RIII_OCR[6]

4. Вычислить площадь плоской области D, ограни­

ченной заданными линиями.

4.1.D: у2=4х, х+у=3, у;;::'О. (Ответ: 10/3.)

4.2.D: у=бх2 , х+у=2, х;;::'О. (Ответ: 5/8.)

4.3.D: у2 = Х +2, х = 2. (Ответ: 32/3.)

4.4.D: х= _2у2, х= 1_3y 2, x~O, у;;::'О. (Ответ:

Iб/3.)	+ 4), х2 = 4у. (Ответ: 2л - 4/3.)
4.5. D: у = 8/(х2

4.6.D: y=x~+ 1, х+у=3. (Ответ: 9/2.)

4.7.D: у2=4х, х2 =4у. (Ответ: Iб/3.)

4.8.D: y=cosx, y~x+ 1, у;;::'О. (Ответ: 3/2.)

4.9.D: X=-j4- y2, у=..;з;, х;;::'О. (Ответ: 2л-

--уЗ/б.)

4.10.D: у=х2 +2,х;;::'0,х=2,у=х. (Ответ: 14/3.)

4.11.D: у=4х2, 9у=х2, y~2. (Ответ: 20-[2/з.)

4.12.D: у=х2 , у= -х. (Ответ: I/б.)

4.13.D: х=у,2 Х= -3ту2 + 1. (Ответ: 8/3.)

4.14.D: y=.j2 х2 , у=х2. (Ответ: л/2+ 1/3.)

4.15.D: у=х2 +4х, у=х+4. (Ответ: 125/б.)

4.16.D: 2у=..{х, х+у=5, х;;::'О. (Ответ: 28/3.)

4.17. D: у=2\ у=2х-х2, х=2, х=о. (ответ:

3	4		)
In2	-з·
	4.J8.	D: у= -2х2 +2, у;;::' -б. (Ответ: б4/3.)
	4.19.	D: у2 = 4х, х = 8/(у2		+ 4). (Ответ: 2л - 4/3.)

4.20.D: у=4-х,2 y=x~о-2x. (Ответ: 9.)

4.21.D: х=у2+ 1, х+у=3. (Ответ: 9/2.)

4.22.D: х2 = 3у, у2 = Эх. (Ответ: 3.)

4.23.D: х = cos у, х ~ у + 1, х;;::' О. (Ответ: 1/2.)

4.24.D: х=4- у2, х-у+2=0. (Ответ: 125/б.)

4.25. D: х=у2, x=-j2			у2.		(Ответ:	л/2+ 1/3.)
2	2		I
4.26. D: Х4	+ 11- = 1,	У ~ 2		х,	у;;::, О.	(Ответ: л/4.)

4.27. D: у2 =4-х, у=х+2, у=2, У= -2. (Ответ:

5б/3.)

162

о	3 о	(Ответ: 8/3.)
4.28. D: y=x~, Y=TX~+ 1.

4.29. D: х = у2, у2 = 4 - х. (Ответ: 16-/2/з.)

4.30. D: ху = 1, х2 = у, У = 2, х = о. (Ответ: 2/3 +

+'П 2.)

5.С помощью ДВОЙНЫХ интегралов вычислить в по­

лярных координатах площадь плоской фигуры, ограни­ ченной указанными линиями.

5.26. Р = 4( 1 + cos qJ). 5.28. р2 = а2 COS 3qJ. 5.30. Р = а siп 3qJ.

6. Вычислить объем тела, ограниченного заданными

поверхностями.

6.1. Z=X2 +y2, х+у= 1, x~o, y~o, z~o. (ОТ­

вет: 1/6.)

6.2. z = 2 - (х2 +у2), Х +2у = 1, х ~ о, у ~ о, z ~ о.

(Ответ: 53/96.)

6.3. z=x 2 , х-2у+2=0, х+у-7=0, z~o. (ОТ­

вет: 32.)

6.4.z = 2x~ +3if2, У = х2 , У = х, z ~ о. (Ответ: 29/140.).

