассеяния стремится к некоторому конечному значению. Это означает, что и при абсолютном нуле температуры колебания атомов не прекращаются.

4. Плотность вероятности обнаружить квантовый осциллятор за пределами области (-А, А) не равна нулю. На рис. (2.27) приведены зависимости квадрата модуля волновой функции квантового осциллятора от безразмерного параметра при двух значениях колебательного квантового числа.

Существование отличной от нуля вероятности нахождения частицы за пределами классически дозволенной области можно объяснить волновыми свойствами частицы, так как для неё справедливы соотношения неопределённостей и туннельный эффект.