4.5. Равновесные концентрации носителей заряда в полупроводнике

Рассмотрим собственный полупроводник в условиях равновесия. Обозначим символами: - концентрацию электронов, - концентрацию дырок, и - эффективные массы электронов и дырок соответственно.

Концентрация электронов, энергия которых находится в интервале , определится выражением:

. (4.2)

В этом выражении:

- вероятность заполнения энергетического уровня,

- число квантовых состояний в единице объёма в интервале энергий. Оно определится формулой:

.

Вероятность заполнения электроном энергетического уровня определится функцией Ферми-Дирака

. (4.3)

Вероятность того, что уровень не занят электроном будет равна:

.

Если рассматривать энергетические уровни вблизи потолка валентной зоны, то - вероятность того, что энергетический уровень занят дыркой.

. (4.4)

Так как ширина запрещённой зоны в полупроводнике , то в знаменателе выражений (4.3) и (4.4) можно пренебречь единицей по сравнению с экспоненциальным слагаемым. Тогда выражения (4.3) и (4.4) приобретают вид:

,(4.5)

.(4.6)

Из формул (4.5) и (4.6) следует, что электроны в полупроводнике подчиняются статистике Максвелла-Больцмана, то есть электронный газ в полупроводнике не вырожден.

Выберем за начало отсчёта энергии потолок валентной зоны (рис.4.14). Число энергетических состояний в нижней части зоны проводимости определится формулой:

. (4.7)

Подставим выражения (4.5) и (4.7) в (4.2), получим:

. (4.8)

Концентрация электронов в зоне проводимости собственного полупроводника определится интегралом:

(4.9)

Произведём замену переменных в уравнении (4.9): ,, получим:

. (4.10)

Рассмотрим интеграл в выражении (4.10). Так как вероятность заполнения верхних энергетических уровней зоны проводимости практически равна нулю, то верхний предел интегрирования можно заменить на ∞. Тогда

, (4.11)

и концентрация электронов в зоне проводимости определится выражением:

, (4.12)

Аналогично, для концентрации дырок в валентной зоне можно получить выражение:

.(4.13)

В собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок одинаковы: . Приравнивая правые части выражений (4.12) и (4.13), получим:

,

,

. (4.14)

Из выражения (4.14) следует, что уровень Ферми в собственном полупроводнике при Т=0 проходит точно посередине запрещённой зоны.

Так как эффективные массы электронов и дырок не равны () то при повышении температурыуровень Ферми смещается вверх.

Подставим формулу (4.14) в выражения для концентрации (4.12) или (4.13), получим:

. (4.15)

Пренебрегая слабой зависимостью от температуры в первом сомножителе выражения (4.15) (по сравнению с экспоненциальной), зависимость концентрации носителей в собственном полупроводнике от температуры можно представить в простой форме:

. (4.16)

Рассмотрим примесный полупроводник. В этом случае расчёт равновесных концентраций и положения уровня Ферми – задача очень сложная, поэтому приведём результаты этих расчётов для двух случаев.

Пусть температура полупроводника сравнительно низкая и примесные атомы ионизированы лишь частично. Тогда концентрация основных носителей заряда определится выражениями:

• в электронном полупроводнике:

(4.17)

• в дырочном полупроводнике:

(4.18)

Вэтих выраженияхи- концентрации доноров и акцепторов соответственно; - расстояние донорного уровня от дна зоны проводимости,- расстояние акцепторного уровня от потолка валентной зоны. Величиныиназываются энергией активации примесной проводимости(рис.4.15).

Уровень Ферми в электронном полупроводнике находится в верхней части запрещённой зоны, а в дырочном полупроводнике - в нижней части запрещённой зоны (рис 4.15).

При высоких температурах атомы примеси ионизированы полностью, и если собственная проводимость мала, то можно считать, что и.