6.5.z = 2х +у , у ~ х, у = 3х, х = 2, z ~ о. (Ответ.

152/3.)

163

6.6. Z=X, у=4, x=-V25-y2, Х?О, у?О, Z?O. (Ответ: 118/3.)

6.7. y=-Vx, у=х, x+y+z=2, z~O. (Ответ:

11/60.)

6.8. у= 1-х2 , x+y+z=3, y~O, z~O. (Ответ:

104/30.)

6.9. z=2x 2 +y2, х+у=4, x~O, y~O, z~O. (от-

вет: 64.) .

6.10. z=4-x2, х2 +у2=4, x~O, y~O, z~O. (от­

вет: 3л.)
6.11. 2х+3у-12=0, 2Z=y2, x~O,					y~O,	z~O.
(Ответ:	16.)
6.12.	z= 10+х2 +2у2,		у=х,	х= 1,	y~O,	z~o.
(Ответ:	65/12.)	Х +У = 6,
6.13.	z = х2 ,		у = 2х,	х? о,	У? о,	z? о.
(Ответ:	4.)	+2у2+1, y=x2 _t, у=l, Z?o. (от-
6.14. z=Зх2
вет: 264-/2/35.)
6.15. 3y=-Vx, y~x,			x+y+z= 10,		у= 1,	z=O.
(Ответ: 303/20.)		х, х +у + z = 1,
6.16. у2 = 1 -				х = о,	z = о.	(Ответ:
49/60.)
6.17. у=х2, х=у2, z=3x+2y+6, z=o.						(Ответ:
11/4.)
6.18. х2 = 1-у, x+y+z=3, y~O,					z~o. (Ответ:
52/15.)
6.19. х=у2,		Х= 1, x+y+z=4, z=o.				(Ответ:

68/15.)

6.20. z=2x2+y2, х+у= 1, x~O, y~O, z~o. (от­

вет: 1/4.)

6.21.У = х2 , У = 4, z = 2х + 5у + 10, z ~ о. (Ответ:

704/3.)

6.22.у=2х, x+y+z=2, x~O, z~o. (Ответ: 4/9.)

6.23.у= 1-z2, у=х,'у= -х, y~O, Z?o. (Ответ:

8/15.)

6.24. х2

+у2=4у, z2=4-y,

z~o. (Ответ: 256/15.)

6.25. х

+у

=

,z=

-х

-у, zr·

(о

твет..23)

2

2

1

2

2

2

---о

л.

6.26. у = х2 ,

Z = о,

у + z =

2. (Ответ: ~~-f2)

6.27. Z2 = 4 -

Х,

х2 +у2 = 4х,

z ~ о. (Ответ: 256/15.)

6.28. 2=х2 +2у2, У=Х, х;;;:,о, У= 1,2;;;:'0. (Ответ:

7/12.)

6.29.	2 = у2,	Х +у =	1, х;;;:, о, 2;;;:'о. (Ответ: 1/12.)
6.30.	у2 = Х,	Х = 3,	2 = Х, 2;;;:'о. (Ответ: 36-Vз/5.)

Решение типового варианта

1. Представить двойной интеграл ~~ (х, y)dxdy в виде

D

повторного интеграла с внешним интегрированием по х

и внешним интегрированием по у, если область D огра-

ничена

линиями

х =-vy,

х=-,J 2 +у, х = о,

х = 2.

~

Область D изображена на рис. 13.31 и ограничена

дугами

+2, х2 = У и прямыми х = о,

х = 2.

СледоватеЛqНО,

2

x~

~~ {(х, y)dxdy =

~

dx

~

{(х, y)dy =

D

U

х'-2

О

";у+2

2

-Уу+2

4

~

- Jdy

~

{(х,

y)dx + ~ dy

j;

{(х, y)dx + ~ dy j/(x, y)dx."'4

2

2.

Вычислить двойной

интеграл ~~ (х -

2y)dxdy

по

об­

D,

D

7 -

ласти

ограниченной линиями

х = о,

у =

х,

У =

1

="2 x + l .

~

Область D изображена на рис. 13.32. Если выбрать

внутреннее

интегрирование

по

у,

а внешнее -

по

х, то

у

4f

------

.

х

Рис. 13.31

Рис. 13.32

165

двойной интеграл по этой области выразится одним по­

вторным интегралом:

				4		7-х
~~ (х -		2y)dxdy =		~	dx	~	(х -	2y)dy =
D				О		1
						"2 х + 1
4				1
= ~ (X y _	y2 )17\-X		dx= ~ (7х-х2 -49+ 14х-х2 -
о		"2 Х +\		О
-+х2 ++х2 + 1) dx =					4		х2 + 21 х - 48) dx =
					~ (	- ~
					о	48х)1: =
=	( -	~ хЗ	+ 221	х2	-			- 72. ...

3. Вычислить двойной интеграл

о-Гн'-=~'

1 = (dx	(	Iп(1 + ~) dy.
J	J	.jx" + у2
-R	О

используя полярные координаты. Найти его численное

значение при R = 1.

~ Область интегрирования D представляет собой чет­

верть круга, расположенного во втором квадранте (рис.

13.33) .

х

р 11 с. IЗ.ЗЗ

Перейдем		к	полярным		координатам х = Р COS qJ, у =
= р sin qJ, х2	+ у2 = Р , где О ~ Р ~ R; лj2 ~ qJ ~ л. Тогда
			л	R
			1= ~	dqJ~	IП(lр+Р) pdqJ=
			л/2	о	du = dpj(1 + р),I=
=		\и	In(1 + р),
		dv-dp,		v -р,

166

R

= рIл~/2(Р 'П(1 + р)IоR - )(т-Р +р dp) =

II

= ~(Rln(1 +R)_pIR +ln(1 +p)IR)=

2

11

11

=; (Rln(1 +R)-R+ln(1 +R)).

При R =		1 получаем
			1 =	~	(21п 2 -		1)...
4.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
у = x~ - 3х и 3х + У - 4 = о.
~	Данная плоская фигура						ограничена снизу парабо­
лой							+ у - 4 = О (рис.
13.34). Следовательно,
		~	4-:\х			2	(4 - 3х - x~ + 3x)dx =
S =	~~ dxdy = ~		dx	~	dy =	)
	D	-'2	г-:3х			-'2
		=(4x_~')12					=32 ...
					3	- 2	3
5.	С помощью двойного интеграла вычислить в поляр­

ных координатах площадь фигуры, ограниченной линией

(х2 +y2)~ = 2у:!.

~Уравнение линии в полярных координатах имеет

вид р = 2 siпЗ qJ. Она изображена вместе с ограниченной

ею областью D на рис. 13.35. Полюс О лежит на границе

у

10

	х	х
		р=2siп"J'I р=25/П'f
Рис. 13.34		Рис. 13.35

167

области D, и поэтому, согласно формуле (13.12)									(случай
3; см. также пример 2 из § 13.2)							имеем:
				.тт	2 siп' tp		л
S = ~~ pdpdqJ = ~ dqJ ~						pdp = ~		dqJ i21:5ifJ;~	=
D				О	О		О
"			б		"
= 2 ~	siп			qJdqJ =	-{- ~	(1 -	cos 2qJ)З dqJ =
о					о
л		3 cos 2qJ + 3 cos 2 2qJ -
= -{- ~ (1	-							соsЗ 2qJ)dqJ =
о
						л
= -1 ( л -		-3		siп 2qJ	1" + -3 ~ (1 +cos 4qJ)dqJ -
4			2		о	2
						о
- ~" cos 2qJ(l -					siп2 2qJ)dqJ =			~ л.....

о

6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя­

ми z=~, у=х, у= -х, z=O.

z

z=v1-y

у

Рис. 13.36

~Данное тело ограничено сверху параболичеСКИ~J

ЦИЛИНДРОМ z =~ (рис. 13.36), поэтому

		I	У
v=))~dxdy=2) dy)~dx=
D		о	О
I	У	I
=2)~xl dy=2)y~dy= I~=t,
о	о	о

168

у= 1 _t 2, dy= -2tdt, t= 1 при у=О и t=O

I				О
при У = 1I= 2~ (I - t	2)t( -2tdt) = -4~ (t2 - t4 )dt =
о				I
__ (,,1 _15)10- 8				....
- 4 -		-	--
3		5 I	15 .

ИДЗ-13.2

1. Расставить пределы интегрирования в тройном ин­

теграле Ш f(x, у, z)dxdydz, если область V ограничена v

указанными поверхностями. Начертить область интегри­

рования.

1.1. V: х = 2, У = 4х, У = з';-;'; z ~ О, z = 4.

1.2.V: х= 1; у=3х, y~O, z~O, z=2(X2+y2).

1.3.V: Х= 1, у=4х, z~O, z=-fЗY.

+у2.

1.5.	V:	у = 2х, У = 2, z ~ О, z = 2';-;'.
1.6. V: х=о, у=х, у=5, z~O, z=2x2+y2.
1.7.	V:	x~O, у=2х, у= 1, z~O, x+y+z=3.

1.8. V: x~ О, у = 3х, у= 3, z~ О, Х= з~.

1.9. V: х=5, y=xj5, y~O, z~O, z=x2+5y 2.

1.10. V: х=2, у=4х, z~O, у=2--{;.

1.11. V: х=3, у=+х, y~O, z~O, z=+(X2 +y2).

1.12. V: х=4, y=xj4, z~O, Z=4 y2.

1.13. V: x~O, у=3х, у=3, z~O, z=2(X2+y2).

1.14. V: x~O, у=4х, у=8, z~O, z=3x2 +y2.

1.15. V: x~O, у=5х, y=IO, z~O, Z=X2+y2.

1.16. V: у=х, у=-х, у=2, z~O, z=3(X2ty2).
1.17. V:		Х= 1, у=2х, у=3х, z~O, z=2x2+y.
1.18.	V:	У=Х, У= -2х, у= 1, z~O z=x2+4y2.
1.19. V:		x~O, y~O, z~O, х+у= 1, z=3x 2
1.20. V:		x~O, y~O, z~O, 3х+2у=6, Z=X2 +y2.
1.21. V:		x~0,y~0,z~0,x+y=2,z=4-x2_y2.
1.22.	V:	x~O, y~O, z~O, х+у=3, z=9_X2_ y 2.
1.23.	V:	x~O,	y~O,	z~O,	3х+4у= 12, z=6-
_х2 _ у2.
1.24.	V:	x~O,	z~O,	У=Х,	у=3, z= 18_х2 _ у2.

lfi9

1.25. V: х=2, y~O, z~O, у=3х, Z=4(x 2 +;/). ?

1.26. V: x~O, у=2х, у=4, z~O, z=IO-х--у-.

1.27. V: х=3, y~O, z~O, у=2х, Z=4-{Y.

3 +

1.28.

V: х ~ О,

У ~ О,

z ~ О,

2х

+

3у =

6,

z =

+х;! +y~.

1.29. V: x~O,

y~O,

z~O,

х+у=4,

Z= 16-

;!

')

5х +У = 5,

+у2.

-х -у-.

1.30.

V: х ~ О,

У ~ О,

z ~ О,

z =

х2

2. Вычислить данные тройные интегралы.

2.1.

Ш (2x~ + 3у + z)dxdydz, V: 2::::;;; х::::;;; 3,

-1::::;;; у::::;;;2,

v

о::::;;; z::::;;; 4.

2.2.

Ш x~yzdxdydz,

V:

-

1 ::::;;;

х ::::;;; 2,

о::::;;; у::::;;; 3,

2::::;;;

l/

~z::::;;;3.

2.3.

Ш (х +у + 4z 2)dxdydz,

V:

-

1 ::::;;;

х ::::;;;

1,

о::::;;; у::::;;;

2,

l/

-1 ::::;;;z::::;;; 1.

2.4.

Ш (х2 +y~ + z2)dxdydz;

V: о::::;;;

х ::::;;; 3,

-

1 ::::;;; у::::;;;

2,

v

0~z::::;;;2.

2.5.

2

V:

-1::::;;; х::::;;;

3, о::::;;; у::::;;; 2, -2::::;;;

Ш X y 2zdxdydz,

v

~z::::;;;5.

2.6.

Ш (х +у + z)dxdydz,

V: о::::;;;

х ::::;;;

1,

-

1 ::::;;; у::::;;;

О,

v

1 ~z~2.

2.7. ~\\(2х-у'L-z)dхdуdz,

и:

1 ::::;;;х::::;;;5,

0::::;;;у::::;;;2,

v

-1 ::::;;;z::::;;;o.

2.8.

Ш 2xy 2zdxdydz,

V: о::::;;;

х::::;;; 3,

-2 ~ у::::;;; О,

1::::;;;

1/

~z::::;;;2.

2.9.

~\~ 5xyz2dxdydz,

V:

-

1 ::::;;;

х ::::;;;

О,

2::::;;; у::::;;; 3,

1 ~

v

::::;;;z~2.

2.10. ~~\(x2+2y2_Z)dxdydz,

V: о::::;;;х::::;;; 1,

0::::;;;у::::;;;3,

v

-1 ::::;;;z::::;;;2.

2.11. \\) (х + 2yz)dxdydz,

V: -2::::;;; х::::;;; О,

о::::;;; у::::;;;

1,

v

о::::;;; z::::;;; 2.

170

2.12. ~~~ (х + yz2)dxdydz,	V: о::::;;; х::::;;; 1,
v
-1 ::::;;;z::::;;;3.
2.13. ~~~(xy + 3z)dxdydz,	V: -1 ::::;;; х::::;;; 1, о::::;;; у::::;;; 1,
v
l<z<2.

2.14.Ш(хуz2)dхdуdz,v:О::::;;;х::::;;;2,0::::;;;у::::;;;l, -1< v

<z::::;;; 3.

2.15. Ш (х] + yz)dxdydz, и:	-1::::;;; х::::;;; 2,	о::::;;; у::::;;; 1,
v
O<z::::;;; 1.
2.16. Ш(хЗ +у2- z)dхdуdz,	и: 0::::;;;х::::;;;2,	-1 ::::;;;у::::;;;О,
v

O<z::::;;; 1.

2.17.Ш (2x~ +y-z.J)dхdуdz, и: О::::;;;х::::;;; 1, -2::::;;;у< 1, v

O<z::::;;; 1.

2.18. Ш x 2yz2dxdydz, и: о::::;;; х::::;;; 2, 1::::;;; у::::;;; 2, -1::::;;; v

<z<O.

	2.19. ~~~(x+y-z)dxdydz,	и:	0::::;;;х::::;;;4,		1 ::::;;;у<3,
	v
-1	::::;;;z::::;;;5.
	2.20. Ш (х + 2у + 3z2) dxdydz, и:		- 1 ::::;;;	х ::::;;; 2, о::::;;; У <
<	v
	1,1 ::::;;;z::::;;;2.
	2.21. ~~Нзх2+2у+z)dхdуdz, v: О::::;;;х::::;;; 1,				о::::;;;у::::;;; 1,
	v
-1 ::::;;;z::::;;; 3.		и: О < х ::::;;; 1,
	2.22. Ш (ху - zЗ) dxdydz,			-	1 ::::;;; у ::::;;; 2,
	v

0<z::::;;;3.

2.23.Ш~уzdхdуdz,v: -1::::;;;x::::;;;2, l::::;;;у::::;;;З,О::::;;;z::::;;;l.

v

2.24. Ш xy2zdxdydz,	и:	- 2::::;;; х ::::;;; 1,	о::::;;; У ::::;;; 2,	0<.
v
<z::::;;;3.
2.25. Ш xyz2dxdydz,	и:	о::::;;; х ::::;;; 2, -	1 ::::;;; у::::;;; о,	0<
v

171